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高一数学寒假作业


高一数学寒假作业

高一数学寒假作业(1)
一.填空题

集合

日期: 2 月 1 号作业

1. A ? {?4, 2a ?1, a2} ,B= {a ? 5,1 ? a,9}, 且 A ? B ? {9} ,则 a 的值是 2. 设 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , A ? {3, 4,5}, B ? {4, 7,8}. 则: (CU A) ? (CU B) ? ,

(CU A )? C (UB ? )

.

3. 若 A ? {x x ? 2k , k ? Z} ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z} ,C={ x x ? 4k ?1, k ? Z}, a ? A ,

b ? B, 则 a ? b ?

.

4. 已知 A ? {x x ? ?1或x ? 5}, B ? {x a ? x ? a ? 4} ,若 A ? ? B,则实数 a 的取值范围是 . 5. 已知集合 P ? {x x ? m2 ? 3m ? 1}, T ? {x x ? n2 ? 3n ? 1} ,有下列判断: ① P ? T ? {y y ? ? } 其中正确的是

5 4

② P ? T ? {y y ? ? } .

5 4

③ P ?T ? ?

④P ?T

6. 已知集合 A ? {x x2 ? mx ? 1 ? 0}, 若 A ? R ? ? ,则实数 m 的取值范围是 7. 设集合 A ? {x ? 2 ? x ? ?1或x ? 1}, B ? {x a ? x ? b}, 若 A ? B ? {x x ? ?2},

.

A ? B ? {x 1 ? x ? 3} ,则 a ?
二.解答题:

,b ?

.

8. 设集合 A ? {1, 2, a}, B ? {1, a ? a} ,若 A ? B 求实数 a 的值.
2

-1-

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9. 已知含有三个元素的集合 {a,

b ,1} ? {a 2 , a ? b, 0}, 求 a2004 ? b2005 的值. a

10. 已知由实数组成的集合 A 满足:若 x ? A ,则 (1) 设 A 中含有 3 个元素,且 2 ? A, 求 A;

1 ? A. 1? x

(2) A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由.

11. 设集合 A ? {x x ? 4x ? 3 ? 0}, B ? {x x ? ax ? a ?1 ? 0} , C ? {x x ? mx ?1 ? 0},
2 2 2

且 A ? B ? A, A ? C ? C, 求 a, m 的值.

-2-

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高一数学寒假作业(2)函数的性质(1)日期: 2 月 2 号作业
一.填空题: 1.函数 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 3 .当 x ? ?? 2, ? ?? 时是增函数,当 x ? ?? ?, ? 2? 时是 减函数,则 f (1) ? .

? x ? 2( x ? ?1) ? 2 2..函数 f ( x) ? ? x (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3, 则 x 的值是 ?2 x( x ? 2) ?

.

3.已知集合 P ? x 0 ? x ? 4? , Q ? y 0 ? y ? 2?,下列从 P 到 Q 的各对应关系 f , 不是函数的是 .

?

?

1 x 2 2 C. f : x ? y ? x 3
A. f : x ? y ?
4.函数 f ( x) ? x ?

B. f : x ? y ?

1 x 3

D. f : x ? y ? x

x x

的图象是

.

A
2

B

C
2

D .

5.二次函数 y ? x ? 2 x ? 3 的图象通过怎样的变换可得 y ? x 的图象

A. 向左平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位 B. 向左平移 1 个单位,再向上平移 4 个单位 C. 向右平移 1 个单位,再向下平移 4 个单位 D. 向右平移 1 个单位,再向上平移 4 个单位 6.下列集合从 A 到 B 的对应中,映射的个数是
(1) A ? N , B ? ?? 1,1? . f : x ? y ? (?1)
x

.

(2) A ? x 0 ? x ? 2 , B ? y 0 ? y ? 1 . f : x ? y ?
-3-

?

?

?

?

1 x 3

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(3) A ? x 0 ? x ? 1 , B ? y y ? 1 . f : x ? y ? x ?1 (4) A ? 三角形 ,B ? R. f : 三角形到它的面积的对 应

?
?

?

?

?

?

A. 1

B.

2

C.

3

D.

4

7.已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a 是定义在 ?b ? 1,3b ? 2? 上的奇函数, 则a ? , b ? ___________ .

8.若 f ( x) ? f ( x ? 2), 当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? 1 ? x 2 . 则当 x ? ?1,3? 时,

f ( x) ?
二.解答题

.

_______.

9、.函数 f ( x) 在 ?? ?,??? 上为奇函数,且当 x ? ?? ?,0? 时, f ( x) ? ( x ? 1) x , 求当 x ? (0,??) 时,函数 f ( x) 的解析式.

