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2010年全国高中数学联赛试题及答案


2010 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准(B 卷)
说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本 评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当 划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档

次,第 10、11 小题 5 分为一个档次,不要增加其 他中间档次。 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分) 1. 函数 f ( x) ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的值域是 [?3, 3] .

解:易知 f (x) 的定义域是 ?5,8? ,且 f (x) 在 ?5,8? 上是增函数,从而可知 f (x) 的值域为 [?3, 3] . 2. 已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围是 ? 解:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

3 ? a ? 12 . 2

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .


? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 ,
(t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ? 1 ? 0 知 ? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3

(1)

当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ; 对 ? 1 ? t ? 0,? 从而可知

1 ? t2 ? t ? 0. 4 3 ? ? a ? 12 . 2

2 2 3. 双曲线 x ? y ? 1 的右半支与直线 x ? 100 围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为

整数的点)的个数是 9800 . 解:由对称性知,只要先考虑 x 轴上方的情况,设 y ? k (k ? 1,2,?,99) 与双曲线右半支于 Ak ,交

1

直线 x ? 100 于 Bk ,则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 ? k ,从而在 x 轴上方区域内部整点的个 数为

? (99 ? k ) ? 99 ? 49 ? 4851 .
k ?1

99

又 x 轴上有 98 个整点,所以所求整点的个数为

2 ? 4851 ? 98 ? 9800 .
4. 已知 {an } 是公差不为 0 的等差数列, {bn } 是等比数列,其中 a1 ? 3, b1 ? 1, a2 ? b2 ,3a5 ? b3 , 且存在常数 ? , ? 使得对每一个正整数 n 都有 an ? log? bn ? ? ,则 ? ? ? ? 解:设 {an } 的公差为 d ,{bn } 的公比为 q ,则
3

3 ?3.

3 ? d ? q,

(1) (2)

3(3 ? 4d ) ? q 2 ,
(1)代入(2)得

9 ? 12d ? d 2 ? 6d ? 9 ,求得 d ? 6, q ? 9 .
从而有 即 从而 求得

3 ? 6(n ? 1) ? log? 9 n?1 ? ? 对一切正整数 n 都成立,

6n ? 3 ? (n ? 1) log? 9 ? ? 对一切正整数 n 都成立. log? 9 ? 6,?3 ? ? log? 9 ? ? ,

? ? 3 3, ? ? 3 , ? ? ? ? 3 3 ? 3 .

5. 函数 f ( x) ? a 2 x ? 3a x ? 2(a ? 0, a ? 1) 在区间 x ? [?1,1] 上的最大值为 8,则它在这个区间上 的最小值是 ?

1 . 4
2

解:令 a ? y, 则原函数化为 g ( y) ? y ? 3 y ? 2 , g ( y ) 在 (?
x ?1 当 0 ? a ? 1 时, y ? [a, a ] ,

3 ,+?) 上是递增的. 2

g ( y ) max ? a ?2 ? 3a ?1 ? 2 ? 8 ? a ?1 ? 2 ? a ?
所以 g ( y ) min ? ( ) ? 3 ?
2

1 , 2

1 2

1 1 ?2? ? ; 2 4



a ? 1 时, y ? [a ?1 , a] ,
2

g ( y) max ? a 2 ? 3a ? 2 ? 8 ? a ? 2 ,
1 . 4 1 综上 f (x) 在 x ? [?1,1] 上的最小值为 ? . 4
所以 g ( y ) min ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜,否则轮由另 一人投掷.先投掷人的获胜概率是

12 . 17 21 7 ,从而先投掷人的获胜概率为 ? 36 12

解:同时投掷两颗骰子点数和大于 6 的概率为

7 5 7 5 7 ? ( )2 ? ? ( )4 ? ? ? 12 12 12 12 12 7 1 12 . ? ? ? 25 17 12 1? 144
7. 正三棱柱 ABC? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? ,则

sin ? ?

10 . 4

解一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为原点, OC 所在直线为 y 轴,建立空间 直角坐标系.设正三棱柱的棱长为 2,则 B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA ? (?2,0,2), BP ? (?1, 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1
设分别与平面 BA P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则 1

?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0, ? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?
由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,
B1

z

A1 C1

P A O C B y

?? ? ?? ? 所以 m ? n ? m ? n cos ? ,
即 3?

2 ? 2 cos ? ? cos ? ?

6 . 4

x

3

所以 sin ? ?

10 . 4

A1 C1

解二:如图, PC ? PC1 , PA ? PB . 1 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则

E B1 O A P

OA1 ? OB, OA ? OB1 , A1B ? AB1 . 因为 PA ? PB1 , 所以 PO ? AB1 ,
从而 AB1 ? 平面 PA B . 1 过 O 在平面 PA B 上作 OE ? A1 P ,垂足为 E . 1 连结 B1 E ,则 ?B1 EO 为二面角 B ? A1 P ? B1 的平面角. 设 AA1 ? 2 ,则易求得

C B

PB ? PA ? 5, A1O ? B1O ? 2, PO ? 3 . 1
在直角 ?PA1O 中, A1O ? PO ? A1 P ? OE , 即

2 ? 3 ? 5 ? OE,? OE ?

