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高三理数一轮复习:第九章 圆锥曲线与方程


第九章
考试要求 1. 了 解 圆 锥 曲 线 的 实 际 背 景,了解圆锥曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用;

圆锥曲线与方程
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重难点击 命题展望 圆锥曲线与函数、方程、 不等

本章重点:1.椭圆、双曲

线、 抛物线的定义、 几何图形、 式、三角形、平面向量等知识结合 标准方程及简单性质;2.直线 是高考常考题型.极有可能以一小

2.掌握椭圆、抛物线的定义、 与圆锥曲线的位置关系问题; 一大的形式出现, 小题主要考查圆 几何图形、 标准方程及简单性质; 3.求曲线的方程或曲线的轨 3.了解双曲线的定义、几何 图形和标准方程,知道它的简单 几何性质; 4. 了 解 圆 锥 曲 线 的 简 单 应 用; 5.理解数形结合的思想; 6.了解方程的曲线与曲线的 方程的对应关系. 迹;4.数形结合的思想,方程 的思想, 函数的思想, 坐标法. 本章难点:1.对圆锥曲 线的定义及性质的理解和应 用;2.直线与圆锥曲线的位置 关系问题;3.曲线与方程的对 应关系. 锥曲线的标准方程及几何性质等 基础知识、 基本技能和基本方法运 用; 解答题常作为数学高考的把关 题或压轴题, 综合考查学生在数形 结合、等价转换、分类讨论、逻辑 推理等方面的能力.

知识网络

9.1
典例精析
题型一 求椭圆的标准方程

椭 圆

4 5 【例 1】已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 和 3

2 5 ,过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 3 4 5 2 5 【解析】由椭圆的定义知,2a= + =2 5,故 a= 5, 3 3 4 52 2 52 5 10 由勾股定理得,( ) -( ) =4c2,所以 c2= ,b2=a2-c2= , 3 3 3 3 x2 3y2 3x2 y2 故所求方程为 + =1 或 + =1. 5 10 10 5 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两 种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n); (2)在求椭圆中的 a、b、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练 1】已知椭圆 C1 的中心在原点、焦点在 x 轴上,抛物线 C2 的顶点在原点、焦点在 x 轴上. 小明从曲线 C1,C2 上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x,y).由于记录失误,使得 其中恰有一个点既不在椭圆 C1 上,也不在抛物线 C2 上.小明的记录如下:

据此,可推断椭圆 C1 的方程为

.

【解析】方法一:先将题目中的点描出来,如图,A(-2,2),B(- 2,0),C(0, 6),D(2,-2 2), E(2 2, 2),F(3,-2 3). 通过观察可知道点 F,O,D 可能是抛物线上的点.而 A,C,E 是椭圆上的点,这 时正好点 B 既不在椭圆上,也不在抛物线上. x2 y2 显然半焦距 b= 6,则不妨设椭圆的方程是 + =1,则将点 m 6 x2 y2 A(-2,2)代入可得 m=12,故该椭圆的方程是 + =1. 12 6 方法二:欲求椭圆的解析式,我们应先求出抛物线的解析式,因为抛物线的解析式形式比椭圆简单一 些. y2 x1 1 不妨设有两点 y2=2px1,①y2=2px2,② 2= , 1 2 y2 x2 则可知 B(- 2,0),C(0, 6)不是抛物线上的点. 而 D(2,-2 2),F(3,-2 3)正好符合. 又因为椭圆的交点在 x 轴上,故 B(- 2,0),C(0, 6)不可能同时出现.故选用 A(-2,2),E(2 2, 2) x2 y2 这两个点代入,可得椭圆的方程是 + =1. 12 6 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例 2】已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60° . (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

x2 y2 【解析】(1)设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2 中, a b 由余弦定理可知 4c2=m2+n2-2mncos 60° , 因为 m+n=2a,所以 m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn, 所以 4c2=4a2-3mn,即 3mn=4a2-4c2. m+n 2 又 mn≤( ) =a2(当且仅当 m=n 时取等号), 2 c2 1 所以 4a2-4c2≤3a2,所以 2≥ , a 4 1 1 即 e≥ ,所以 e 的取值范围是[ ,1). 2 2 4 (2)由(1)知 mn= b2,所以 SPF 3
1F 2

