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2014年安徽省高考文科数学试卷及参考答案(word版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科)
共 50 分)

第Ⅰ卷(选择题

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 2i 3 (1)设 i 是虚数单位,复数 i ? =( ) . 1? i
(A) ? i (B)

i
2

(C)-1 ) .

(D) 1
开 始
2

(2)命题“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”的否定是( (A) ?x ? R, x ?x ?0
2

(B) ?x ? R, x ?x ?0 (D) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ) . (C) x ? ?1 (D) x ? ?1 ) .
2

x=1,y=1

(C) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 (3)抛物线

2

z=x+y 否

y?

1 2 x 的准线方程是( 4
(B) y ? ?2

z≤50? 是 x=y

(A) y ? ?1

输出z

(4)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是( (A)34 (B)55 (C)78 ) .

y=z 第(4)题图

结 束

(D)89

1.1 3.1 (5)设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则(

(A) b ? a ? c

(B) c ? a ? b
2 2

(C) c ? b ? a

(D) a ? c ? b ) .

1 ) (6)过点 P(? 3,- 的直线 l 与圆 x ? y ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是(
(A) (0, ]

? 6

(B) (0, ]

? 3

(C) [0, ]

? 6

(D) [0, ]

? 3

(7)若将函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 的图像向右平移 ? 个单位,所得图像关于

y 轴对称,则 ? 的最小正值是(
(A)

) . (C)

? 8
23 3

(B)

? 4
47 6

3? 8

(D)

3? 4

(8)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为( (A) (B) (C)6

) .

(D)7 ) .

(9)若函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? a 的最小值为 3,则实数 a 的值为( (A)5 或 8 (B)-1 或 5 (C)-1 或-4

(D)-4 或 8

(10)设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1 , x2 , x3 , x4 和 y1 , y 2 , y3 , y 4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成.若

x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角为(
(A)

2

) .

2? 3

(B)

? 3

(C)

? 6

(D)0
第~

数学(文科)试题

1 ~页

第 II 卷(非选择题
? 16 ? (11) ? ? ? 81?
? 3 4

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.

? log3

5 4 ? log3 ? 4 5



(12)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 .过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1 ;过点 A1 作 AC 的垂 设 BA ? a1 ,AA1 ? a 2 ,A1 A2 ? a3 , 线, 垂足为 A2 ; 过点 A2 作 AC 的垂线, 垂足为 A3 ; . . . , 以此类推. . . . ,

A5 A6 ? a7 ,则 a7 =



A A2

? x? y?2?0 ? (13)不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示的平面区域的面积为 ?x ? 3y ? 2 ? 0 ?



(14)若函数 f ( x) ( x ? R )是周期为 4 的奇函数,且在 [0,2] 上的解析 式为 f ( x) ? ?

B

A1 第( 12)题图

A3

C

29 41 ? x(1 ? x), 0 ? x ? 1 , 则 f( )? f( )? 4 6 ? sin ?x, 1 ? x ? 2



(15)若直线 l 与曲线 C 两个满足下列条件: (i) 直线 l 在点 P( x0 , y0 ) 处与曲线 C 相切; (ii) 曲线 C 在点 P 附近位于直线 l 的两侧, 则称直线 l 在点 P 处 “切 过”曲线 C . 下列命题正确的是 . (写出所有正确命题的编号)
3

①直线 l : y ? 0 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y ? x ;
2 ②直线 l : x ? ?1 在点 P(?1,0) 处“切过”曲线 C:y ? ( x ? 1) ;

③直线 l : y ? x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y ? sin x ; ④直线 l : y ? x 在点 P(0,0) 处“切过”曲线 C:y ? tan x ; ⑤直线 l : y ? x ? 1在点 P(1,0) 处“切过”曲线 C:y ? ln x .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定 区域内. (16) (本小题满分 12 分)

c o s A 与 a 的值. 设 △ ABC 的内角 A, B, C 对边的长分别是 a , b , c , 且 b ? 3 , c ? 1 , △ ABC 的面积为 2 . 求

数学(文科)试题

第~

2 ~页

(17) (本小题满分 12 分) 某高校共有学生 15000 人, 其中男生 10500 人, 女生 4500 人. 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况, 频率 采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间 组距 的样本数据(单位:小时) . 0.150 0.125 (I)应收集多少位女生的样本数据? (II)根据这 300 个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间 0.100 0.075 的频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据的分组区 间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校 0.025 时间(小时) O 2 4 6 8 10 12 学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率; 第( 17)题图 (III)在样本数据中,有 60 位女生的每周平均体育运动时间超 过 4 小时,请完成每周平均体育运动时间与性别列联表,并判断是否有 95%的把握认为“该校学生的每 周平均体育运动时间与性别有关” . 0.10 0.05 0.010 0.005 P( K 2 ? k0 ) 2 附: K ?
2

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

kⅡ

2.706

3.841

6.635

7.879

(18) (本小题满分 12 分)
* 数列 ?an ?满足 a1 ? 1 , nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1) , n ? N .