10.已知函数 f ( x) 的定义域为 ?0.1? , g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) ( a ? 求函数 f ( x) 的定义域.

1 ), 2

-4-

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高一数学寒假作业(3)函数的性质(2)日期: 2 月 3 号作业
一.填空题: 1.若 M ? ?? 1,0,1?, N ? ?? 2,?1,0,1,2?, 从 M 到 N 的映射满足:对每个 x ? M , 恒使 x ? f ( x) 是偶数,则映射 f 有 个.

2.某地长途电话 x 分钟的电话费 f ( x) ? 1.06(0.75?x? ? 1) 元,其中 x ? 0.5 , 大于或等于 x 的最小正整数,则按此规定 5.3 分钟的话费是 3.已知 f ( x) ? 2 x ? 1 , g ( x) ? x 2 ? 1 .则 f ?g (1)? ? , g? f (1)? =

?x? 是
元。

?2 x ? 3, x ? 0 ? 4.函数 y ? ? x ? 3,0 ? x ? 1 的最大值是 ?? x ? 5, x ? 1 ?
5.函数 f ( x) ?

x 2 ? 1 的单调区间为

,单调减区间为
2

6.已知函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 上是减函数,则 f (a ? a ? 1)与f ( ) 的大小关系为

3 4

7.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?
二.解答题 8.已知函数 f ( x) 对于一切实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( y) ? ( x ? 2 y ? 1) x 成立,且 f (1) ? 0 (1) 求 f (0) 的值 (2) 求 f ( x) 的解析式

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9.已知函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 1 , x ? ?? 3, a? (1) 当 a ? 0 时,求函数的值域 (2) 若函数在 ?? 3, a ?内为增函数,求 a 的取值范围

10 已知函数 f ( x ) ?

ax ? b 1 2 是定义在 ?? 1,1? 上的奇函数,且 f ( ) ? 2 2 5 1? x

(1) 确定函数 f ( x) 的解析式 (2) 用定义证明 f ( x) 在 ?? 1,1? 上是增函数 (3) 解不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0

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高一数学寒假作业(4)
一、填空题.
3

指数、指数函数
.

日期: 2 月 4 号作业

2 1.化简[ 3 ( ?5) ] 4 的结果为

2.将 3 ? 2 2 化为分数指数幂的形式为

.

a 3 x ? a ?3 x 3.若 a = 2 -1,则 x 等于 a ? a ?x
2x

4.使代数式(|x|-1) A.|x|≥1

?

1 3

有意义的 x 的取值范围为 C.|x|>1 D.x≠±1

B.-1<x<1

5.若 10x=3,10y=4,则 102x-y=__________.

6.

a a

2 3 1 23

b b

?

?(

a ?1 b ?1 b a

)

?

2 3

=__________.

7.函数 y= a x ?1 的定义域是 ?? ?,0?,则 a 的取值范围是__________. 8.已知集合 M={x| 2 x 二、解答题.
2

+x

≤(

1 x-2 ) ,x∈R},则函数 y=2x 的值域是__________. 4
x

?1? ?1? 9.已知函数 f ?x ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? ? 4?
(1)判断 f ?x ? 的单调性(2)求 f ?x ? 的值域(3)解方程: f ?x ? ? 0

x

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10.已知 f ? x ? ?

2 x ? 2?x (1)判断 f ?x ? 的奇偶性(2)讨论 f ?x ? 的单调性 2 x ? 2?x

11.设 f ? x ? ?

4x ,若 0 ? a ? 1 ,试求 f ?a ? ? f ?1 ? a ? 的值,进一步求 4x ? 2

? 1 ? f? ?? ? 1001?

? 2 ? f? ?? ? 1001?

? 3 ? f? ? ??? ? 1001?

? 1000? f? ? 的值 ? 1001?

12.设 0≤x≤2,求函数 y= 4

x?

1 2

? a ? 2x ?

a2 ? 1 的最大值和最小值. 2

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高一数学寒假作业(5)
一.填空题: 1.
log7 [log3 (log2 x)] =0

对数与对数函数日期: 2 月 5 号作业
? 1 2

那么 x

等于

.

2

对数式 log( a?2) (5 ? a) 中实数 a 的取值范围是

.

3

设 1<x<a , A= ?loga x

?2

, B = loga x 2 , .

C= loga ?loga x

?

则 A , B , C 的大小关系是

4. 若 logm 9 ? logn 9 ? 0 那么 m,n 满足的条件是

.

5.方程 log2 ?x ? 4 ? ? 3 X

的实根个数是

.

