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1.3.2函数的极值与导数(上课)


1.3.2 函数的极值与导数

复习: 单调性与导数的关系: 复习 单调性与导数的关系:
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 设函数 在某个区间内可导, 内可导
?如果 ′(x)>0,则f(x)为增函数; 如果f 为增函数; 如果 , 为增函数 ?如果 ′(x)<0,则f(x)为减函数; 如果f 为减函数; 如果 , 为减函数 ?如果 ′(x)=0,则f(x)为常数函数; 如果f , 为常数函数; 如果 为常数函数

观察图像: 观察图像:

函数的极值定义
y y

使函数取得极值的 点x0称为极值点 称为极值点

o

a

x

o

a

x

注意: 注意:

(1)极值是某一点附近的小区间而言 ) 是函数的局部性质,不是整体的最值 的,是函数的局部性质 不是整体的最值 是函数的局部性质 不是整体的最值; (2)函数的极值不一定唯一 在整个定义区间 )函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值; 内可能有多个极大值和极小值; (3)极大值与极小值没有必然关系, )极大值与极小值没有必然关系, 极大值可能比极小值还小. 极大值可能比极小值还小

y P(x1,f(x1)) a x1

y=f(x)

o

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

观察与思考:极值与导数有何关系? 观察与思考:极值与导数有何关系?

对于可导函数, 对于可导函数 可导函数 是极值点,则 若x0是极值点 则 f’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点 反之 若 ’ 则 不一定是极值点.

如何判断f 是极大值或是极小值? 如何判断 (x0)是极大值或是极小值? 是极大值或是极小值
y x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 f(x) 增 x0左侧 极大值 x0 减 x0右侧

o a
y

x0

b x x f(x) f′(x) f′(x) <0 f′(x) =0 f′(x) >0

o



极小值



a

x0

b

x

左正右负为极大, 左正右负为极大,右正左负为极小

思考
若寻找可导函数 极值点 若寻找 可导函数极值点 可导函数 极值点, 可否只由f 可否只由 ′(x)=0求得即可? 0求得即可? 探索: 是否为函数f(x)=x3 探索 x =0是否为函数 是否为函数 的极值点? 的极值点
不是该函数的极值点.

y f (x)=x3 )

O

x

f′ f′(x)=3x2 当f′(x)=0时,x =0,而x =0 f′
f′(x0) =0 x0 是可导函数 是可导函数f(x)的极值点 的极值点 x0左右侧导数异号 x0 是函数 是函数f(x)的极值点 的极值点

f′(x0) =0

注意: 注意:f /(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件

练习1 练习
的图象, 下图是导函数 y = f ′(x) 的图象 试找出函数 y = f (x) 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. 的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 y

y = f ′(x)
x3 x x4 x5 x6 b

x2 a x1 O

例题选讲: 例题选讲: 例1 求函数

1 3 f ( x) = x ? 4 x + 4 的极值 的极值. 1 3 3 因为 f ( x ) = x ? 4 x + 4, 所以 f ′( x) = x ? 4. 解: = x ? 2)x + 2) ( ( 3 令 f ′( x) = 0, 解得 x = 2, 或 x = ?2. 当 f ′( x) > 0 , 即 x > 2 , 或 x < ?2 ; 当 f ′( x) < 0 , 即 ? 2 < x < 2 .
2

当 x 变化时 f (x) 的变化情况如下表 变化时, 的变化情况如下表: –2 (–2, 2) x (–∞, –2) 2

( 2, +∞)

f ′( x)
f (x)
所以, 所以

+

0
极大值



0
极小值

+

28 当 x = –2 时, f (x)有极大值 3 有极大值 4 当 x = 2 时, f (x)有极小值 ? 有极小值 3

; .

1 3 的极值. 例1 求函数 f ( x) = x ? 4 x + 4 的极值 3
′ = x 2 ? 4 = ( x ? 2)( x + 2). 解: y 解得x 令 y′ = 0 ,解得 1=-2,x2=2. 解得
变化时, 的变化情况如下表: 当x变化时 y ′ ,y的变化情况如下表 变化时 的变化情况如下表 x y’ ’ y (-∞,-2) ∞ + ↗ -2 0 极大值
28 3

(-2,2) ↘

2 0
极小值 ? 4
3

(2,+∞) ∞ + ↗

28 因此,当 时有极大值,并且 因此 当x=-2时有极大值 并且 极大值= 3 ; 时有极大值 并且,y 4 时有极小值,并且 而,当x=2时有极小值 并且 极小值= ? 3 . 当 时有极小值 并且,y

例题1的图像
y f(x)=
1 3 x -4x+4 3

+

-

28 3

o -2
4 ? 3

2 + x

求可导函数f(x)极值的 步骤: 极值的 步骤: 求可导函数
(1) 确定函数的定义域; 确定函数的定义域 (2)求导数 ’(x); 求导数f 求导数 ; (3)求方程 ’(x)=0的根; 求方程f 的根; 求方程 ) 的根 (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 把定义域划分为部分区间 把定义域划分为部分区间, 检查f 在方程根左右的符号—— 检查 ’(x)在方程根左右的符号 在方程根左右的符号 ?如果左正右负(+ ~ -), 如果左正右负 如果左正右负( ), 那么f(x)在这个根处取得极大值; 在这个根处取得极大 那么 在这个根处取得极 ?如果左负右正(- ~ +), 如果左负右正 如果左负右正( ), 那么f(x)在这个根处取得极小值; 在这个根处取得极小 那么 在这个根处取得极

练习1.判断下面 个命题 练习 判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ② 判断下面 个命题, ①可导函数必有极值; 可导函数必有极值;



如y = x 3

②可导函数在极值点的导数一定等于零; 可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在); 设极小值、极大值都存在); ④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。 函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
局部性质。 的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 多个极大值或极小值, 上可能有多个极大值或极小值 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 一点的极大值也可能小于另一点的极小值。 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f ( x) = 6 x ? x ? 2;
2 3

(2) f ( x) = x ? 27 x;
3 3

(3) f ( x) = 6 + 12 x ? x ; (4) f ( x) = 3 x ? x . 解: 1 (1) f ′( x) = 12 x ? 1, 令 f ′( x) = 0, 解得 x = . 列表 列表: 12
x

f ′(x)
f (x)

1 (?∞, ) 12
– 递减

1 12 0

1 ( ,+∞) 12 +
49 24

极大值 ?