6 5

.

又 B1O ?

2 ,? B1 E ? B1O 2 ? OE 2 ? 2 ?
B1O 2 10 . ? ? B1 E 4 5 4 5

6 4 5 ? . 5 5

sin ? ? sin ?B1 EO ?

8. 方程 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解(x,y,z)的个数是 336675 . 解:首先易知 x ? y ? z ? 2010的正整数解的个数为 C2009 ? 2009?1004.
2

把 x ? y ? z ? 2010满足 x ? y ? z 的正整数解分为三类: (1) x, y , z 均相等的正整数解的个数显然为 1; (2) x, y , z 中有且仅有 2 个相等的正整数解的个数,易知为 1003; (3)设 x, y , z 两两均不相等的正整数解为 k . 易知

1 ? 3 ? 1003 ? 6k ? 2009 ? 1004 ,
4

6k ? 2009 ? 1004 ? 3 ? 1003 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2009 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2006 ? 1005 ? 2004 , k ? 1003 ? 335 ? 334 ? 335671 . 从而满足 x ? y ? z 的正整数解的个数为 1 ? 1003 ? 335671 ? 336675 .
二、解答题(本题满分 56 分) 9.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1 , 试求 a 的最大值. 解一:

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c,

? f ?(0) ? c, ? 1 3 由 ? f ?( ) ? a ? b ? c, ? 4 ? 2 ? f ?(1) ? 3a ? 2b ? c ?



(4 分)

1 3a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) . 2
所以 3 a ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( )

(8 分)

1 2

1 ? 2 f ?(0) ? 2 f ?(1) ? 4 f ?( ) 2
? 8, 8 a? . 3
又易知当 f ( x) ?

(12 分)

8 3 8 x ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 .(16 分) 3 3

解二: f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c . 设 g ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则当 0 ? x ? 1 时, 0 ? g ( x) ? 2 . 设 z ? 2 x ? 1 ,则 x ?

z ?1 , ?1 ? z ? 1 . 2 z ? 1 3a 2 3a ? 2b 3a h( z ) ? g ( )? z ? z? ? b ? c ? 1. 2 4 2 4

(4 分) (8 分)

容易知道当 ? 1 ? z ? 1 时,0 ? h( z ) ? 2,0 ? h(? z ) ? 2 . 从而当 ? 1 ? z ? 1 时, 0 ? 即

h( z ) ? h( ? z ) ?2 , 2

0?

3a 2 3a z ? ? b ? c ?1 ? 2 , 4 4

5

3a 3a ? b ? c ?1 ? 0, z2 ? 2, 4 4 8 由 0 ? z 2 ? 1知 a ? . (12 分) 3 8 8 又易知当 f ( x) ? x 3 ? 4 x 2 ? x ? m ( m 为常数)满足题设条件,所以 a 最大值为 . 3 3
从而 (16 分) 10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y 2 ? 6 x 上的两个动点 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x 2 且

x1 ? x2 ? 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ,求 ?ABC 面积的最大值.
解一:设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ,则

x0 ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 2, y 0 ? 1 , 2 2

k AB ?

y 2 ? y1 y ? y1 6 3 ? 22 ? ? . 2 x 2 ? x1 y 2 ? y1 y 0 y 2 y1 ? 6 6

线段 AB 的垂直平分线的方程是

y ? y0 ? ?

y0 ( x ? 2) . 3

(1)

易知 x ? 5, y ? 0 是(1)的一个解,所以线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点 C 为定点,且点

C 坐标为 (5,0) .
由(1)知直线 AB 的方程为

(5 分)

y ? y0 ?

y 3 ( x ? 2) ,即 x ? 0 ( y ? y 0 ) ? 2 . 3 y0

(2)

(2)代入 y 2 ? 6 x 得
2 y 2 ? 2 y0 ( y ? y0 ) ? 12 ,即 y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 12 ? 0 .(3)

依题意, y1 , y2 是方程(3)的两个实根,且 y1 ? y2 ,所以
2 2 2 ? ? 4 y0 ? 4(2 y0 ?12) ? ?4 y0 ? 48 ? 0 ,

y A

? 2 3 ? y0 ? 2 3 .
AB ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
O B

C(5,0)

x

6

? (1 ? (

y0 2 ) )( y1 ? y 2 ) 2 3

2 y0 ? (1 ? )[(y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ] 9 2 y0 2 2 )(4 y0 ? 4(2 y0 ? 12)) 9

? (1 ?
?

