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2013高考数学三部曲(复习、诊断、练习)典型易错题会诊 考点14 极限


考点 14 极限 ? 数学归纳法 ? 数列的极限 ? 函数的极限 ? 函数的连续性 ? 数学归纳法在数列中的应用 ? 数列的极限 ? 函数的极限 ? 函数的连续性 典型易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法 1.(典型例题)已知 a>0,数列{an}满足 a1=a,an+1=a+
n ??

1 an

,n=1,2,?.

(Ⅰ)已知数列{an}极限存在且大于零,求 A= lim an (将 A 用 a 表示); (Ⅱ)设 bn=an-A,n=1,2?,证明:bn+1=(Ⅲ)若|bn|≤
1 2n
bn ; A(bn ? A)

, 对 n=1,2?都成立,求 a 的取值范围。
1 an

[考场错解] (Ⅰ)由 lim an ,存在,且 A= lim an (A>0),对 aa+1=a+
n ?? n ??

两边取极限得,

A=a+

1 A

. 解得 A=

a ? a2 ? 4 .又 2

A>0, ∴A=

a ? a2 ? 4 . 2

(Ⅱ)由 an+bn+A,an+1=a+ ∴ bn ?1 ? a ? A ? 即 bn ?1 ? ?

1 an

得 bn+1+A=a+

1 bn ? A

.

1 1 1 bn ?? ? ?? . bn ? A A bn ? A A(bn ? A)

bn A(bn ? A)

对 n=1,2?都成立。
1 2
n

(Ⅲ)∵对 n=1,2,?|bn|≤
1 2 1 2

,则取 n=1 时, | b1 |?
3 2

1 2

,得 | a ? (a ? a 2 ? 4 |? .

1 2

1 2

∴ | ( a 2 ? 4 ? a) |? . ? a 2 ? 4 ? a ? 1 ,解得 a ? 。 [专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般,而且不知{bn}数列的增减性,更不能以 b1 取 代 bn. [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。 (Ⅲ)令|b1|≤ ,得 | a ? (a ? a 2 ? 4) |? . ∴|
1 2 1 a ? 4 ? a |? . 2 2 1 2 1 2 1 2

第 1 页 共 23 页

∴ a 2 ? 4 ? a ? 1, 解得a ? . 现证明当 a ? 时, | bn |?
3 2

3 2

1 2n

对 n=1,2,?都成立。

(i)当 n=1 时结论成立(已验证)。 (ii)假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 | bk |?
1 ? 1 2

1 2k

,那么 | bk ?1 |?

| bk | 1 1 ? ? . | A(bk ? A) | A | bk ? A | 2k

故只须证明 A | bk ? A |
2 由于 A ? a ? a ? 4 ?

,即证 A|bk+A|≥2 对 a≥ 成立
2

3 2

2

a ?4 ?a
3 2

2

,

而当a≥ 时,而当a≥ 时, a 2 ? 4 ? a ? 1,? A ? 2. ∴ | bk ? A |? A? | bk |? 2 ?
2

3 2

1 2k 1 2

? 1, 即A|bk+A|≥2. 1 2k ? 1 2k ?1 .

3 故当a≥ 时, | bk ?1 |? ?

即n=k+1时结论成立。 根据(i)和(ii),可知结论对一切正整数都成立。 故|bn|≤
1 2
n

对n=1,2,?都成立的a的取值范围为[ ,?? ]

3 2

2.(典型例题)已知数列{an}中,a1=3,前 n 项和 Sn 满足条件 Sn=6-2an+1.计算 a2、a3、a4, 然后猜想 an 的表达式。并证明你的结论。 [考场错解] 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1= an.因为 a1=3,所以 a2= a1= ,a3= a2= ,a4= a3= . 由此猜想 an= ① 当 n=1 时,a1=
3 21?1
1 2 3 2 1 2 3 4 1 2 3 8

1 2

3 2n ?1

(n ? N * )

=3,结论成立;
3 2
k ?1

② 假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak=
ak ?1 1 ? ,又 ak 2
k+1-1

成立,则当 n=k+1 时,因为 ak+1= ak,所以
1 2 1 2

1 2

a1=3,所以{an}是首项为 3 公比为 的等比数列。由此得 ak+1=3?( )

=

3 2
k ?1?1

,这表明,当 n=k+1 时结论也成立。

由①、②可知,猜想对任意 n∈N*都成立。 [专家把脉] ①应由 a1=S1=6-2a2,求得 a2= ,再由 an+1= an(n≥2)求得 a3= ,a4= ,进而由 此猜想 an=
3 2
n ?1

3 2

1 2

3 4

3 8

(n∈E*).

第 2 页 共 23 页

②用数学归纳法证明猜想时,没有利用归纳假设 ak ? 式求得 ak+1=
3 2
k ?1?1

3 2
k ?1

,而是根据等比列的通项公

.这种证明不属于数学归纳法。
3 2

[对症下药] 由 a1=S1=6-2a2,a1=3,得 a2= . 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1= an.将 a2= 代入得 a3= a2= ,a4= a3= ,由此 猜想 an=
3 2n ?1 (n ? N *). 下面用数学归纳法证明猜想成立。 3 a
1?1

1 2

3 2

1 2

3 4

1 2

3 8

①当 n=1 时,a1=

? 3 ,猜想成立; 3 2
k ?1

②假设当 n=k(k≥1)时结论成立,即 ak= 以 ak+1= ?
1 2

成立,则当 n=k+1 时,因为 ak+1= ak,所

1 2

3 2
k ?1

=

3 2
k

?

3 2
k ?1?1

这表明,当 n=k+1 时结论也成立。

由①,②可知,猜想对 n∈N*都成立。 3.(典型例题)已知不等式 + +?+
1 2 1 3 1 n

> [log2n],其中 n 为大于 2 的整数,[log2n]表

1 2

示不超过 log2n 的最大整数。设数列{an}的各项为正,且满足 a1=b(b>0),an≤
nan ? 1 ,n=2,3,4,?. n ? an ? 1

(Ⅰ)证明:an≤

2b ,n=2,3,4,5,?; 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明); (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n>N 时,对任意 b>0,都有 an< . [考场错解] (1)利用数学归纳法证明不等式: an ? 1)当 a=3 时, an ?
3a2 3 3 b ? ? ? 3 2 ? a1 3 ? a2 1 ? f (3) ? b ?1 ?1 a2 2a1
b . 1 ? f ( n) ? b
1 5

知不等式成立。

2)假设 n=k(k≤3)时,ak≤

(k ? 1)ak k ?1 b b ? ? .即 , 则 ak ?1 ? (k ? 1) ? ak 1 ? k ? 1 1 ? f (k ? 1) ? b 1 ? f (k )b ak

n=k+1

时,不等式成立。 (Ⅱ)有极限,且 linan an ? 0.
n ??