1 3 = mnsin 60° = b2, 2 3

即△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关. 【点拨】椭圆中△F1PF2 往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的 |PF1|+|PF2| 2 使用; 求范围时, 要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用, 如|PF1|· 2|≤( |PF ) , 1|≥a |PF 2 -c. x2 y2 1 【变式训练 2】已知 P 是椭圆 + =1 上的一点,Q,R 分别是圆(x+4)2+y2= 和圆 25 9 4 1 (x-4)2+y2= 上的点,则|PQ|+|PR|的最小值是 4 .

【解析】设 F1,F2 为椭圆左、右焦点,则 F1,F2 分别为两已知圆的圆心, 1 1 则|PQ|+|PR|≥(|PF1|- )+(|PF2|- )=|PF1|+|PF2|-1=9. 2 2 所以|PQ|+|PR|的最小值为 9. 题型三 有关椭圆的综合问题 x2 y2 【例 3】(2010 全国新课标)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 斜率为 a b 1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 【解析】(1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a, 4 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|= a. 3 l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2.

? y ? x ? c, ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点坐标满足方程组 ? x 2 y 2 ? a 2 ? b 2 ? 1. ?
化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,

-2a2c a2(c2-b2) 则 x1+x2= 2 2 ,x1x2= 2 . a +b a +b2 因为直线 AB 斜率为 1,所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[(x1+x2)2-4x1x2], 4 4ab2 即 a= 2 ,故 a2=2b2, 3 a +b2 a2-b2 c 2 所以 E 的离心率 e= = = . a a 2 x1+x2 -a2c 2 c (2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),由(1)知 x0= = 2 2=- c,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b 由|PA|=|PB|?kPN=-1,即 y0+1 =-1?c=3. x0

x2 y2 从而 a=3 2,b=3,故 E 的方程为 + =1. 18 9 x2 y2 【变式训练 3】已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e,两焦点为 F1,F2,抛物线以 F1 为顶点,F2 a b |PF1| 为焦点,P 为两曲线的一个交点,若 =e,则 e 的值是( |PF2| A. 3 2 B. 3 3 C. 2 2 ) D. 6 3

a2 【解析】设 F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0),则椭圆左准线 x=- ,抛物线准线为 x= c a2 c2 1 3 -3c,x0-(- )=x0-(-3c)? 2= ?e= .故选 B. c a 3 3

总结提高
1.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏. 确定椭圆需要三个条件,要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位),还要确定 a、 b 的值(即定量),若定位条件 不足应分类讨论,或设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解. 2.充分利用定义解题,一方面,会根据定义判定动点的轨迹是椭圆,另一方面,会利用椭圆上的点到 两焦点的距离和为常数进行计算推理. 3.焦点三角形包含着很多关系,解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手,且不可顾此失彼, 另外一定要注意椭圆离心率的范围.

9.2
典例精析
题型一 双曲线的定义与标准方程

双曲线

【例 1】已知动圆 E 与圆 A:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 B:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 E 的轨 迹方程. 【解析】设动圆 E 的半径为 r,则由已知|AE|=r+ 2,|BE|=r- 2, 所以|AE|-|BE|=2 2,又 A(-4,0),B(4,0),所以|AB|=8,2 2<|AB|.

