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黑龙江省哈三中2014届高三第三次高考模拟考试 数学理 Word版含答案


黑龙江省哈尔滨市第三中学 2013-2014 年高三下学期第三次高考模拟 考试数学试卷(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工 整,字迹清

楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、 试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.) 1.
2 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 2x ? 3 ? 0} , B ? {x 2 ? x ? 4} ,那么集合 (CU A) ? B ?

(A) {x ? 1 ? x ? 4} (C) {x 2 ? x ? 3} 2. 复数 1 ? i ? i ? ?i 等于
2 10

(B) {x 2 ? x ? 3} (D) {x ? 1 ? x ? 4}

(A) i 3. 已知 a ? 0.2
0.3

(B) ? i

(C) 2i

(D) ? 2i

, b ? log0.2 3 , c ? log0.2 4 ,则 (B) a ? c ? b (C) b ? c ? a (D) c ? b ? a

(A) a ? b ? c 4.

已知直线 m, n 和平面 ? ,则 m // n 的一个必要条件是 (A) m // ? , n // ? (C) m // ? , n ? ? (B) m ? ? , n ? ? (D) m, n 与 ? 成等角 中 开始 ( C ) 21

5.

如果 (3x ? (A) 7

1
3

x

2

) n 的展开式中各项系数之和为 128,则展开式
(B) ? 7

1 的系数是 x3

(D) ? 21

6.

在 数 列 ?a n ? 中 , 已 知 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n ? 1 , 则
2 2 等于 a12 ? a2 ? ? ? an

S ? 0, n ? 1

S ?S?n

(A) 2n ? 1 7.

?

?

2

(B)

?2

n

? 1? 3

2

(C)4 n ? 1 否

n ? 2n
(D) ① 是 输出 S
结束

4n ?1 3

执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中
-1-

①处

可以填入 (A) n ? 4 (C) n ? 16 (B) n ? 8 (D) n ? 16

8.

? y?x ? 已知 z ? 2 x ? y ,其中实数 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ? x?a ?
(A)

2 11

(B)

1 4

(C)4

(D)

11 2

9.

已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 A, B 两点, a2 b2

且与其中一条渐近线垂直,若 AF ? 4 FB ,则该双曲线的离心率是 (A) 5 10. 已知 f ( x) ? 值 (A)必为正数 (B)必为负数 (C)可能为零 (D) 可正可负 (B) 2 5 (C)

10 5

(D)

2 10 5

1 3 2t ? 1 x ? x 2 ? ax ? m, 其中 a ? 0 ,如果存在实数 t , 使 f ?(t ) ? 0 ,则 f ?(t ? 2) ? f ?( )的 3 3

11. 已知一个正四面体纸盒的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 3 2 的正方形,若在该正四 面体纸盒内放一个正方体,使正方体可以在纸盒内任意转动,则正方体棱长的最大值为 (A) 2 (C)2 (B)1 (D) 3 C B

12. 定义在 (1,?? ) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: (1) 对任意的 x ? (1,??) 恒有 (2) D A f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; 当 x ? ?1,2? 时, f ( x) ? 2 ? x .记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的 取值范围是
-2-

(A) ?1,2 ?

?4 ? (B) ? ,2? ?3 ?

?4 ? (C) ? ,2 ? ?3 ?

?4 ? (D) ? ,2 ? ?3 ?

2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学试卷(理工类) 第Ⅱ卷
(非选择题, 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡相应的位置上. )

1 1 13. 若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB ? 3 2
14. 从 1, 2, ……, 9 这九个数中, 随机抽取 3 个不同的数, 则这 3 个数的和为偶数的概率是 15. 已知 cos(? ?

. .

?
4

)?

10 ? ? , ? ? (0, ) ,则 sin(2? ? ) ? 10 2 3

.