(I)证明:数列 ?

? an ? ? 是等差数列; ?n?

n (II)设 bn ? 3 ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 S n .

数学(文科)试题

第~

3 ~页

(19) (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 8 的正方形,四条侧棱长均为 2 17 .点 G, E , F , H 分别是棱

PB, AB, CD, PC 上 共 面 的 四 点 , 平 面 GEFH ⊥ 平 面
ABCD , BC ∥平面 GEFH .
(I)证明: GH ∥ EF ; (II)若 EB ? 2 ,求四边形 GEFH 的面积.
D

P

H G F C

A
第( 19)题图

E

B

(20) (本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x ? x ,其中 a ? 0 .
2 3

(I)讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性; (II)当 x ? ?0,1? 时,求 f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值.

(21) (本小题满分 13 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A, B 两点, b2

AF 1 ? 3F 1B .
(I)若 AB ? 4 , △ABF2 的周长为 16,求 AF2 ; (II)若 cos ?AF2 B ?

3 ,求椭圆 E 的离心率. 5

数学(文科)试题

第~

4 ~页

数学(文科)试题参考答案
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. (1)D (2)C (3)A (4)B (5)B (6)D (7)C 二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 25 分. (11) (8)A (9)D (10)B

27 8

(12)

1 4

(13)4

(14)

5 16

(15)①③④

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定 区域内. (16) (本小题满分 12 分) 解:由三角形面积公式,得

1 2 2 ? 3 ? 1 ? sin A ? 2 ,故 sin A ? . 2 3
2

∵ sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,∴ cos A ? ? 1 ? sin A ? ? 1 ? ① 当 cos A ?

8 1 ?? . 9 3

1 1 2 2 2 2 2 时,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? ? 8 , 3 3

∴a ? 2 2.
2 2 2 2 2 ② 当 cos A ? ? 时,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? (? ) ? 12 ,

1 3

1 3

∴a ? 2 3. (17) (本小题满分 12 分) 解: (I) 300 ?

4500 ? 90 ,∴应收集 90 位女生的样本数据. 15000

(II)由频率分布直方图得 1 ? 2 ? (0.100? 0.025 ) ? 0.75 ,∴该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小 时的概率的估计值为 0.75. (III)由(II)知,300 位学生中有 300 ? 0.75 ? 225 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时,75 人的每 周平均体育运动时间不超过 4 小时. 又∵样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的, ∴每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 每周平均体育运动时间与性别联表 男生 每周平均体育运动时间 不超过 4 小时 每周平均体育运动时间 超过 4 小时 总计 结合联表可算得 K ?
2

女生 30 60 90

总计 75 225 300

45 165 210

300? (2250 )2 100 ? ? 4.762 ? 3.841. 75 ? 225? 210? 90 21

∴有 95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” .

数学(文科)试题

第~

5 ~页

(18) (本小题满分 12 分) (I)证:由已知可得

a n ?1 a n a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 . n ?1 n n ?1 n

∴?

a1 ? an ? ? 是以 ? 1 为首相,1 为公差的等差数列. 1 ?n? an ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ,∴ an ? n 2 .从而 bn ? n ? 3n . n

(II)解:由(I)得

S n ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ?? ? n ? 3n , ??① 3S n ? 1? 32 ? 2 ? 33 ?? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1 . ?? ②
①-②得: ? 2S n ? 3 ? 3 ?? ? 3 ? n ? 3
1 2 n n ?1

?

3 ? (1 ? 3n ) (1 ? 2n) ? 3n ?1 ? 3 ? n ? 3n?1 ? . 1? 3 2

∴ Sn ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 . 4

(19) (本小题满分 13 分) (I)证:∵ BC ∥ 平面GEFH,BC ? 平面PBC ,且平面 PBC ? 平面GEFH ? GH , ∴ GH ∥ BC . 因此 GH ∥ EF . 同理可证 EF ∥ BC .