根据双曲线定义知,点 E 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支. 因为 a= 2,c=4,所以 b2=c2-a2=14, x2 y2 故点 E 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14 【点拨】 利用两圆内、 外切圆心距与两圆半径的关系找出 E 点满足的几何条件, 结合双曲线定义求解, 要特别注意轨迹是否为双曲线的两支. x2 y2 【变式训练 1】P 为双曲线 - =1 的右支上一点,M,N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和 9 16 (x-5)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( A.6 【解析】选 D. 题型二 双曲线几何性质的运用 x2 y2 【例 2】双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点为 A,x 轴上有一点 Q(2a,0),若 C 上存在一点 P, a b 使 AP ? PQ =0,求此双曲线离心率的取值范围. 【解析】设 P(x,y),则由 AP ? PQ =0,得 AP⊥PQ,则 P 在以 AQ 为直径的圆上, 3a a 即 (x- )2+y2=( )2,① 2 2 x2 y2 又 P 在双曲线上,得 2- 2=1,② a b 由①②消去 y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0, 即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0, 当 x=a 时,P 与 A 重合,不符合题意,舍去; 2a3-ab2 2a3-ab2 当 x= 2 >a, 2 时,满足题意的点 P 存在,需 x= 2 a +b a +b2 c 6 化简得 a2>2b2,即 3a2>2c2, < , a 2 所以离心率的取值范围是(1, 6 ). 2 B.7 C.8 ) D.9

【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式,是求离心率的取值范围的常用方 法. x2 y2 【变式训练 2】设离心率为 e 的双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,直线 l 过焦点 F,且 a b 斜率为 k,则直线 l 与双曲线 C 的左、右两支都相交的充要条件是( A.k2-e2>1 C.e2-k2>1 B.k2-e2<1 D.e2-k2<1 )

b b b2 【解析】由双曲线的图象和渐近线的几何意义,可知直线的斜率 k 只需满足- <k< ,即 k2< 2= a a a

c2-a2 2 =e -1,故选 C. a2 题型三 有关双曲线的综合问题 x2 【例 3】(2010 广东)已知双曲线 -y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双 2 曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0,h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1⊥l2,求 h 的值. 【解析】(1)由题意知|x1|> 2,A1(- 2,0),A2( 2,0),则有 y1 直线 A1P 的方程为 y= (x+ 2),① x1+ 2 直线 A2Q 的方程为 y= -y1 (x- 2).② x1- 2

2 2y1 2 2y 方法一:联立①②解得交点坐标为 x= ,y= ,即 x1= ,y1= ,③ x1 x1 x x 则 x≠0,|x|< 2. x2 2 x2 2 1 而点 P(x1,y1)在双曲线 -y =1 上,所以 -y1=1. 2 2 x2 2 将③代入上式,整理得所求轨迹 E 的方程为 +y =1,x≠0 且 x≠± 2. 2 方法二:设点 M(x,y)是 A1P 与 A2Q 的交点,①× ②得 y2= x2 2 x2 1 1 又点 P(x1,y1)在双曲线上,因此 -y1=1,即 y2= -1. 1 2 2 x2 代入③式整理得 +y2=1. 2 因为点 P,Q 是双曲线上的不同两点,所以它们与点 A1,A2 均不重合.故点 A1 和 A2 均不在轨迹 E 上. 过点(0,1)及 A2( 2,0)的直线 l 的方程为 x+ 2y- 2=0. -y2 2 1 (x -2).③ 2 x1-2

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 解方程组 ? x 2 得 x= 2,y=0.所以直线 l 与双曲线只有唯一交点 A2. 2 ? ? y ?1 ?2
故轨迹 E 不过点(0,1).同理轨迹 E 也不过点(0,-1). x2 综上分析,轨迹 E 的方程为 +y2=1,x≠0 且 x≠± 2. 2 (2)设过点 H(0,h)的直线为 y=kx+h(h>1), x2 联立 +y2=1 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0. 2 令 Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得 h2-1-2k2=0, 解得 k1= h2-1 ,k2=- 2 h2-1 . 2

h2-1 由于 l1⊥l2,则 k1k2=- =-1,故 h= 3. 2 过点 A1,A2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H(0,h),且使 l1⊥l2,因此 A1H⊥A2H,由 =-1,得 h= 2. 此时,l1,l2 的方程分别为 y=x+ 2与 y=-x+ 2, 它们与轨迹 E 分别仅有一个交点(- 所以,符合条件的 h 的值为 3或 2. x2 y2 【变式训练 3】双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e,过 F2 的直线 a b 与双曲线的右支交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e2 等于( A.1+2 2 C.4-2 2 B.3+2 2 D.5-2 2 ) 2 2 2 2 2 2 , )与( , ). 3 3 3 3 h h × (- ) 2 2