2 2 2 (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) . 3

定点 C (5,0) 到线段 AB 的距离
2 h ? CM ? (5 ? 2) 2 ? (0 ? y 0 ) 2 ? 9 ? y 0 .

(10 分)

S ?ABC ?

1 1 2 2 2 AB ? h ? (9 ? y 0 )(12 ? y 0 ) ? 9 ? y 0 2 3

?

1 1 2 2 2 (9 ? y0 )(24 ? 2 y0 )(9 ? y0 ) 3 2
2 2 2 1 1 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ? 9 ? y0 3 ( ) 3 2 3

?
?

14 7 . 3

(15 分)

2 2 当且仅当 9 ? y0 ? 24 ? 2 y0 ,即 y0 ? ? 5 , A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
14 7. 3
(20 分)

所以 ?ABC 面积的最大值为

解 二 : 同 解 一 , 线 段 AB 的 垂 直 平 分 线 与

x 轴 的 交 点 C 为 定 点 , 且 点 C 坐 标 为 (5,0) .
(5 分)

设 x1 ? t1 , x2 ? t 2 , t1 ? t 2 , t1 ? t 2 ? 4 ,则
2 2 2 2

5 1 2 S ?ABC ? t1 2 2 t2

0

1
(10 分)

6t1 1 的绝对值, 6t 2 1

1 2 2 S ?ABC ? ( (5 6t1 ? 6t12 t 2 ? 6t1t 2 ? 5 6t 2 )) 2 2
7

3 (t1 ? t 2 ) 2 (t1t 2 ? 5) 2 2 3 ? (4 ? 2t1t 2 )( t1t 2 ? 5)( t1t 2 ? 5) 2 3 14 ? ( )3 , 2 3 14 S ?ABC ? 7, 3 ?
2 当且仅当 (t1 ? t 2 ) 2 ? t1t 2 ? 5 且 t12 ? t 2 ? 4 ,

(15 分)

即 t1 ?

7? 5 6

, t2 ? ?

7? 5 6

, A(

6 ? 35 6 ? 35 , 5 ? 7), B( , 5 ? 7) 或 3 3

A(

6 ? 35 6 ? 35 , ?( 5 ? 7)), B( , ? 5 ? 7) 时等号成立. 3 3
14 7. 3
(20 分)

所以 ?ABC 面积的最大值是

11.(本小题满分 20 分)数列 ?an ? 满足 a1 ?

a2 1 , an?1 ? 2 n (n ? 1,2,?) . 3 an ? an ? 1
(1)

求证:

1 1 1 1 ? 2n ?1 ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2n . 2 3 2 3
2 an 知 ? 2 an ? an ? 1

证明:由 a n ?1

1 a n?1

?

1 1 ? ?1, 2 an an
(2)

1 a n ?1
所以

?1 ?

1 1 ( ? 1) . an an

an?1 a2 a ? n ? n ? an , 1 ? an?1 1 ? an 1 ? an
an ? an a ? n?1 . 1 ? an 1 ? an?1
(5 分)



从而

a1 ? a2 ? ? ? an

?

a a a a1 a a ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n?1 1 ? a1 1 ? a2 1 ? a2 1 ? a3 1 ? an 1 ? an?1

?

a a a1 1 ? n?1 ? ? n?1 . 1 ? a1 1 ? an?1 2 1 ? a n?1

8

所以(1)等价于

a 1 1 1 1 1 ? 2n ?1 ? ? n?1 ? ? 2n , 2 3 2 1 ? an?1 2 3


32

n ?1

?

n 1 ? an?1 ? 32 . an?1

(3)

(10 分)

由 a1 ?

a2 1 及 a n ?1 ? 2 n 知 3 an ? an ? 1

a2 ?

1 . 7

当 n ? 1时 ,

1?1 1 1 ? a2 ? 6 , 32 ? 6 ? 32 , a2

即 n ? 1 时, (3)成立. 设 n ? k (k ? 1) 时, (3)成立,即 3 当 n ? k ? 1 时,由(2)知
k 1 ? ak ? 2 1 ? ak ?1 2 1 1 ? ak ?1 ? ( )?( ) ? 32 ; ak ?2 ak ?1 ak ?1 ak ?1

2 k ?1

?

k 1 ? ak ?1 ? 32 . ak ?1

(15 分)

又由(2)及 a1 ?

1 ? an 1 (n ? 1) 均为整数, 知 3 an

从而由

k k k 1 ? ak ?1 1 ? ak ?1 1 ? 32 有 ? 32 ? 1 即 ? 32 , a k ?1 ak ?1 ak ?1

所以

k k k ?1 1 ? ak ?2 1 1 ? ak ?1 ? ? ? 32 ? 32 ? 32 , ak ?2 ak ?1 ak ?1

即(3)对 n ? k ? 1 也成立. 所以(3)对 n ? 1 的正整数都成立,即(1)对 n ? 1 的正整数都成立.

(20 分)

9


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