(II)解:连接 AC, BD 交于点 O , BD 交 EF 于点 K ,连接 OP, GK . ∵ PA ? PC , O 是 AC 的中点,∴ PO ? AC , 同理可得 PO ? BD . 又 BD ? AC ? O ,且 AC, BD 都在地面内, ∴ PO ? 底面 ABCD . 又∵平面 GEFH ⊥平面 ABCD , 且 PO ? 平面 GEFH ,∴ PO ∥平面 GEFH . ∵平面 PBD ? 平面 GEFH ? GK , ∴ PO ∥ GK , 且 GK ⊥底面 ABCD , 从而 GK ? EF . A ∴ GK 是梯形 GEFH 的高. 由 AB ? 8, EB ? 2 得 AB : EB ? KB : DB ? 1 : 4 , ∴ KB ?
G F D O E
第( 19)题图

P

H

C

K B

1 1 DB ? OB ,即 K 为 OB 的中点. 4 2 1 1 再由 PO ∥ GK 得 GK ? PO ,即 G 是 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 , 2 2
由已知可得 OB ? 4 2 , PO ? 故四边形 GEFH 的面积 S ?

PB2 ? OB2 ? 68 ? 32 ? 6 ,∴ GK ? 3 .

GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 . 2 2
第~

数学(文科)试题

6 ~页

(20) (本小题满分 13 分) 解: (I) f ( x) 的定义域为 (??,??) , f ?( x) ? 1 ? a ? 2x ? 3x 2 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ?

? 1 ? 4 ? 3a ? 1 ? 4 ? 3a , x2 ? , x1 ? x 2 . 3 3

∴ f ?( x) ? ?3( x ? x1 )(x ? x 2 ) . 当 x ? x1 或 x ? x 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x1 ? x ? x 2 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x) 在 ?? ?, x1 ? 和 ?x 2 ,??? 内单调递减,在 ?x1 , x2 ? 内单调递增. (II)∵ a ? 0 ,∴ x1 ? 0, x 2 ? 0 . ① 当 a ? 4 时, x2 ? 1 . 由(I)知, f ( x) 在 ?0, 1? 上单调递增. ∴ f ( x) 在 x ? 0 和 x ? 1 处分别取得最小值和最大值. ② 当 0 ? a ? 4 时, x 2 ? 1 . 由(I)知, f ( x) 在 ?0, x 2 ? 上单调递增,在 ?x2 ,1? 上单调递减. ∴ f ( x) 在 x ? x 2 ?

? 1 ? 4 ? 3a 处取得最大值. 3

又 f (0) ? 1 , f (1) ? a , ∴当 0 ? a ? 1 时, f ( x) 在 x ? 1 处取得最小值; 当 a ? 1 时, f ( x) 在 处和 x ? 1 处同时取得最小值; 当 1 ? a ? 4 时, f ( x) 在 x ? 0 处取得最小值.

(21) (本小题满分 13 分) 解: (I)由 AF 1 ? 3F 1 B , AB ? 4 得: AF 1 ? 3, F 1B ? 1 ∵ .

△ABF2

的周长为 16,∴由椭圆定义可得

4a ? 16, AF1 ? AF2 ? 2a ? 8 .

故 AF2 ? 2a ? AF 1 ? 8 ? 3 ? 5. (II)设 F1 B ? k ,则 k ? 0 且 AF 1 ? 3k , AB ? 4k 由椭圆定义可得 在 , .
2

AF2 ? 2a ? 3k , BF2 ? 2a ? k
2 2

△ABF2 中,由余弦定理可得 AB ? AF2 ? BF2 ? 2 AF2 ? BF2 cos ?AF2 B
数学(文科)试题 第~



7 ~页

6 (4k ) 2 ? (2a ? 3k ) 2 ? (2a ? k ) 2 ? (2a ? 3k ) ? (2a ? k ) 即 , 5
化简可得

(a ? k )(a ? 3k ) ? 0

,而

a ? k ? 0 ,故 a ? 3k .
, ,

于是有 AF2 ? 3k ? AF 1 , BF 2 ? 5k 因此

BF2

2

? AF2 ? AB

2

2

,可得

F1 A ? F2 A

故 △ AF1 F2 为等腰直角三角形. 从而 c ?

2 c 2 . a ,∴椭圆 E 的离心率 e ? ? 2 a 2

数学(文科)试题

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