(Ⅲ) ?

2b 2 2 1 ? ,令 ? . 2 ? b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5
1 5

解得 n>10=1024.取 N=1024,有 an< .

第 3 页 共 23 页

[专家把脉] (1)在运用数学归纳证明时,第 n-k+1 步时,一定要运用归纳假设进行 不等式放缩与转化,不能去拼凑。 [对症下药] (Ⅰ)证法 1:∵当 n≥2 时,0<an≤ ,于是有 ,所有不等式两边相加可得
1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . an a1 2 3 n man ? 1 ,∴ n ? an ? 1

1 n ? an ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ,即 ? ? an nan ? 1 an ? 1 n an an ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? a2 a1 2 a3 a2 3 an an ? 1 n

由已知不等式知,当 n≥3 时有, ∵a1<b,∴ ∴an<

1 1 1 ? ? [log 2 n]. an a1 2

1 1 1 2 ? b[log 2 n] ? ? [log 2 n] ? . an b 2 2b

2b . 2 ? b[log 2 n]
1 2 1 3 1 n

证法 2:设 f(n)= ? ? ? ? ,首先利用数学归纳法证不等式 an ? (i)当 n=3 时,由 a3 ?

b , n=3,4,5,?. 1 ? f (n)b

3a2 3 3 b ? ? ? . 知不等式成立。 3 2 ? a 3 ? a2 1 ? 1 1 ? f (3)b ?1 a2 2a1
b , 1 ? f (k )b

(ii)假设当 n=k(k≥3)时,不等式成立,即 ak≤ 则 ak+1≤

(k ? 1)ak k ?1 k ?1 (k ? 1)b b b ? ? ? ? ? ,即 k ?1 1 ? f (k )b 1 (k ? 1) ? ak ( k ? 1 ) ? ( k ? 1 ) f ( k ) b ? b 1 ? f ( k ? 1)b ? 1 (k ? 1) ? ?1 1 ? [ f (k ) ? ]b ak b k ?1

当 n=k+1 时,不等式也成立。 由(i)、(ii)知,an≤ 又由已知不等式得
an ? b 2b ? , n=3,4,5,?. 1 1 ? [log 2 n]b 2 ? b[bog 2 n] 2

b 1 ? f (n)b

n=3,4,5,?.

(Ⅱ)有极限,且 lim an ? 0 ,
n ??

(Ⅲ) ∵

2b 2 2 1 ? ,令 ? 2 ? b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5
1 5

,则有 log2n≥[log2n]>10, ? n>210=1024,故取

N=1024,可使当 n>N 时 ,都有 an<

专家会诊 1.一般与自然数相关的命题,或有关代数恒等式的证明,三角恒等式、三角不等 式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。 2.运用数学归纳法证明时,第二步是关键、必须用到归纳假设,否则就不是数学归 纳法的证明。 考场思维训练
第 4 页 共 23 页

1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)?(n+n)=2n?1?3? 5?(2n-1)(n∈N+)”时,从 n=k 到 n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 ( )
A. 2k ? 1 C. (2k ? 1)(2k ? 2) k ?1 B. 2k ? 1 k ?1 2k ? 3 D. k ?1

答案: C 解析:略 2 曲线 C:xy=1(x>0)与直线 l:y=x 相交于 A1,作 A1B1⊥l 交 x 轴于 B1,作 B1A2∥l 交曲线 C 于 A2?依此类推。 (1)求点 A1、A2、A3 和 B1、B2、B3 的坐标; 答案: A1(1,1)、A( 2 +1, 2 B3(2 3 ,0) (2)猜想 An 的坐标,并加以证明; 答案: An( n ? n ? 1, n ? n ? 1) ,证明略. (3) lim
n ??

2

-1) 、A( 、B( 、B( 、 3+ 2, 3- 2) 3 1 2,0) 2 2 2 ,0)

| Bn Bn ?1 | . Bn ?1Bn 1 , an ), Bn (bn ,0). an

答案:设 An(

由题图:A1(1,1),B1(2,0) ∵a1=1,b1=2 且
1 ? ?bn ? a ? an ? n ? 1 ?a ? ? bn ? 1(? An在直线y ? x ? bn ?1上) n ? an ?

∴ lim

n ?? |

| Bn Bn ? 1 | 2a n ?1 ? n ? lim n ?1 ? lim n ?? n ? n ? 1 Bn ? 1Bn | n ?? 2an
n ? n ?1 n ?1 ? n 1 ? 1? ? lim
n ??

,分子分母乘以( n ? 1 ? n )( n ? n ? 1) )

及 lim

n ??

1?

1 ? 1 n

1 n ?1

3 设数列 a1,a2,?,an,?的前 n 项的和 Sn 和 an 的关系是 Sn=1-ban是与 n 无关的常数,且 b≠-1。 (1)求 an 和 an-1 的关系式; 答案: an=Sn-Sn-1=-b(an-an-1)解得 an=
1 (1 ? b) n ? 1 (1 ? b) n ?1 ? ?b(an ? an ?1 ) ? b (1 ? b) n (n ? 2)

1 , 其中 b (1 ? b)n

b b an ? 1 ? (n ? 2) 1? b (1 ? b) n ?1

(2)猜想 an 的表达式(用 n 和 b 表示); 答案:∵a=S1=1-ba11 b ,? a1 ? 1? b (1 ? b) 2

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? an ?

b b b b [ an ? 2 ? ]? n 1? b 1? b (1 ? b) (1 ? b) n ?1 b 2 b2 ? b ?( ) an ? 2 ? 1? b (1 ? b)n ? 1 ?( ?( b 2 b b b ? b2 ) [ an ?3 ? ] ? 1? b 1? b (1 ? b) n ?1 (1 ? b) n ?1 b 2 b ? b 2 ? b3 ) an ?3 ? ,? 1? b (1 ? b) n ?1
b n ?1 b ? b 2 ? b3 ? ? ? b n ?1 ) a1 ? 1? b (1 ? b) n ?1

由此猜想 an= ( 把 a1=
b (1 ? b) 2

代入上式得

? b ? b n ?1 (b ? 1) ? b ? b2 ? ? ? b ? (1 ? b)(1 ? b) n ?1 an= ?? (1 ? b) n ?1 ? n ? n ?1 (b ? 1) ?2
n

(3)当 0<b<1 时,求极限 lim Sn .
n ??

(3).S n ? 1 ? ban ?

1 (1 ? b)
n

? 1? b ?

b ? b n ?1 (1 ? b)(1 ? b) n ?1

?

1 (1 ? b) n

答案: ? 1 ?

1 (1 ? b) n

?

b(b ? b n ?1 ) 1 n ?1 ( ) (b ? 1), 1? b 1? b
n ??