16. 若在由正整数构成的无穷数列 {an } 中,对任意的正整数 n ,都有 an ? an?1 ,且对任意的正整数 k ,该 数列中恰有 2k ? 1 个 k ,则 a2014 =
.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,满足

2a sin A ? (2b ? 3c) sin B ? (2c ? 3b) sin C .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 10 元的价格从农场购进若干支玫瑰花,并开始以每枝 20 元的价格出售,已知该花 店的营业时间为 8 小时,若前 7 小时内所购进的玫瑰花没有售完,则花店对没卖出的玫瑰花以每枝 5 元的价格低价处理完毕(根据经验,1 小时内完全能够把玫瑰花低价处理完毕,且处理完毕后,当天 不再购进玫瑰花) . 该花店统计了 100 天内玫瑰花在每天的前 7 小时内的需求量 n(单位: 枝,n ? N ) (由于某种原因需求量频数表中的部分数据被污损而无法看清) ,制成如下表格(注: x, y ? N ;视 频率为概率) . 前 7 小时内的需求量 n 14 15 16 17
-3?
?

频数

10

20

x

y

(Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ) 若花店每天购进 16 枝玫瑰花所获得的平均利润比每天购进 17 枝玫瑰花所获得的平均利润大, 求x 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1 B ? B1 A ? AB ? BC , ?B1 BC ? 90? , D 为 AC 的中点,AB ? B1 D . (Ⅰ)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求直线 B1 D 与平面 ACC1 A1 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 B ? B1 D ? C 的余弦值.

A1

B1

C1

A

D
B
C

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 B .Q 为抛物线 y 2 ? 12x a2 b2

的焦点,且 F1 B ? QB ? 0 , 2F1 F2 ? QF1 ? 0. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过定点 P(0,2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点( M 在 P, N 之间) ,设直线 l 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,在 x 轴上是否存在点 A(m,0) ,使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱 形?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

y
P M B

N

F1



O


F2

x

-4-

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? 2x ( a ? 0 ). (Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域内单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a ? ? ,且关于 x 的方程 f ( x) ? ? 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正数的数列 ?a n ?满足 a1 ? 1 , an ?1 ? ln an ? an ? 2 ( n ? N ? ) , 求证: a n ? 2 n ? 1 . 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,

1 2

1 2

1 x ? b 在 ?1,4? 上恰有两个不等的实根, 2

C G F
O

ADE , CFD , CGE 都是⊙ O 的割线, AC ? AB .
(Ⅰ)证明: AD ? AE ? AC 2 ; (Ⅱ)证明: FG // AC .

A D

E B
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程

? 3 ? ? x ? ?3 ? 2 t 是 ? ? 4 cos ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数). ? y? 1t ? 2 ?
(Ⅰ)过极点作直线 l 的垂线,垂足为点 P ,求点 P 的极坐标; (Ⅱ)若点 M , N 分别为曲线 C 和直线 l 上的动点,求 MN 的最小值.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 , g ( x) ? ? x ? 3 ? m . (Ⅰ)若关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 的解集为 {x ? 5 ? x ? ?1 } ,求实数 m 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) 对于任意的 x ? R 恒成立,求实数 m 的取值范围.

2014 年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试 数学答案(理工类)
选择题: 1B 2A 3A 4D 5C 6D 7B 8B 9D 10B 11A 12D

-5-

填空题:13. ? 解答题:

8 9

14.

11 21

15.

4?3 3 10

16.45

17. 解: (Ⅰ)由已知及正弦定理可得 2a 2 ? (2b ? 3c)b ? (2c ? 3b)c , 整理得 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 3bc , 所以 cos A ? ………………………… 2 分 ………………………… 4 分

3 . 2

又 A ? (0, ? ) ,故 A ?

?
6



………………………… 5 分

(Ⅱ)由正弦定理可知 所以 sin B ? 又 B ? (0, 若B?

a b ? ,又 a ? 2 , b ? 2 3 , A ? , ? sin A sin B 6
………………………… 6 分 ………………………… 8 分

3 . 2

5? 2? ? . ) ,故 B ? 或 6 3 3

?

3 2 2? ? 若B? ,则 C ? ,于是 S?ABC 3 6

,则 C ?

?

,于是 S ?ABC ?