【解析】本题考查双曲线定义的应用及基本量的求解. 据题意设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|= 2x. 由双曲线定义有|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a ?(|AF1|+|BF1|)-(|AF2|+|BF2|)=( 2+1)x-x=4a,即 x=2 2a=|AF1|. 故在 Rt△AF1F2 中可求得|AF2|= |F1F2|2-|AF1|2= 4c2-8a2. 又由定义可得|AF2|=|AF1|-2a=2 2a-2a,即 4c2-8a2=2 2-2a, c2 两边平方整理得 c2=a2(5-2 2)? 2=e2=5-2 2,故选 D. a

总结提高
1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质,但应特别注意不同点,如 a,b, c 的关系、渐近线等. 2.要深刻理解双曲线的定义,注意其中的隐含条件.当||PF1|-|PF2||=2a<|F1F2|时,P 的轨迹是双曲线; 当||PF 1 |-|PF2 ||=2a=|F1F 2 |时,P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线;当 ||PF1|-|PF2||=2a>|F1F2|时,P 无轨迹. 3.双曲线是具有渐近线的曲线,画双曲线草图时,一般先画出渐近线,要掌握以下两个问题: (1)已知双曲线方程,求它的渐近线; b x2 y2 (2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线 y=± x,可将双曲线方程设为 2- 2=λ(λ≠0), a a b 再利用其他条件确定 λ 的值,求法的实质是待定系数法.

9.3
典例精析
题型一 抛物线定义的运用

抛物线

【例 1】根据下列条件,求抛物线的标准方程. (1)抛物线过点 P(2,-4); (2)抛物线焦点 F 在 x 轴上,直线 y=-3 与抛物线交于点 A,|AF|=5. 【解析】(1)设方程为 y2=mx 或 x2=ny. 将点 P 坐标代入得 y2=8x 或 x2=-y. (2)设 A(m,-3),所求焦点在 x 轴上的抛物线为 y2=2px(p≠0), p 由定义得 5=|AF|=|m+ |,又(-3)2=2pm,所以 p=± 或± 1 9, 2 所求方程为 y2=± 或 y2=± 2x 18x. 【变式训练 1】已知 P 是抛物线 y2=2x 上的一点,另一点 A(a,0) (a>0)满足|PA|=d,试求 d 的最小值. 【解析】设 P(x0,y0) (x0≥0),则 y2=2x0, 0 所以 d=|PA|= (x0-a)2+y2= (x0-a)2+2x0= [x0+(1-a)]2+2a-1. 0 因为 a>0,x0≥0, 所以当 0<a<1 时,此时有 x0=0,dmin= (1-a)2+2a-1=a; 当 a≥1 时,此时有 x0=a-1,dmin= 2a-1. 题型二 直线与抛物线位置讨论 【例 2】(2010 湖北)已知一条曲线 C 在 y 轴右侧,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的 差都是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA ? FB <0? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,那么点 P(x,y)满足: (x-1)2+y2-x=1(x>0). 化简得 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)(m>0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2).

? x ? ty ? m, 设 l 的方程为 x=ty+m,由 ? 2 得 y2-4ty-4m=0, y ? 4 x, ?
? y1 ? y2 ? 4t , Δ=16(t2+m)>0,于是 ? ? y1 y2 ? ?4m.
又 FA =(x1-1,y1), FB =(x2-1,y2). ①

FA ? FB <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②
2 y2 y2 y2 y2 y2 1 2 1 又 x= ,于是不等式②等价于 · +y1y2-( + )+1<0 4 4 4 4 4

?

(y1y2)2 1 +y1y2- [(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③ 16 4

由①式,不等式③等价于 m2-6m+1<4t2.④

对任意实数 t,4t2 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 m2-6m+1<0,即 3-2 2<m <3+2 2. 由此可知,存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA · FB < 0,且 m 的取值范围是(3-2 2,3+2 2). 【变式训练 2】已知抛物线 y2=4x 的一条弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 所在直线与 y 轴的交点坐 1 1 标为(0,2),则 + = y1 y2 .