? 0 ? b ? 1时, lim b n ? 0, lim (
n ??

1 n ) ? 0,? lim S n ? 1. n ?? 1? b

命题角度 2 数列的极限 1.(典型例题)已知数列{xn}满足 x2= x1= ( ) A.
3 2 x1 1 , xn= (xn-1+xn-2),n=3,4,?.若 lim xn . =2,则 n ?? 2 2

B.3

C.4
1 2

D.5
1 2 1 2 5 2 11 ,?.当 4

[考场错解] C. ∵x1=4.∴x2=2,x3= (x1+x2)=3,x4= (2+3)= 5 ,x5= (3+ )=
2

n ? ? ,由趋势可知 xn ? 2 ,故选 C [专家把脉] 通过有限项看趋势,并不能准确描述极限。 [对症下药] B 由 xn= (xn-1+xn-2)可得 2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,?,2xn=xn-1+xn-2,两边相加 得:2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限,2x1=4+2, ∴x1=3. 2.(05,浙江高考卷) lim A.2 B.4
1? 2 ? 3 ??? n n2
1 2
n ??

1 2

=

( )

C.

D.0

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[考场错解] D lim

1? 2 ? 3 ??? n n
2

n ??

= lim (
n ??

1 n
2

?

2 n
2

?

1 1 2 1 ? ? ? ) ? lim 2 ? lim 2 ? ? ? lim ? 0. n ?? n n ?? n n ?? n n n
2

3

[专家把脉] 无穷数列的和的极限不能求极限的和。 [对症下药] lim
(1 ? n)n 2n
2 n ??

? lim

n ??

n ?1 1 ? . 2n 2

3.(典型例题)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*) 为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
n ??

lim (

1 1 1 ? ??? )= a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

( ) D.
1 2

A.2

B.

3 2

C.1

[考场错解] D ∵a1=3,a2=5. ∴log2(a1-1)=1.log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n.an=2an+1. ∴
n ??

lim

1 an ?1 ? a .
1 1 1 1 1 ? ??? )? ? a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1an a2 ? a1 2

故 lim (
n ??

[专家把脉] 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限,不能求极限的和。 [对症下药] C ∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n,an=2n+1.
1 1 1 ? ??? a2 ? 1 a3 ? a2 an ?1 ? an

∴?

1 22 ? 21

2n ?1 ? 2n 1 1 [1 ? ( ) n ] 1 1 1 2 ? ? 2 ??? n ? 2 1 2 2 2 1? 2 2 ? 22

?

1

???

1

∴ lim (
n ??

1 1 1 ? ??? ) a2 ? a1 a3 ? a2 an ?1 ? an

1 1 [1 ? ( ) n ] 2 2 = lim =1 1 n ?? 1? 2

4 (典型例题) 计算: lim

3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1

n ??

=___________。

[考场错解]

n ??

lim

3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1

2 3 ? ( )n 3 = lim 2 n ?? 1 ? 2 ? ( )n 3

=1

[专家把脉]

n ??

2 lim ( ) n ? 0 ,而不是 1。 3

[对症下药]

n ??

lim

3n ?1 ? 2n 3n ? 2n ?1

= lim

1?

n ??

1 2 n ?( ) 3 3 1 2 n ?1 ?( ) 3 3

=3

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5 (典型例题)已知 un=an-1b+an-2b2+?+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0). (Ⅰ)当 a=b 时,求数列{un}的前项 n 项和 Sn。 (Ⅱ)求 lim
n ??

un un ?1



[考场错解] (Ⅰ)当 a+b 时,rn=(n+1)an.∴Sn=2a+3a2+4a3+?+nan-1+(n+1)an.则 aSn=2a2+3a3+4a4+?+nan+(n+1)an+1.两式相减: Sn=
(n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? a 2 ? 2a (1 ? a ) 2
n ??

(Ⅱ) lim

un un ?1

= lim

(n ? 1)a n ua n ?1

n ??

= lim

n ??

a (n ? 1) n

=a.

[专家把脉] (Ⅰ)问运用错位相减时忽视 a=1 的情况。 (Ⅱ)a=b 是(Ⅰ)的条件,当 a≠b 时,极限显然不一定是 a. [对症下药] (Ⅰ)当 a=b 时,un=(n+1)an.这时数列{un}的前 n 项和 Sn=2a+3a2+4a3+?+nan-1+(n+1)an.① ①式两边同乘以 a,得 aSn=2a2+3a3+4a4+?+nan+(n+1)an+1 ② ①式减去②式,得(1-a)Sn=2a+a2+a3+?+an-(n+1)an+1 若 a≠1,(1-a)Sn=
a (1 ? a n ) (1 ? a ) ?
2

a (1 ? a n ) 1? a

-(n+1)an+1+a

?

Sn=

a ? (an ? 1)a n ?1 1? a (1 ? a ) 2
n(n ? 3) 2

(n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2) n ?1 ? a 2 ? 2a

若 a=1,Sn=2+3+?+n+(n+1)=

(Ⅱ)由(Ⅰ),当 a=b 时,un=(n+1)an,则 lim
b a

n ??

un un ?1
b a

= lim

(n ? 1)a n ua
b a
n ?1

n ??

= lim

n ??

a (n ? 1) n

=a.

当 a≠b 时,un=an+an-1b+?+abn-1+bn=an[1+ ? ( )2 ? ? ? ( )n ]
b 1 ? ( ) n ?1 1 u a n ?1 ? b n ?1 a ? (a n ?1 ? b n ?1 )此时, n ? . =a b a?b un ?1 a n ? bn 1? a
n

或 a>b>0,

un lim n ?? un ?1

= lim

a n ?1 ? b n ?1 a n ? bn

n ??

b a ? b( ) n a ? a. = lim b n n ?? 1? ( ) a

若 b>a>0,

un lim n ?? un ?1

a a( )n ? b b ? b. = lim a n ?? ( )n ? 1 b

专家会诊

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1.充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限① lim C=C.(C 为常数). ②
n ??

n ??

lim

1 n

=0.③ lim qn=0,|q|<1.
n ??

2.对于

? ?

型的数列极限,分子分母同除以最大数的最高次项,然后分别求极限。

3.运算法则中各个极限都应存在,都可推广到任意有限个极限的情况,不能推广到 无限个。 考场思维训练 1 若 q 为二项式( ?
x 2 1
3

x

)8 的展开式的常数项,则 lim
7n ? 1 7 n ?1 ? 1 ? 1 . 7
2 n

qn ? 1 q n ?1 ? 1

n ??

=___________.

答案:1/7 解析:可求得 q=7, lim 2 已知点 A(0,
2 n

n ??

)、B(0,-

2 n

)、C(4+

,0)其中 n 为正整数,设 Sn 为三角形

ABC 外接圆的面积,则 lim Sn=_________.
n ??