1 ………………………… 10 分 ab ? 2 3 ; 2 1 ? ab sin C ? 3 . ………………………… 12 分 2
……………… 1 分 ……………… 2 分 ……………… 3 分

18. 解: (Ⅰ)当 n ? 14 时, X ? 14 ? 10 ? (16 ? 14) ? (?5) ? 130 元, 当 n ? 15 时, X ? 15 ? 10 ? (16 ? 15) ? (?5) ? 145 元, 当 n ? 16 或 17 时, X ? 160 元, 所以 X 的分布列为

X
P

130
0 .1

145
0 .2

160
0 .7

……………… 4 分

E ( X ) ? 154 元.
(Ⅱ)设花店每天购进 17 枝玫瑰花时,当天的利润为 Y 元,则 当 n ? 14 时, Y ? 14 ? 10 ? (17 ? 14) ? (?5) ? 125 元, 当 n ? 15 时, Y ? 15 ?10 ? (17 ? 15) ? (?5) ? 140 元, 当 n ? 16 时, Y ? 16 ? 10 ? (17 ? 16) ? (?5) ? 155 元, 当 n ? 17 时, Y ? 17 ? 10 ? 170 元, 所以 E(Y ) ? 125 ? 0.1 ? 140 ? 0.2 ? 155 ?

……………… 5 分

……………… 7 分

x 70 ? x ? 170 ? ? 159.5 ? 0.15x , … 9 分 100 100 110 由于 E ( X ) ? E (Y ) ,所以 154 ? 159.5 ? 0.15x ,解得 x ? , ……………… 10 分 3
-6-

又 x, y ? N ? ,所以 x ? [37,69] , x ? N ? . 19. 解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连接 OD , OB1 .

……………… 12 分

A1
因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 , 所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .… 2 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC ,
O

z
B1 C1

A

D y
C

B
所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B , 所以 OD ? 平面 ABB1 A1 . 又 OD ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 .

x

……………… 4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OB, OD, OB1 两两垂直.以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴的方向, | OB | 为单 位长度 1,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . 由题设知 B1 (0,0, 3 ) , D(0,1,0) , A( ?1,0,0) , C (1,2,0) , C1 (0,2, 3 ) . 则 B1 D ? (0,1,? 3) , AC ? (2,2,0) , CC1 ? (?1,0, 3) . 设平面 ACC1 A1 的法向量为 m ? ( x, y , z ) ,则

m ? AC ? 0 ,m ? CC1 ? 0 ,即 x ? y ? 0 , ? x ? 3z ? 0 ,可取 m ? ( 3,? 3,1) .… 6 分
设直线 B1 D 与平面 ACC1 A1 所成角为 ? , 故 sin? ?

21 . 7

………………………… 7 分

(Ⅲ)由题设知 B(1,0,0) , 可取平面 BB1 D 的法向量 n1 ? ( 3, 3,1) , 平面 B1 DC 的法向量 n2 ? (? 3, 3,1) , 故 cos ? n1,n2 ? ? ………………………… 8 分 ………………………… 9 分 ………………………… 11 分

1 , 7 1 . 7

所以二面角 B ? B1 D ? C 的余弦值为

………………………… 12 分

20. 解: (Ⅰ)由已知 Q(3,0) , F1 B ? QB , | QF1 |? 4c ? 3 ? c ,所以 c ? 1 . ……… 1 分
-7-

在 Rt?F1 BQ 中, F2 为线段 F1Q 的中点, 故 | BF2 |? 2c ? 2 ,所以 a ? 2 .……… 2 分 于是椭圆 C 的标准方程为

y
B

x2 y2 ? ? 1 .…4 分 4 3

(Ⅱ)设 l : y ? kx ? 2 ( k ? 0 ) ,

F1



O

F2



Q

x

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,取 MN 的中点为 E ( x 0 , y 0 ) .
假设存在点 A(m,0) 使得以 AM , AN 为邻边的平行四边形为菱形,则 AE ? MN .

? y ? kx ? 2 ? 2 ? (4k 2 ? 3) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 , ?x y2 ? ? 1 ? 3 ?4

1 1 ………………………… 6 分 ? ? 0 ? k 2 ? ,又 k ? 0 ,所以 k ? . 4 2 16k 6 8k 因为 x1 ? x2 ? ? 2 ,所以 x0 ? ? 2 , y0 ? kx0 ? 2 ? 2 . ……… 8 分 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 6 ?0 2 1 1 ?? , 因为 AE ? MN ,所以 k AE ? ? ,即 4k ? 3 ? 8k k k ?m 2 4k ? 3
整理得 m ? ?