? x ? m( y ? 2), 【解析】 ? 2 ?y2-4my+8m=0, y ? 4x ?
1 1 y1+y2 1 所以 + = = . y1 y2 y1y2 2 题型三 有关抛物线的综合问题 【例 3】已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交 C 于点 N. (1)求证:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使 NA · NB =0?若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 【解析】(1)证明:如图,设 A(x1,2x2),B(x2,2x2), 1 2 把 y=kx+2 代入 y=2x2,得 2x2-kx-2=0, k 由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2=-1, 2 x1+x2 k k k2 所以 xN=xM= = ,所以点 N 的坐标为( , ). 2 4 4 8 k2 k 设抛物线在点 N 处的切线 l 的方程为 y- =m(x- ), 8 4 mk k2 将 y=2x2 代入上式,得 2x2-mx+ - =0, 4 8 因为直线 l 与抛物线 C 相切, mk k2 所以 Δ=m2-8( - )=m2-2mk+k2=(m-k)2=0, 4 8 所以 m=k,即 l∥AB. (2)假设存在实数 k,使 NA · NB =0,则 NA⊥NB, 又因为 M 是 AB 的中点,所以|MN|=

1 |AB|. 2

1 1 1 1 k2 k2 由(1)知 yM= (y1+y2)= (kx1+2+kx2+2)= [k(x1+x2)+4]= ( +4)= +2. 2 2 2 2 2 4
2 k2 k2 k +16 因为 MN⊥x 轴,所以|MN|=|yM-yN|= +2- = . 4 8 8

又|AB|= 1+k2·|x1-x2|= 1+k2· (x1+x2)2-4x1x2

= 1+k2·

k 1 ( )2-4× (-1)= k2+1· k2+16. 2 2

k2+16 1 2 所以 = k +1· k2+16,解得 k=± 2. 8 4 即存在 k=± 2,使 NA · NB =0. 【点拨】直线与抛物线的位置关系,一般要用到根与系数的关系;有关抛物线的弦长问题,要注意弦 是否过焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则必须使用一般弦长公 式. 【变式训练 3】已知 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,过点 P 作圆(x-3)2+y2=1 的切线,切点分别 为 M、N,则|MN|的最小值是 4 5 【解析】 . 5 .

总结提高
1.在抛物线定义中,焦点 F 不在准线 l 上,这是一个重要的隐含条件,若 F 在 l 上,则抛物线退化为 一条直线. 2.掌握抛物线本身固有的一些性质:(1)顶点、焦点在对称轴上;(2)准线垂直于对称轴;(3)焦点到准线 的距离为 p;(4)过焦点垂直于对称轴的弦(通径)长为 2p. 3.抛物线的标准方程有四种形式,要掌握抛物线的方程与图形的对应关系.求抛物线方程时,若由已知 条件可知曲线的类型,可采用待定系数法. 4.抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握.但由于抛物线的离心率为 1,所以 抛物线的焦点有很多重要性质,而且应用广泛,例如:已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线 2p 于 A、B 两点,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有下列性质:|AB|=x1+x2+p 或|AB|= 2 (α 为 AB 的倾斜角), sin α p2 y1y2=-p2,x1x2= 等. 4

9.4
典例精析

直线与圆锥曲线的位置关系

题型一 直线与圆锥曲线交点问题 【例 1】若曲线 y2=ax 与直线 y=(a+1)x-1 恰有一个公共点,求实数 a 的值.

? y ? (a ? 1) x ? 1, 【解析】联立方程组 ? 2 ? y ? ax,
? x ? 1, (1)当 a=0 时,方程组恰有一组解为 ? ? y ? 0;
a+1 2 (2)当 a≠0 时,消去 x 得 y -y-1=0, a a+1 ①若 =0,即 a=-1,方程变为一元一次方程-y-1=0, a