答案:4π 解析;设外接圆的半径为 Rn,则( Rn=
1 2n 2 ? n ? 1 ? 2所以 lim Rn ? 2, 所以 lim S n ? 4? n ?? n ?? n

2 n

)2+(4+

2 n

-Rn)2=Rn2, ∴

3 已知等比数列{xn}的各项为不等于 1 的正数,数到{yn}满足 yn=2logaxn(a>0,a≠1), 设 y4=17,y7=11. (1)求数列{yn}的前多少项最大,最大为多少? 答案:由已知得,数列为关数列,y4=17,y7=11, ∴公差 d=
11 ? 17 ? ?2,? yn ? y 4 ? (n ? 4)d ? 25 ? 2n,? 当1 ? n ? 12时, yn ? 0,当n ? 13时, yn ? 0,? 数列{ yn} 的前 3

12 项

最大,最大为 144. (2)设 bn=2yn,sn=b1+b2+?+bn,求 lim
sn 225
n ??

的值。

答案: ∵bn=2yn,Sn=b1+b2+?bn, ∴{bn}为等比数列. 且公比为 q= ,∴ lim Sn=
n ??

1 4

S1 223 225 ? ? 3 1? q 3 4

∴ lim

Sn 2
25

n ??

1 ? . 3

4 设 an=1+q+q2+?+qn-1(n∈N+,q≠±),An=C1na1+C2na+?+Cnnan (1)用 q 和 n 表示 An;

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答案:∵q≠1, ∴an=
? An ? ?

1 ? qn 1? q

1 ? q 1 1 ? q2 2 1 ? qn n Cn ? Cn ? ? ? Cn 1? q 1? q 1? q

1 2 n 1 2 2 n n [(C1 n ? Cn ? ? ? Cn ) ? ( qCn ? q Cn ? ? ? q Cn )] 1? q 1 0 n 0 1 2 2 n n ? [(Cn ? C1 n ? ? ? Cn ) ? (Cn ? qCn ? q Cn ? ? q Cn )] 1? q 1 ? [2n ? (1 ? q ) n ](q ? 1) 1? q

(2)当-3<q<1 时,求 lim

An 2n

的值;

答案:

An 1 1? q n ? [1 ? ( ) ],? ?3 ? q ? 1, 2n 1 ? q 2

∴|

1? q 2

|<1, =
1 1? q

∴ lim

x ??

An 2n

命题角度 3 函数的极限 1.(典型例题)若 lim (
x ?1

a b ? 1 ? x 1 ? x2

)=1,则常数 a,b 的值为

( )

A.a=-2,b=4 C.a=-1,b=-4 [考场错解] A ∵ lim
x ?1

B.a=2,b=-4 D.a=2,b=4
a (1 ? x) ? b 1? x
2

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. 故能约去(1-x), (1 ? x)(1 ? x)

∴a=-2,b=4.

[专家把脉] (ax+a-b)中有在式(1-x)的求解中,注意 a、b 的符号。 [对症下药] C ∵ lim
a (1 ? x) ? b 1 ? x2
x ?1

= lim

x ?1

ax ? a ? b ? 1. (1 ? x)(1 ? x)

故 ax+a-b 中必有因式(1-x),且极限为 1。故 a=-2,b=-4. 2.(典型例题)若 lim A.-1 C.1 2
x ?1

x ?1 f ( x ? 1) ? ? 1, 则 lim x ?1 f ( 2 ? 2 x ) x ?1





B. 1 D.
1 2

[考场错解] D lim

x ?1

x ?1 x ?1 1 f ( x ? 1) ? lim ? . ? 1, 则 lim x ?1 f ( 2 ? 2 x ) x ?1 f [ 2( x ? 1)] x ?1 2

[考场把脉] 错误理解极限存在的条件。函数 f(x)中必有因式(x-1)。 [对症下药] C∵ lim ∴f(x)=x. ∴ lim
x ?1

f ( x ? 1) ? 1, 故 x ?1 x ?1 1 ?? . 2 ? 2x 2

f(x-1)=x-1.

x ?1

3.(典型例题) lim (
x ?1

1 x ? 3x ? 2
2

?

2 x ? 4x ? 3
2

)=





第 10 页 共 23 页

A.-

1 2

B.

1 2

C.-

1 6

D. = lim

1 6

[考场错解] B 原式= lim

x ?1

1? x ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

x ?1

1 1 ? . ( x ? 2)( x ? 3) 2

[专家把脉] 在运算中注意符号的变化。 [对症下药] A lim
x ?1

x ? 3 ? 2( x ? 2) ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

= lim

x ?1

1? x ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

= lim

x ?1

?1 1 ?? . ( x ? 2)( x ? 3) 2

4.(典型例题) lim A.1 6

x?3 ?9

x ? ?3 x 2

= C.

( )
1 6

B.0

D. =0。

1 3

[考场错解] B 当 x→-3,x+3=0,故 lim

x?3 ?9

x ? ?3 x 2

[专家把脉] 求函数极限时,分母为 0 的因式应约去才可代入。 [对诊下药]A lim
x ? ?3

1 1 ?? x?3 6

专家会诊 1.求函数的极限时,如果 x→x0 即 x0 是连续的点。即使函数 f(x)有意义的点,只需求 f(x0)的值。就是函数的极限值。 2.当 f(x)在 x0 处不连续时,即 x=x0 代入后使式子 f(x)无意义,应考虑约去此因式,使 之有意义时再求 f(x0)的值,即为极限值。 3.已知函数的极限,求出函数中的系数时,应满足两个条件,即存在性与极限值同 时考虑。 考场思维训练 1 设 f(x)在 x0 处可导,f(x0)=0 则 lim nf(x0n ? ??

1 n

)=___________.

答案:-f’(x0) 解析: lim nf ( x0 ? )
n ? ??

1 n

1 f ( x0 ? ) ? f ( x0 ) n ? ? f ' ( x0 ). = ? lim 1 x ? ?? ? n

2 lim A.
1 2

x2 ? 1 ? x ?1

n ?1 2 x 2

?
2 3

( C.0

) D.2

B.

