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正弦型曲线


§3-6 正弦型曲线

教学目标
? 理解正弦型函数 y = A sin(wx + j ) 的含义和 实际应用意义 ? 理解三个参数的几何含义 ? 会用五点法做只含一个参数的函数在一个周 期内的图像

复习回顾:
正弦、余弦函数的图像(五点法作图)

引例1:物体做简协振动时,位移S与时间t的 函数关系是—— s = A sin(wt + j )


引例2:正弦交流电的电流i与时间t的函数关 系是—— i = I sin(wt + j )
m


一、定义
上述形如 y = A sin(wx + j ) 的三角函数称为正弦 型函数,图像称为正弦型曲线。今天主要研 究它的简图的做法。

1、函数 y = A sin x 的图像


例1、作函数 y = 2 sin x 和 y =

1 2

sin x 的图像 .

变化规律:将函数 y = sin x的图像上所有点的 横坐标不变,纵坐标扩大或缩小到原来的A倍。 值域变为[-A,A],最大值为A,最小值为-A。 A——振幅。

2、函数 y = sin wx 的图像
1 例2、作函数 y = sin 2 x和y = sin x的图像 . 2

变化规律:将函数 y = sin x的图像上所有点的 纵坐标不变,横坐标扩大或缩小到原来的 1 倍。 w 2p 周期变为: w

( 3、函数 y = sin x + j) 的图像
p p

( ( 例3、作函数 y = sin x + 3 )和y = sin x - 6 )的图像

变化规律:将函数 y = sin x 的图像所有点向左 或向右平行移动 j 个单位。

j —初相,图像的起点坐标是—— (-j ,0)

练习:P88

练习1

4、函数 y = A sin(wx + j ) 的图像
x p 例4、用五点法作出函数 y = 3 sin( + ) 在一 2 6 个周期内的图像。

p 1 例5、用五点法作出函数 y = sin(2 x - )在一个 2 3

周期内的图像。

练习:P90 练习2 ex:2

例6、已知弹簧挂着的小球做上下自由振动, 它在时间t内离开平衡位置的位移是s厘米,关 p 系式如下: s = 4 sin( 2t + ) 3

(1)小球在开始振动时离开平衡位置的位移有多大? (2)小球的最大位移有多大? (3)小球的振动周期是多长时间? (4)小球每秒往返震动多少次?

例7、已知正弦交流电在一个周期中的图像如 图所示,求电流i与时间t的关系式,以及电流 的频率f。
i 30

C 0.25× 10 -2

1.25× 10 -2

2.25× 10 -2

t

-30

§3-7 正切、余切函数的图像和性质
(1)熟悉正切函数图像的主要性质 (2)了解余切函数图像的主要性质 (3)能认识正切赫余切函数的图像

一、正切函数的图像和性质
正切曲线是由相互平行的直线 x = kp + (k ? Z ) 2 隔开的无穷多支形状相同的曲线构成的.
p

1、正切函数的主要性质
(1)定义域 x ? kp + (2)值域

p
2

,k ? Z

y ? ( -?,+? )

(3)奇偶性 正切函数是奇函数

(4)周期性 (5)单调性 (6)有界性

正切函数的最小正周期是π。
在(kp - ,kp + )内单调增 2 2

p

p

正切函数是无界函数

例题1:比较下列各组三角函数值的大小。 (1) tan 与 tan
4

p

p
6

(2) tan 130 ° tan 140 ° 与
与 (3) tan 70° tan 100°

例2、求下列函数的周期 (1)

y = tan 3 x

x (2) y = tan 4
(3) y = tan(2 x +

p ★ 结论: T = |w |

p
5

)

例3、求函数的定义域
已知函数 y = tan( x + ) ,求它的定义域.
3

p

学生练习:P94

课堂练习

二、余切函数的图像和性质
(k ? Z ) 余切曲线是由相互平行的直线 x = kp 隔开的无穷多支形状相同的曲线构成的.

1、余切函数的主要性质
(1)定义域 x ? kp (2)值域 ,k ? Z

y ? ( -?,+? )

(3)奇偶性 余切函数是奇函数

(4)周期性 (5)单调性 (6)有界性

余切函数的最小正周期是π。

在(kp,kp + p)内单调增
余切函数是无界函数

例题1:比较下列各组三角函数值的大小。 (1) cot 与 cot
4

p

p
6

(2) cot 112 ° cot 121° 与

例2、求下列函数的周期 (1)

y = cot 3 x

x (2) y = cot 4
(3) y = cot(2 x +

p ★ 结论: T = |w |

p
5

)


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