? x ? ?1, 方程组恰有一组解 ? ? y ? ?1;
a+1 4(a+1) 4 ②若 ≠0,即 a≠-1,令 Δ=0,即 1+ =0,解得 a=- ,这时直线与曲线相切,只有一个 a a 5 公共点. 4 综上所述,a=0 或 a=-1 或 a=- . 5 【点拨】本题设计了一个思维“陷阱” ,即审题中误认为 a≠0,解答过程中的失误就是不讨论二次项 系数

a ?1 =0,即 a=-1 的可能性,从而漏掉两解.本题用代数方法解完后,应从几何上验证一下:①当 a
2

a=0 时,曲线 y =ax,即直线 y=0,此时与已知直线 y=x-1 恰有交点(1,0);②当 a=-1 时,直线 y =-1 与抛物线的对称轴平行, 恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零); 4 ③当 a=- 时直线与抛物线相切. 5 【变式训练 1】 若直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=4 有且只有一个公共点, 则实数 k 的取值范围为( A.{1,-1, 5 5 ,- } 2 2 B.(-∞,- 5 5 ]∪[ ,+∞) 2 2 5 ,+∞) 2 )

C.(-∞,-1]∪[1,+∞) 【解析】由 ?

D.(-∞,-1)∪[

? y ? kx ? 1, ?x ? y ? 4
2 2

?(1-k2)x2-2kx-5=0,

?1 ? k 2 ? 1, 5 ?k=± ,结合直线过定点(0,-1),且渐近线斜率为± 1,可知答案为 A. ? 2 ?Δ ? 0
题型二 直线与圆锥曲线的相交弦问题 x2 y2 【例 2】(2010 辽宁)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B a b 两点,直线 l 的倾斜角为 60° AF =2 FB . , (1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|= 15 ,求椭圆 C 的方程. 4

【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知 y1<0,y2>0. (1)直线 l 的方程为 y= 3(x-c),其中 c= a2-b2.

? y ? 3 ( x ? c), ? 联立 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a
得(3a2+b2)y2+2 3b2cy-3b4=0. - 3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) 解得 y1= ,y2= . 3a2+b2 3a2+b2

因为 AF =2 FB ,所以-y1=2y2,即 c 2 解得离心率 e= = . a 3 (2)因为|AB|=

3b2(c+2a) - 3b2(c-2a) =2· . 3a2+b2 3a2+b2

1 2 4 3ab2 15 1+ |y2-y1|,所以 · 2 2= . 3 4 3 3a +b

c 2 5 5 15 由 = 得 b= a,所以 a= ,即 a=3,b= 5. a 3 3 4 4 x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1. 9 5 【点拨】本题考查直线与圆锥曲线相交及相交弦的弦长问题,以及用待定系数法求椭圆方程. 【变式训练 2】椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜 率为 3 a ,则 的值为 2 b .

【解析】设直线与椭圆交于 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),弦中点坐标为(x0,y0),代入椭 圆方程两式相减得 a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0? 2ax0+2by0 y1-y2 =0?ax0-by0=0. x1-x2

a y0 3 故 = = . b x0 2 题型三 对称问题 【例 3】在抛物线 y2=4x 上存在两个不同的点关于直线 l:y=kx+3 对称,求 k 的取值范围. 【解析】设 A(x1,y1)、B(x2、y2)是抛物线上关于直线 l 对称的两点,由题意知 k≠0. 1 设直线 AB 的方程为 y=- x+b, k

1 ? 1 ? y ? ? x ? b, 联立 ? 消去 x,得 y2+y-b=0, k 4k ? y2 ? 4x ?
1 b 由题意有 Δ=12+4· ·b>0,即 +1>0.(*) 4k k y1+y2 x1+x2 1 x1+x2 且 y1+y2=-4k.又 =- · +b.所以 =k(2k+b). 2 k 2 2 故 AB 的中点为 E(k(2k+b),-2k). -2k-3 因为 l 过 E,所以-2k=k2(2k+b)+3,即 b= -2k. k2 -2k-3 k3+2k+3 代入(*)式,得 -2+1>0? <0 k3 k3 ?k(k+1)(k2-k+3)<0?-1<k<0,故 k 的取值范围为(-1,0). 【点拨】(1)本题的关键是对称条件的转化.A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线 l 对称,则满足直线 l 与 AB 垂直,且线段 AB 的中点坐标满足 l 的方程;