答案: B.解析:略 3 已知 lim
x 2 ? cx ? 2 =a,且函数 x?2 x?2

y=aln2x+

b x

+c 在[1,e]上存在反函数,则





A.b∈(-∞,0) B.b∈(2e,+∞) C.b∈(-∞,0) ∪(2e,+∞) D.b∈(0,2e)
第 11 页 共 23 页

答案: C.解析:略 4 设 f(x)是 x 的三次多项式,已知 lim 为非零常数). 答案:解:由于 lim 同理 f(4a)=0
f ( x) ? 1, 可知 x ? 2a
x?2a

f ( x) x ? 2a

= lim

x?4a

f ( x) x ? 4a

=1,试求 lim

x ? 3a

f ( x) x ? 3a

的值。(a

x?2a

f(2a)=0





①②可知 f(x)必含有(x-2a)与(x-4a)有因式, 由于 f(x)是 x 的三次多项式,故可设 f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里 A、C 均为选定的常 数,由 lim
x?2a

f ( x) A( x ? 2a )( x ? 4a )( x ? C ) ? 1, 即 lim ? lim A( x ? 4a )( x ? C ) ? 1, 得(2a ? 4a )(2a ? C ) ? 1, x?2a x?2a x ? 2a x ? 2a

即 4a2A-2aCA=-1 同理,由于 lim


f ( x) ? 1, 得A(4a ? 2a )(4a ? C ) ? 1, x ? 4a

x?4a

即 8a2A-2Aca=1 由③④得 C=3a,A= ∴ lim
1 2a 2


,因而f ( x) ? 1 2a 2 ( x ? 2a )( x ? 4a )( x ? 3a ),

x ? 3a

f ( x) 1 1 1 ? lim ( x ? 2a )( x ? 4a ) ? 2 ? a ? (?a' ;%邎Z抙8LE' ;%邎Z抙 2a

命题角度 4 函数的连续性 1.(典型例题)极限 lim f(x)存在是函数 f(x)在点 x=x0 处连续的
x ? x0

( )

A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 [考场错解] C lim f(x)存在 ? f(x)在点 x=x0 处连续。
x ? x0

[专家把脉] lim f(x)≠f(x0)时,则 f(x)在点 x=x0 处不连续。
x ? x0

[对症下药] B ∵ lim f(x)不一定等于函数值 f(x0),而 f(x)在点 x=x0 处连续。则有
x ? x0

x ? x0

lim

f(x)=f(x0)

第 12 页 共 23 页

2.(典型例题)已知函数 f(x)= lim

xn 4 ? xn

n ??

,试判别 f(x)在定义域内是否连续,若不

连续,求出其不连续点。 [考场错解] ∵4-nx≠0, ∴xn≠4,x≠-2. ∴f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+ ∞)。 当 x=0 时,f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数 f(x)在定义域内连续。 [专家把脉] 错把函数 f(x)= lim
xn 4 ? xn
n ??

当作函数 f(x)=
xn 4 ? xn

xn 4 ? xn

.

[对症下药] (1)当|x|<1 时,f(x)= lim (2)当 x=-1 时,f(x)= lim (3)当 x>1 时,f(x)= lim (4)当 x=1 时 f(x)= lim
?0 ? ?1 ? f ( x) ? ? ?3 ? ?? 1

n ??

=0;

xn 4 ? xn xn

n ??

不存在;
1 3

n ??

4 ? xn

= .

xn 4 ? xn

n ??

=-1。

?1 ? x ? 1 x ?1 x ? ?1或x ? 1

∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)。 而在定域内,x=1 时。
x ?1?

lim

f(x)=0. lim? f(x)=-1. ∴ lim? f(x)不存在。
x ?1 x ?1

故 f(x)在 x=1 处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。 专家会诊 1.在判断函数的连续性时,充分运用它的重要条件,即 lim f(x)=f(x0).前提是 f(x)
x ? x0

在 x0 处的极限要存在。 2.在求函数的不连续点时,或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连 续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练 1 f(x)在 x=1 处连续,且 lim A.-1 B.0 C.1
f ( x) =2,则 x ?1 x ? 1

f(1)等于

( )

D.2

答案: B.解析:略 2 lim
x ?1

x 2 ? ln(2 ? x) 4 arctan x
1

=____________.

答案: ∴ lim

?

解析:利用函数的连续性,即 lim f ( x) ? f ( x0 ),
x ? x0

x 2 ? sin( 2 ? x) 12 ? sin( 2 ? 1) 1 ? ? x ? x1 4 arctan l 4 arctan1 ?

第 13 页 共 23 页

3 设

?x ? 1 f(x)= ? ? ?2 ?1 ?

0 ? x ?1 x ?1 1? x ? 2 则f ( x)的连续区间为 ( )

A.(0,2) C.(0,1)∪(1,2)

B.(0,1) D.(1,2)

答案: C.解析: lim f ( x) ? lim1 ? 1
x ?1? x ?1?

x ?1?

lim f ( x) ? lim ? 1,
x ?1?

x ?1

lim f ( x) ? 1 ? f (1) ?

1 2

即 f(x)D x=1 点不连续,显知 f(x)在(0,1)和(1,2)连续。 4 求函数 f(x)= ? ?
?x 1 ?log 2 ( x ? 2 ) ? ( x ? 1) ( x ? 1)

的不连续点和连续区间

答案:解:不连续点是 x=1,连续区间是(-∞,1)∪(1 +∞). 探究开放题预测 预测角度 1 数学归纳法在数列中的应用 1.已知数列{an}满足条件(n-1)an+1=(n+1)(an-1)且 a2=6,设 bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通项公式; (2)求 lim (
n ??

1 1 1 1 )的值。 ? ? ??? b 2 ? 2 b3 ? 2 b4 ? 2 bn ? 2

[解题思路] (1) 运用归纳—猜想—证明。 (2) 裂项法先求数列的和,再求和的极限。 [解答] 1.(1)当 n=1 时,代入已知式子中,得 a1=1,当 n=2 时,得 a3=6,同理可得 a4=28, 再代入 bn=an+n,得 b1=2,b2=8,b3=18, ∴猜想 bn=2n2,用数学归纳法证明:1°当 n=1 时, b1=a1+1=2.显然成立。n=2 时,.结论成立。2°假设 n=k(k≥2)时命题成立,即 bk=2k2,即 ak+k=2k2,ak=2k2-k,则 n=k+1 时, bk+1=ak+1+k+1=
k ?1 k ?1 (2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)2 (ak ? 1) +k+1= k ?1 k ?1

∴当 n=k+1 时,结论成立。 由 1°、2°可知 bn=2n2. (2)原式= lim ( ?
n ??

1 6

1 1 ??? 2 ) 16 2n ? 2

n ??

lim

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ ? ?? ]? ? )] ? lim [ (1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 4 2 1? 3 2 ? 4 (n ? 1)(n ? 1) 2 n ?? 2
1 1 1 3 ? ? )? . 2 n n ?1 8

n ??

lim (1 ?

第 14 页 共 23 页

2.设函数 f(x)对所有的有理数 m、n 都有|f(m+n)-f(m)| ≤ , 证明:对所有正整数 k 有

n m

?
i ?1

k

|f(2k)-f(2i)| ≤

k (k ? 1) . 2

[解题思路] 运用数学归纳法证明。 [解答] 1°当 k=1 时,左=0=右,命题成立。2°假设 k=n 时,不等式成立,即

?
i ?1

n

|f(2k)-f(2i)| ≤

n(n ? 1) ,则 2

k=n+1 时,
n ?1 i ?1

?
i ?1

n ?1

|f(2k+1)-f(2i)|=

?
i ?1

n ?1

|f(2k+1)-f(2i)+f(2n)-f(2i)| ≤
n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2

?

|f(2k+1)-f(2i)|+

n(n ? 1) ,= 2

?
i ?1

n

|f(2k+2n)-f(2i)|+

n(n ? 1) 2

=n+

=

.