6

1.1

0.9

,

log1.1 0.9 和 log0.7 0.8

的大小关系是 ______________

7.

函数 y= log2 x 2 ? 2 x ? 3

?

?

的单调减区间为___________________

8 . 设 a= log3 2 , 则 log3 8 ? 2 log3 6 ? __________________ 9. 设 f ?x

?

是 定 义 域 在 R 上 的 奇 函 数 , 若 当 X>0 时 , 则 有

f ?x

? ? log3 ?x ? 1 ?

,

f ?? 2 ? ? _____________

?? ? x ?1 ? ,x ? 4 ?? ? 10.已知 f ?x ? ? ? 2 ? 则 ? ? ? ? ? f ?x ? 1 ?, x ? 4

f ?log2 3 ? ____________

11.设偶函数 f ?x

? ? loga x ? b 在 ?? ?,0 ? 为增函数,则 f ?a ? 1 ?与 f ?b ? 2 ? 的大小关系是
-9-

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_________________ 12. 若实数 a 满足 log a 二.解答题: 13.函数 f ?x

1 ? 1 则实数 a 的取值范围是_________________ . 2

? ? 2?log2 x ?2 ? a ? log2 x ?2 ? b, 在 x ? 1 时有最小值 1,试确定 a, b 的值
2

14. 设 f ?x ? ? lg

1? 2 X ? 4 x ? a ,其中 a ? R, 如果当 x ? ?? ?,1? 时 f ?x ? 有意义,求 a 的范围 3

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高一数学寒假作业(6)

幂函数、函数与方程
一、 幂函数

日期: 2 月 6 号作业
( )

1、任意两个幂函数图象的交点的个数是 A、最少一个,最多三个 B、最少一个,最多二个 C、最少 0 个,最多三个 D、最少 0 个,最多二个
p q

2、已知函数 y ? x ( p, q 是互质的整数)的图象关于 y 轴对称,且在 ? 0, ??? 上是减函数,则 ( ) B、 p 是奇数, q 为偶数,且 pq ? 0 D、 p 是偶数, q 为奇数,且 pq ? 0 ( ) A、 p 是奇数, q 为偶数,且 pq ? 0 C、 p 是偶数, q 为奇数,且 pq ? 0 3、函数 y ? x ? 1 3 的图象是

?

?

2

4、已知函数 f ? x ? ? ?x ? x , x1, x2 , x3 ? R, 且 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0, x3 ? x1 ? 0,
3

则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? 的值 A、一定大于零 B、一定小于零
3
3 2

( C、等于零
3 ? 2



D、正负都有可能
2 3 1 2

5、在幂函数(1) y ? x (2) y ? x (3) y ? x (7) y ? x
?
? 1 3 1

(4) y ? x (5) y ? x (6) y ? x ?2

(8) y ? x 3 中定义域和值域都是 ? 0, ??? 的函数有
? 1 ? 1 1

6、设 a ? 0.3 2 , b ? 0.4 2 , c ? 2 2 , d ? ? ?0.1? 3 ,则它们的大小关系是 7、已知 ? x ? 3?
? 1 3

1

? ?1 ? 2 x ? 3 ,求 x 的取值范围
?

1

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二、 函数与方程
1、设 f ( x) ? 2x2 ? x ? 4 ,则一元二次方程 f ( x) ? 0 在区间 ? 0, 2 ? 内实根的个数为( A、0 B、1 C、2 D、无法确定 ( D、 a ? b ( D、3 ) ) )

2、已知 a ? log2 a ? 2, b ? log3 b ? 2 ,则 A、 a ? b
x

B、 a ? b

C、 a ? b

3、方程 2 ? log 2 ? x ? 2 ? ? 1的实根的个数是 A、0 B、1 C、2

4、 设二次函数 f ( x) ? mx2 ? 2mx ? 1 有一个零点小于 1,另一个零点大于 1, 则 m 的取值范围是 5、 已知关于 x 的方程 mx2 ? ? 2m ? 3? x ? 4 ? 0 只有一个正根且这个根小于 1, 则实数 m 的取值范围是 6、 设二次函数 y ? f ( x) 的两个零点分别为 ?1 和 5,则 f (0)?f (6) 与 0 的大小关系是 7、 设二次函数 f ( x ) 满足 f ? x ? 2? ? f ? ?x ? 2? ,图象与 y 轴交点的纵坐标为 1,图象 x 与轴 交点为 A,B,且 AB ? 2 2 ,则 f ? x ? 的解析式为
2 8、 已知关于 x 的一元二次方程 2 x ? ax ? 2 ? 0 的两根为 ? 、 ? (? ? ? ) ,函数 f ? x ? ?