2k ?? 4k 2 ? 3

2 3 4k ? k



………………………… 10 分

因为 k ?

3 1 3 3 1 ,0) . ……… 12 分 时, 4k ? ? 4 3 , ? (0, ] ,所以 m ? [ ? 3 6 12 k 2 4k ? k

21.解: (Ⅰ)函数的定义域为 ?0,??? ,

f ?( x) ? ?
则a ?

ax2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ,依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时恒成立, x

1? 2x 1 1 ? ( ? 1) 2 ? 1 在 x ? 0 时恒成立,即 a ? ? ( ? 1) 2 ? 1 ?min ( x ? 0) , 2 x x x 1 2 当 x ? 1 时, ( ? 1) ? 1 取最小值-1,所以 a 的取值范围是 ?? ?,?1? ? ? ? ? ? ? 4 分 x 1 1 1 2 3 (Ⅱ) a ? ? ,由 f ( x ) ? ? x ? b 得 x ? x ? ln x ? b ? 0 在 ?1,4? 上有两个不同的实根, 2 2 4 2 1 2 3 设 g ( x) ? x ? x ? ln x, x ? ?1,4? 4 2 ( x ? 2)( x ? 1) g ?( x) ? , x ? ?1,2? 时, g ?( x) ? 0 , x ? ?2,4? 时, g ?( x) ? 0 2x 5 g ( x) min ? g (2) ? ln 2 ? 2 , g (1) ? ? , g (4) ? 2 ln 2 ? 2 , 4
-8-

g (1) ? g (4) ?

3 1 ? 2 ln 2 ? (3 ? 4 ln 4) ? 0 ,得 g (1) ? g (4) 4 4

则 b ? ? ln 2 ? 2,? ? ? ? ? ? ? ? 8 分 4

? ?

5? ?

(Ⅲ)易证当 x ? 0 且 x ? 1 时, ln x ? x ? 1 . 由已知条件 an ? 0, an?1 ? ln an ? an ? 2 ? an ?1 ? an ? 2 ? 2an ? 1, 故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1), 所 以 当 n ? 2 时 , 0 ?

an ? 1 a ?1 a ?1 ? 2, 0 ? n ?1 ? 2, ? ? ? , 0 ? 2 ? 2, 相 乘 得 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 a1 ? 1

0?

an ? 1 ? 2n?1 , 又 a1 ? 1, 故 an ? 1 ? 2n ,即 an ? 2n ?1 ? ? ? ? ? ? 12 分 a1 ? 1

2 2 22 解: (Ⅰ)由切割线定理知 AB ? AD ? AE ,又 AC ? AB ,得 AC ? AD ? AE ? ? ? ? ? ? 4 分

2 (Ⅱ)由 AC ? AD ? AE 得 ?CDA ∽ ?ACE ,所以 ?ACD ? ?CEA

又四边形 GEDF 四点共圆,所以 ?CFG ? ?CED 故 ?CFG ? ?ACF ,所以 FG // AC ? ? ? ? ? ? 10 分 23 解: (Ⅰ)点 P 的极坐标为 ? (Ⅱ) MN 的最小值为

? 3 2? , ?2 3

? ? ??????5 分 ?

1 ? ? ? ? ? ? 10 分 2

24. 解 : ( Ⅰ ) 因 为 g ( x) ? ? x ? 3 ? m ? 0 , 所 以 x ? 3 ? m , 所 以 ? m ? 3 ? x ? m ? 3 , 由 题 意

?? m ? 3 ? ?5 ,所以 m ? 2 ; ? m ? 3 ? ? 1 ?

…………..5 分

(Ⅱ) 若 f ( x) ? g ( x) 恒成立, 所以 x ? 2 ? x ? 3 ? m 恒成立, 因为 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 当 且 仅 当

( x ? 2)(x ? 3) ? 0



取 ………….10 分









m ? 5.

-9-


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