故当 k=n+1 时,命题也成立。 由 1°,2°可知原不等式成立。 预测角度 2 数列的极限 1.已知(x x ? )6 的展开式的第五项等于
1 x 15 2

,则 lim (x-1+x-2+?+x-n)等于
n ??

A.0 B.1 C.2 D.-1 [ 解题思路] 利用二项式的通项公式求出 x 的值,再求数列和的极限。
3

[解答] B T5=C46(x-1)4( x 2 )2=15x-1=

15 2

∴x

-1

1 1 1 1 1 = ,∴lim(x-1+x-2+?+x-n)=lim( ? ? ? ? ? n 2 2 4 8 2

)=

1 2 1?

1 2

? 1.

∴选 B 2.设 xn= n ( n ? 1 ? n ) ,求数列{xn}的极限。 [解题思路] 由于 n , n ? 1) 的极限都不存在,所以应先将 xn 变形,使之变成极限可求 的数列。 [解答] 因为 xn= n ( n ? 1 ? n ) = n 母,得 xn=
1?
1 n

( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ) n ?1 ? n

?

n n ?1 ? n

用 n 除分子和分

1 1 ?1 n

,而 1< 1 ?

1 1 ? 1? , n n

由 1+ ? 1 得知 1 ?

1 ? 1(n ? ?), 再应用除法运算,即求得 lim xn= lim n ?? n ?? n

1 1? 1 ?1 n

?

1 2

.

第 15 页 共 23 页

*3.已知 a、b 是不相等的正数,若 lim

a n ?1 ? b n ?1 a n ? bn

n ??

=2,则 b 的取值范围是





A.0<b≤2 B.0<b<2 C.b≥2 D.b>2 [解题思路] B 讨论 a 与 b 的大小后,分子、分母同除以 a n ?1或b n ?1 ,后再求由极限值求 范围。 [解答] 当 a>b 时, lim
a a ?1 ? b n ?1 a n ? bn
b 1 ? ( ) n ?1 a ? a ? 2. ? lim 1 b n n ?? 1 ? ?( ) a a a

n ??

∴0<b<2. 当 a<b 时, lim
a a ?1 ? b n ?1 a n ? bn
a ( ) n ?1 ? 1 b ? lim a 1 n ?? 1 ? ( )n ? b b b

n ??

=-b<0 不可能为 2,故 a<b 不成立。

∴b 的范围是(0,2)。故选 B 预测角度 3 函数的极限 1. lim
sin 3 x ? 2 sin x ? 1 ? lim (sin 2 x ? sin x ? 1) ? 1 ? ? sin x ? 1 n? n?
2 2

2.求 lim

n?4

x ?2 . x?4 x ?2 x?4

[解题思路] 将分子有理化,使分子分母极限存在。 [解答] lim ?
x?4

= lim

( x ? 2)( x ? 2) ( x ? 4)( x ? 2)

x?4

? lim

x?4 x ? 2)

x ? 4 ( x ? 4)(

?

1 x ?2

?

1 4



预测角度 4 函数的连续性 1.函数 f(x)在 x0 处有定义是 lim (fx)存在的
x ? x0





A.充分不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用极限在某点存在性判断 [解答] D ∵函数在 x0 处有定义,但在此点处极限不一定存 在,反之也不一定,如图(1)(2)。 2.设 f(x)= ? ? 的? [解题思路] 利用连续的存在性的充要条件,即 lim (x)=f(x0),以及连续的定义。
x ? x0

?1 ? 1 ? x ( x ? 0) 当 x ?a ? bx( x ? 0) ?

a 取何值时,函数 f(x)是连续

[解答] ∵x<0 连续,x>0 连续,只须判断,当 x=0 时,函数也连续时,从而求 a 的值。
第 16 页 共 23 页

∵f(x)在 x=0 处有定义,且 lim? f(x)=
x ?0

1 2

x ?0 ?

lim

f(x)=a.

1 1 ∴只有当 a= 时。 lim f(x)才存在,且值为 。 2
x ? x0

2

又∵f(0)=a

∴当 a= 时。f(x)是连续函数。

1 2

专家会诊 1.深刻理解函数 f(x)在 x0 处连续的概念,即函数 f(x)在 x0 处有定义。f(x)在 x0 处有极 限。 lim f(x)=f(x0).函数 f(x)在 x0 处连续反映在图像上是 f(x)在 x0 处是不间断的。
x ? x0

2.由连续的定义,可以得到计算极限的一种方法:如果 f(x)在定义区间内是连续的, 则 lim f(x)=f(x0),只要求出函数值 f(x0)即可。
x ? x0

考点高分解题综合训练 1 已知 f(n)=(2n+7)?3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N,都能使 m 整除 f(n),则最大 的 m 的值为 ( ) A.30 B.26 C.36 D.6 答案: C.解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1)、f(2)、f(3)能 被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整流器除。 证明:n=1、2 时,由上得证,设 n=k(kl≥2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时,f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k =(6k+27)·3 -(2k+7)·3 =(4k+20)·3 =36(k+5)·3 (k≥2) ? f (k ? 1) 能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴,所求最大的 m 的值等于 36. 2 记二项式(1+2x)n 展开式的各系数和为 an,其二项系数为 b,则 lim ( ) A.1
bn n ?? bn ? an ? an
k k k k-2

等于

B.-1

C.0

D. 不存在
2 ( )n ? 1 bn ? an 2n ? 3n lim ? lim n ? lim 3 ? ?1, 所以选B. n ?? bn ? an n ?? 2 ? 3n n ?? 2 n ( ) ?1 3
15 , S n ? x ?1 ? x ? 2 ? ? ? x ? n ,则 lim Sn n ?? 2

答案: B 解析:an=3 ,bn=2 , ∴

n

n

3 ( x x ? )6 的展开式中的第五项是 A.1 B.
1 2

1 x

等于





C.

1 4

D.

1 6

答案: A 解析:略 4 已知 a、b∈R,|a|>|b|,又 lim A.a>1 B.1-<a<1 答案: B 解析:略
a n ?1 ? b n an
n ??

? lim

a n ?1 ? b n an

n ??

,则 a 的取值范围是





C.|a|>1

D.-1<a<0 或 a>1

第 17 页 共 23 页

5 若 f(x)= A.
3 2

1? x ?1
3

1? x ?1

在点 x=0 处连续,则 f(0)等于 ( C.1
?