(2)对于圆锥曲线上存在两点关于某一直线对称,求有关参数的范围问题,利用对称条件求出过这两点 的直线方程,利用判别式大于零建立不等式求解;或者用参数表示弦中点的坐标,利用中点在曲线内部的 条件建立不等式求参数的取值范围. 【变式训练 3】已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于 x+y=0 对称的两点 A,B,则|AB|等于( A.3 B.4
2

)

C.3 2
2

D.4 2

【解析】设 AB 方程:y=x+b,代入 y=-x +3,得 x +x+b-3=0, 1 1 所以 xA+xB=-1,故 AB 中点为(- ,- +b). 2 2 它又在 x+y=0 上,所以 b=1,所以|AB|=3 2,故选 C.

总结提高
1.本节内容的重点是研究直线与圆锥曲线位置关系的判别式方法及弦中点问题的处理方法. 2.直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论,即联立方程组

? Ax ? By ? C ? 0, 通过消去 y(也可以消去 x)得到 x 的方程 ax2+bx+c=0 进行讨论.这时要注意考虑 a=0 ? ? f ( x, y) ? 0,
和 a≠0 两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除 a≠0,Δ=0 外,直线与双曲线的渐近线平 行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见, 直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件. 3.弦中点问题的处理既可以用判别式法,也可以用点差法;使用点差法时,要特别注意验证“相交” 的情形.

9.5
典例精析
题型一 求轨迹方程

圆锥曲线综合问题

【例 1】已知抛物线的方程为 x2=2y,F 是抛物线的焦点,过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点, 分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l2,记 l1 和 l2 交于点 M. (1)求证:l1⊥l2; (2)求点 M 的轨迹方程. 1 【解析】(1)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+ . 2

1 ? ? y ? kx ? 2 ? 联立 ? 消去 y 整理得 x2-2kx-1=0.设 A 的坐标为(x1,y1),B 的坐标为(x2,y2),则有 x1x2= ? y ? 1 x2 ? 2 ?
1 -1,将抛物线方程改写为 y= x2,求导得 y′=x. 2 所以过点 A 的切线 l1 的斜率是 k1=x1,过点 B 的切线 l2 的斜率是 k2=x2. 因为 k1k2=x1x2=-1,所以 l1⊥l2.

2 x1 (2)直线 l1 的方程为 y-y1=k1(x-x1),即 y- =x1(x-x1). 2

x2 2 同理直线 l2 的方程为 y- =x2(x-x2). 2
2 x1 x2 2 联立这两个方程消去 y 得 - =x2(x-x2)-x1(x-x1), 2 2

x1+x2 整理得(x1-x2)(x- )=0, 2 x1+x2 注意到 x1≠x2,所以 x= . 2 x1+x2 x2 x2 x1x2 1 1 1 此时 y= +x1(x-x1)= +x1( -x1)= =- . 2 2 2 2 2 由(1)知 x1+x2=2k,所以 x= x1+x2 =k∈R. 2

1 所以点 M 的轨迹方程是 y=- . 2 【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一,本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求 轨迹”是两个不同概念,“求轨迹”除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨迹的形状,这就需要我 们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌. 【变式训练 1】已知△ABC 的顶点为 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程是( x2 y2 A. - =1 9 16 ) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9

【解析】如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6, 根据双曲线定义,所求轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的 x y 为 - =1(x>3),故选 C. 9 16 题型二 圆锥曲线的有关最值 【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1.当∠ABC =60° 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. 【解析】因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n. 由?
2 2

右支, 方程

? x 2 ? 3 y 2 ? 4, 得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? y ? ?x ? n

4 3 4 3 因为 A,C 在椭圆上,所以 Δ=-12n2+64>0,解得- <n< . 3 3 设 A,C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2= n y1=-x1+n,y2=-x2+n. 所以 y1+y2= . 2 3n2-4 3n ,x1x2= , 2 4

因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60° ,所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 |AC|2. 2 -3n2+16 3 4 3 4 3 ,所以 S= (-3n2+16) (- <n< ). 2 4 3 3

又|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3. 【点拨】建立“目标函数”,借助代数方法求最值,要特别注意自变量的取值范围.在考试中很多考生 没有利用判别式求出 n 的取值范围,虽然也能得出答案,但是得分损失不少. 【变式训练 2】已知抛物线 y=x2-1 上有一定点 B(-1,0)和两个动点 P、Q,若 BP⊥PQ,则点 Q 横坐 标的取值范围是 .