递增

1 49 1 . 所以, 所以 当 x = 时, f (x)有极小值 f ( ) = ? 有极小值 12 24 12

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f ( x) = 6 x ? x ? 2;
2 3

(2) f ( x) = x ? 27 x;
3 3

(3) f ( x) = 6 + 12 x ? x ; (4) f ( x) = 3 x ? x . 解: 2 列表: (2) 令f ′( x) = 3 x ? 27 = 0, 解得 x1 = 3, x2 = ?3. 列表
x

f ′(x)

(–∞, –3)

–3

(–3, 3) –

3 0

( 3, +∞)

+

0

+

f (x) 单调递增

54 单调递减

? 54 单调递增

所以, 所以 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 有极大值 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 . 有极小值

练习2 练习
求下列函数的极值: 求下列函数的极值

(1) f ( x) = 6 x ? x ? 2;
2 3

(2) f ( x) = x ? 27 x;
3 3

(3) f ( x) = 6 + 12 x ? x ; (4) f ( x) = 3 x ? x . 解: (3) 令f ′( x) = 12 ? 3 x 2 = 0, 解得 x1 = 2, x2 = ?2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ; 所以 有极小值 当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 . 有极大值

′( x) = 3 ? 3 x 2 = 0, 解得 x1 = 1, x2 = ?1. (4) 令f
所以, 所以 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 有极小值 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 . 有极大值

f ( x) = ax3 + bx 2 + cx 例题2.(2006年北京卷)已知函数 例题2.( 年北京卷)
处取得极大值5,其导函数 在点 x0 处取得极大值 其导函数 y = f '( x) 的图像 (如图 过点(1,0),(2,0), 如图)过点 如图 过点( ) ( ) :(1) 的值;( ;(2) 的值; 求:( ) x0 的值;( )a,b,c的值; 的值 (1)由图像可知: x0 = 1 由图像可知: 由图像可知

3 (a (2) f ( x)= ax + 2bx + c  ≠ 0)
/ 2

f (1) = a + b + c = 5

{
.

f / (1) = 3a + 2b + c = 0 f / (2) = 12a + 4b + c=0

a = 2, b = ?9, c = 12

注意: 注意:数形结合以及函数与方程思想的应用

课外练习: 课外练习
1.函数 函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值,又 既有极大值, 函数 既有极大值 有极小值, 有极小值,则a的取值范围为 a > 2或a < ?1 . 的取值范围为
2.(2006年天津卷 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 ( a , b ) ( 年天津卷)函数 年天津卷 内的图像如图所示, 导函数 f ′( x )在 ( a , b ) 内的图像如图所示,则函数 f ( x ) y 内有( 个极小值点。 在开区间 (a , b ) 内有( A )个极小值点。 y = f ′(x ) (A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
b a O x

作业: 作业:课本 P34A 组 5

的图象, 在标记的点中, 下图是导函数 y = f ′(x) 的图象 在标记的点中 在哪一点处 (1)导函数 y = f ′(x) 有极大值 导函数 有极大值? (2)导函数 y = f ′(x) 有极小值 导函数 有极小值?

练习

x = x2

x = x1 或 x = x4
x = x3

(3)函数 y = f (x)有极大值 函数 有极大值? (4)函数 y = f (x) 有极小值? 函数 有极小值

x = x5

练习: 练习:

2、函数y=f(x)的导数 /与函数值和极值之间的关系为 D ) 、函数 的导数y 的导数 与函数值和极值之间的关系为( A、导数y/由负变正 则函数 由减变为增 且有极大值 、导数 由负变正,则函数 由减变为增,且有极大值 则函数y由减变为增 B、导数y/由负变正 则函数 由增变为减 且有极大值 、导数 由负变正,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减 C、导数y/由正变负 则函数 由增变为减 且有极小值 、导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极小值 则函数y由增变为减 D、导数y/由正变负 则函数 由增变为减 且有极大值 、导数 由正变负,则函数 由增变为减,且有极大值 则函数y由增变为减

时有极值10 10, 3.函数 f (x) = x ?ax ?bx+ a 在 x = 1时有极值10,则a,
3 2 2

C b的值为( ) 的值为( 的值为 A、 a = 3, b = ?3 或 a = ?4, b = 11 B、 a = ?4, b = 1 或 a = ?4, b = 11 C、a = ?4, b = 11 D、 以上都不对


f (1) = 10 由题设条件得: 解:由题设条件得:? / 由题设条件得 ? ? f (1) = 0

?1 ? a ? b + a 2 = 10 ∴? ? 3 ? 2a ? b = 0

解之得

? a = 3 ?a = ?4 或? ? ?b = ?3 ? b = 11

注意代 入检验

通过验证,都合要求,故应选择 。 通过验证,都合要求,故应选择A。

注意: 注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 是函数取得极值的必要不充分条件


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