)

B.

2 3

D.0

( 1 ? x ? 1)( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1] ( 1 ? x ? 1)[3 (1 ? x) 2 ? 3 1 ? x ? 1][3 x ? 1 ? 1] (3 1 ? x ) 2 ? 3 1 ? x ? 1

答案: A 解析:略 f(x) ?

1? x ?1 1?1?1 3 f (0) ? ? 1?1 2

6 观察下列式子: 1 ? ? ,1 ?
1 22

1 2

3 2

1 2
2

?

1 3
2

?

5 1 1 1 7 ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 4 2 3 4

?则可归纳出_________.

答案::1+

?

3 1 2 ?1 ? 1 即1? ? 2 1?1 (1 ? 1) 2 1 (n ? 1) 2 1 (2 ? 1) 2 2? 2 ?1 2 ?1

1?

1 22

?

1 32

???

?

?

归纳为 1+ 7 lim
x?

1 2
2

?

1 3
2

???

1 (n ? 1)
2

?

* 2n ? 1 (n ? N ) n ?1

?
2

1 ? sin x cos x

=____________.

答案:0 解析:略 8 an 是(3- x )n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?)则 lim (
n ??

32 a
2

?

33 a
3

???

3n an



=________。 答案:18 解析:略 9 lim (
n ??

n2 ? 1 n ?1

+an+b)=3 则 a+b=__________.

答案:3 解析:略 10 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{an}的通项公式 bn; 答案:解:设数列为{bn}的公差为 d 由题意知
?b1 ? 1 ?b1 ? 1 ? ?? ,? bn ? 3n ? 2 ? 10(10 ? 1) 10 b ? d ? 145 ?d ? 3 ? 1 2 ?

(2)设数列{an}的通项 an=loga(1+
1 3

1 bn

)(其中 a>0 且 a≠1)记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,

试比较 Sn 与 logabn+1 的大小,并证明你的结论。 答案:证明:由 bn=3n-2 知

第 18 页 共 23 页

Sn=loga(1+1)+loga(1+ )+?+loga(1+

1 4

1 3n ? 2

)

=loga[(1+1)(1+ )?(1+ 而

1 4

1 3n ? 2

)]

1 1 1 1 log a bn ?1 ? log a 3 3n ? 1, 于是比较Sn与 log a bn ?1的大小 ? 比较(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )与3 3n ? 1的大小. 3 3 4 3n ? 2

取 n=1,有(1+1)= 3 8 ? 3 4 ? 3 3 ? 1 ? 1
1 4

取 n=2,有(1+1)(1+ )> 3 8 ? 3 7 ? 3 3 ? 2 ? 1

推测:(1+1)(1+ )?()1+

1 4

1 ? 3 3n ? 1 (*) 3n ? 2

①当 n=1 时,已验证(*)式成立. ②假设 n=k(k≥1 时(*)式成立,即(1+1)(1+ )?(1+
1 4 1 4 1 ? 3 3k ? 1 ) 3k ? 2

则当 n=k+1 时,(1+1)(1+ )?(1+

1 1 1 )(1 ? ) ? 3 3k ? 1 (1 ? ) 3k ? 2 3(k ? 1) ? 2 3k ? 1

=

3k ? 2 3 3k ? 1 3k ? 1

(

3k ? 2 3 ? 3k ? 1 )3 ? (3 3k ? 4 )3 3k ? 1 (3k ? 1)
2

(3k ? 2)3 ? (3k ? 4)(3k ? 1) 2

?

9k ? 1 (3k ? 1) 2

?0


?= 3k ? 1 (3k ? 2) ? 3 3k ? 4 ? 3 3(k ? 1) ? 1 3k ? 1 1 1 1 从而(1 ? 1)(1 ? )?(1 ? )(1 ? ) ? 3 3(k ? 1) ? 1, 4 3k ? 2 3k ? 1
3

即当 n=k+1 时,(*)式成立由①②知,(*)式任意正整数 n 都成立. 于是,当 a>1 时,Sn> logabn+1,当 0<a<1 时,Sn< logabn+1 11 已知函数 f(x)=logax(a>0 且 a≠1),若数列:2,f(a1),f(2),?,f(an),2n+4(n∈N*)成等差数 列。 (1)求数列{an}的通项 an; 答案:2n+4=2+(n+2-1)d, ∴d=2, ∴f(an)=2+(n+1-1)· 2=2n+2, ∴an=a2n+2
1 3 1 3

第 19 页 共 23 页

(2)若 0<a<1,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 lim Sn;
n ??

4 2 4 答案: lim Sn ? lim a (1 ? a2 n) ? a 2 . m ?? m ??

2

1? a

1? a

(3)若 a=2,令 bn=an?f(an),对任意 n∈N*,都有 bn>f-1(t),求实数 t 的取值范围。 答案: bn=an·f(an)=(2n+2)a2n+2 =(2n+2)·22n+2 =(n+1)·2
2n+3

·

bn ? 1 n ? 2 ? ? 4 ? 1 ? bn ? 1 ? bn . bn n ?1

∴{bn}为递增数列 ∴bn 中最小的项为 b1=2·2 =2 f-1(t)2t, ∴26>2t, ∴t<6 12 设实数 q 满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an?an+1=-qn,求 an 表达式,又如果
n ??
5 6

lim

S2n<3,求 q 的取值范围。

答案:解:∵a1?a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=- , ∵anan+1=-qn,an+1·an+2=q·an 于是,a1=2,a3=2·q,a =2·q ?猜想: a2n+1=- qn(n ? 1,2,3,?) 综合①②,猜想通项公式为
?2 ? qk ? 1n 2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn ? 2k时(k ? N ) ? 2
1 2
n-

9 2

下证:(1)当 n=1,2 时猜想成立 (2)设 n=2k-1 时,a2k-1=2·qk-1 则 n=2k+1 时,由于 a2k+1=q·a2k-1 ∴a2k+1=2·qk 即 n=2k-1 成立. 可推知 n=2k+1 也成立. 设 n=2k 时,a2k=- q ,则 n=2k+2 时,由于 a2k+2=q·a2k,所以,a2k+2=- q +1,这说明 n=2k 成立,可推知 n=2k+2 也成立.
第 20 页 共 23 页
1 2
k

1 2

k

综合所述,对一切自然数 n,猜想都成立. 这样所求通项公式为
?2 ? qk ? 1当n ? 2k ? 1时(k ? N ) ? an ? 1 ?? qkn当n ? 2k时(k ? N ) ? 2

S2n=(a1+a3?a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =2(1+q+q2+?+qn-1)- (q+q2+?+qn)
2(1 ? qn) 1 q (1 ? qn) 1 ? 9n 4 ? q ? ? )?( )( ) 1? q 2 (1 ? q ) 1? 2 1 ? qn 4 ? q )( ) 1? q 2
2 5
1 2

=

由于|q|<1, ∴ lim qn ? 0, 故 lim S2n ? (
n ?? n ??