2 【解析】如图,B(-1,0),设 P(xP,xP-1),Q(xQ,x2 -1), Q 2 x2 -1 xQ-x2 P P 由 kBP·kPQ=-1,得 · =-1. xP+1 xQ-xP

所以 xQ=-xP- 因为|xP-1+

1 1 =-(xP-1)- -1. xP-1 xP-1

1 |≥2,所以 xQ≥1 或 xQ≤-3. xP-1

题型三 求参数的取值范围及最值的综合题 m2 x2 【例 3】(2010 浙江)已知 m>1,直线 l:x-my- =0,椭圆 C: 2+y2 2 m =1,F1,F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点. (1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,△AF1F2,△BF1F2 的重心分别为 G,H.若原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. m2 【解析】(1)因为直线 l:x-my- =0 经过 F2( m2-1,0), 2 所以 m2-1= m2 ,解得 m2=2, 2

又因为 m>1,所以 m= 2. 故直线 l 的方程为 x- 2y-1=0. (2)A(x1,y1),B(x2,y2),

? m2 ? x ? my ? 2 , m2 ? 由? 2 消去 x 得 2y2+my+ -1=0, 4 ? x ? y2 ? 1 ? m2 ?
m2 则由 Δ=m2-8( -1)=-m2+8>0 知 m2<8, 4 m m2 1 且有 y1+y2=- ,y1y2= - . 2 8 2 由于 F1(-c,0),F2(c,0),故 O 为 F1F2 的中点,

x1 y1 x2 y2 由 AG =2 GO , BH =2 HO ,得 G( , ),H( , ), 3 3 3 3 (x1-x2)2 (y1-y2)2 |GH|2= + . 9 9 x1+x2 y1+y2 设 M 是 GH 的中点,则 M( , ), 6 6 x1+x2 2 y1+y2 2 (x1-x2)2 (y1-y2)2 由题意可知,2|MO|<|GH|,即 4[( ) +( ) ]< + , 6 6 9 9 即 x1x2+y1y2<0. m2 m2 m2 1 而 x1x2+y1y2=(my1+ )(my2+ )+y1y2=(m2+1)( - ). 2 2 8 2 m2 1 所以 - <0,即 m2<4. 8 2 又因为 m>1 且 Δ>0,所以 1<m<2. 所以 m 的取值范围是(1,2). 【点拨】本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆、点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力. 【变式训练 3】若双曲线 x2-ay2=1 的右支上存在三点 A、B、C 使△ABC 为正三角形,其中一个顶点 A 与双曲线右顶点重合,则 a 的取值范围为 【解析】设 B(m, m2-1 ),则 C(m,- a . m2-1 )(m>1), a m2-1 2 ), a

m2-1 又 A(1,0),由 AB=BC 得(m-1)2+ =(2 a

m+1 2 所以 a=3 =3(1+ )>3, a 的取值范围为(3, 即 +∞). m-1 m-1

总结提高
1.求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是 利用题设中的几何条件, 用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的 定义、性质等基础知识的掌握,还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力,因此这类 问题成为高考命题的热点,也是同学们的一大难点.求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代 入法、参数法、待定系数法. 2.最值问题的代数解法,是从动态角度去研究解析几何中的数学问题的主要内容,其解法是设变量、 建立目标函数、 转化为求函数的最值.其中, 自变量的取值范围由直线和圆锥曲线的位置关系(即判别式与 0 的关系)确定. 3.范围问题,主要是根据条件,建立含有参变量的函数关系式或不等式,然后确定参数的取值范围.其 解法主要有运用圆锥曲线上点的坐标的取值范围,运用求函数的值域、最值以及二次方程实根的分布等知 识.嗄


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