依题意知

4?q ? 3 ,并注意 2(1 ? q )

1-q>0,|q|<1 解得-1<q<0 或 0<q<

13 若 Sn 和 Tn 分别表示数列{an}和{bn}的前 n 项和,对任意正整数 an=-2(n+1),Tn-3S=4n. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; 答案:∵an=-2(n+1) ∴a1=4 d=-2 Sn=-n -3n ∴Tn=3Sn+4n=-3n -5n 当 n=1 时,T1=b1=-3-5=-8 当 n≥2 时,bn=Tn -Tn-1=-6n-2 ∴bn=-6n-2. 2 (Ⅱ) 在平面直角坐标系内,直线 ln 的斜率为 bn.且与曲线 y=x 有且仅一个交点,与 y 轴交于 Dn,记 dn= | Dn ?1Dn | -(2n+7)求 dn;
1 3
2 2

答案:设 ln:y=bnx+m.由 ? ?

? y ? bn x ? m 2 得x ? bn x ? m ? 0由于仅有一个公共点. 2 ? ?y ? x

2 ∴△= bn ? 4m ? 0. ? m ? ?

2 bn (6n ? 2) 2 ?? ? ?(3n ? 1) 2 ? ln : y ? (?6n ? 2) x ? (3n ? 1) 2 , 令 4 4

x=0 得

y=-(3n+1)2 ∴ Dn(0,-3(n+1)2)Dn+1 (0,-3,(n+4)2∴ | Dn Dn ?1 |? [(3n ? 4)2 ? (3n ? 1)2 ] ? 6n ? 5 ∴dn= |DnDn+1|-(2n+7)=4n-2 (Ⅲ)若 xn=
2 2 dn ?1 ? d n 2d n ?1d n

1 3

1 3

1 3

(n∈N)求证 lim (x1+x2+?+xn-n)=1.
n ??

第 21 页 共 23 页

答案: xn=

2 2 dn (d ? d n )2 2 1 1 ?1 ? d n ? n ?1 ? ?1 ? 1? ( ? ) 2d n d n ?1 2d n d n ?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

∴x1+x2+?+xn-n=(1- ) ? ( ? ) ? ? ? (
n ??

1 3

1 3

1 5

1 1 1 ? ) ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

lim ( x1 ? x2 ? ? xn ? n) ? 1

14 某学生在体育训练时弄伤了膝关节,医生给开了一些消炎药,并嘱咐每天早晚 8 点各服用一片药片,已知该药品每征 220mg,他的贤脏每次 12 小时从体内滤出这种药的 60%,如果这种药在体内残留超过 386mg,将产生副作用。 请问: (1) 该同学上午 8 时第一次服药后,到第二天早晨服药后,药在体内还残留多 少? 答案:设该生第 n 次服药后,药在体内的残留量为 anmg,由题意得 a1=220, 且 an+1=0.4an+220,n∈N* ∴a2=308,a3=343.2 故到第二天早晨服药后,药在体内还残留 343.2mg (2)该同学若长期服用该药,会不会产生副作用? 答案:∵an+1=0.4an+220 ∴an+1∴{an ∴an 1100 1100 ? 0.4(an ? ) 3 3 1100 3 1100 3

}是公比为 0.4 的等比数列, =(2201100 3 1100 3

)×0.4n-1
1100 3

∴an=(220lim an ?

)×0.4n-1+

n ??

1100 ? 386 3

故长期服用此药不会产生副作用, 15 已知点集 L={ (x,y) |y=m?n},其中 m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列 Pn(an,bn)在 L 中, P1 为 L 与 y 轴的交点,等差数列{an}的公差为 1,n∈N+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
?y ? m ? n 答案:由 ? ?m ? (2 x ? b,1), 得y ? 2 x ? 1 ?n ? (1, b ? 1) ?

∴L:y=2x+1, ∴P1(0,1),则 a1=0,b1=1, ∴an=n-1(n∈N+),b=2n-1(n∈N+) (2)若 Cn=
5 (n ? 2), 求 lim (c1+c2+?+cn); n ?? n? | p1 pn |

答案:当 n≥2 时,Pn(n-1,2n-1),|P1Pn|= 5 (n-1)

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Cn ?

5 1 1 1 ? ? ? n|P P | n ( n ? 1 ) n ? 1 n 1 n

n ??

1 1 1 1 1 1 lim (c1 ? c2 ? ? ? cn ) ? lim (1 ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? lim (1 ? ) ? 1 n ?? n ?? 2 2 3 n ?1 n n
1 2

16 已知数列{an}中,a1=1,an+1= (an+

4 an

)(n∈N*),且{an}存在极限。

(1)证明:{an}时先增后减数列,并求 an 的最大值; 答案:证明:∵a1=1,a2= (a1+
? 当n ? 2 时an ?
1 2

4 5 )? ?0 a1 2

1 4 1 4 (an ?1 ? ) ? ? 2 an ?1 ? ? 2,当且仅当an ?1 ? 2时取等号.但若存在某一个n ? N * 2 an ?1 2 an ?1 1 4 (an ? 1 ? )(n ? 2) 2 an ?1

当n ? 2时有, 则由an ?

得 an=an-1=?=an=a1=2,这与条件矛盾,因此,an≠2 对 n∈N*恒成立. ∴当 n≥2 时, an>2. 又 n≥2 时, an-an+1=an- (an ?
1 2 4 1 4 1 1 2 ) ? (an ? ) ? (an ? 4) ? (22 ? 4) ? 0, an 2 an 2an 2an
5 2

∴a1,<a2,a2<a3>?an>an+1>?>2,即{an}是行列增后减数列,(an)max=a2= . (2) 已知圆锥曲线 Cn 的方程为: 程并求曲线 C 的面积。
2 2 ? an 答案:由上可知, an ?1, 所以圆锥曲线 Cn 为椭圆.

( x ? an ) 2
2 an

?

( y ? an ?1 )
2 an ?1

? 1(n ? N *) 设 lim

n ??

Cn=C,求曲线 C 的方

由于{an} 存在极限,所以可设 lim an ? A, 则 lim an ? 1 ? lim an ? A.
n ?? n ?1? n n ??

又由 an>0 得 A>0,从而 A= ( A ? ) ? A ? 2.即 lim an ? 2.
n ??

1 2

4 A

由此可得曲线 C 的方程即是 n→∞时曲线 Cn 的方程为:
( x ? 2) 2 2
2

?

( y ? 2) 2 22

? 1,即为以(2,2)为圆心,2为半径的圆 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4, 从而圆C的面积为?R 2 ? 4? .

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