4x ? a x2 ? 1

(1)求 f

?? ??f ? ? ? 的值

(2)证明 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 内为增函数

(3)当 a 为何值时, f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上的最大值与最小值之差最小?

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高一数学寒假作业(7)

应用题

日期: 2 月 7 号作业

1.已知 A,B 两地相距 150 千米,某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地,汽车离开 A 地的距离 S 随时间 t 变化的关系式 为 .

2.某林场原有森林木材存量为 a,木材的年增长率为 25%,每年冬天要砍伐的木材量为 b,从春天算 起,两年后该林场的木材占用量为 .

3.如图,已知 ?ABC 中,AB=10m,AB 边上的高 CD=6m,四边形 EFGH 为矩形,那么矩形 EFGH 的最 大面积为 ( ) A. 10m
2

B. 15m

2

C . 20m C E F

2

D. 30m

2

A

H

D G

B

4.甲、乙两人同时从 A 出发到 B,甲先骑车,到中点后改为步行;乙先步行,到中点后改为骑车, 结果两人同时到达 B,已知骑车快于步行,甲骑车快于乙骑车,现把甲、乙离开 A 的距离 y 表示成时间 t 的函数绘制成图象,如下图所示,则下列对图象判断正确的是 ( ) y y y y

o

t (1)

o

t (2) B. 甲是①,乙是④
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t o (3) o (4)

t

A.甲是①,乙是②

C. 甲是③,乙是②

D. 甲是③,乙是④

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5. 某 商 场 在 近 30 天 内 每 件 的 销 售 价 格 p( 元 ) 与 时 间 t( 天 ) 的 函 数 关 系 式 为

?t ? 20(0 ? 25, t ? N ) ,该商场的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 p?? ?? t ? 100(25 ? t ? 30, t ? N )
Q ? ?t ? 40, (0 ? t ? 30, t ? N ) ,求这种商品的日销售额的最大值.

6.一种放射性元素,最初的质量为 500g,按每年 10%衰减. (1) 求 t 年后,这种放射性元素质量 ? 的表达式; (2) 由求出的函数的表达式,求这种放射性元素的半衰期.(精确到 0.1)

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高一数学寒假作业(8)

必修一综合练习日期: 2 月 8 号作业
且 A ? B ,则实数 x 的值为 ▲ .

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1、已知集合 A ? ??1,0? ,集合 B ? ?0,1, x ? 2? ,

2、函数 y ?

x ?1 的定义域为___ x?3



.

3、下列函数:①y=x 与 y= x 2 ;②y=

x 0 与 y ? x 0 ;③y= ( x ) 与 y= x x

④y= x ? 1 ? x ? 1与y ? ( x ? 1)(x ? 1) 中,图象完全相同的一组是 (填正确序号) ▲ .

? A ? 1, 2 , 3 ,则集合 A 的个数是_____▲______ . 4、已知 ? ? ?? ?

5、第二十九届夏季奥林匹克运动会已于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京奥 运会比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员}.集合 C={参加北京奥运会 比赛的女运动员},则①.A ? B ▲ . ②B ? C ③A∩B=B ④B∪C=A 其中正确的命题的序号是

6、函数 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 2, x ? [?1,3] 的值域为



.

7、已知 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x ? 2) ? f ( x) ,则 g ( x) =____▲____. 8、已知二次函数 y ? x2 ? ax ? 5 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数,则 a 的取值范围是 ▲ .

9、已知 y ? f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? 0 时, f ( x) ?



.

10、 定义集合运算: A ? B ? z z ? xy, x ? A, y ? B .设 A ? ?1,2? , B ? ?0,2? ,则集合 A ? B 的所 有元素之和为 ▲ .

?

?

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11、已知函数 f ( x ) ? ?

? x ?1 , x ? 1 使得 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围是____ ▲ ____. ? ? x ? 3, x ? 1

12、 函数 f ( x) ?

3 ? 2 x ? x 2 的单调增区间为______ ▲ ______.

13、已知函数 f ?x ?, g ?x ? 分别由下表给出: x f(x) 1 1 2 3 ▲ 3 1 x g(x) 1 3 2 2 ▲ 3 1 .

则 f ?g ?1?? 的值 14. 下列命题:

;不等式 f ?g ?x ?? ? g ? f ?x ??的解为

①偶函数的图像一定与 y 轴相交;

②定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 必满足 f (0) ? 0 ; ③ f ( x) ? ? 2x ? 1? ? 2 ? 2x ? 1? 既不是奇函数又不是偶函数;
2

④ A ? R, B ? R, f : x ? y ? ⑤ f ( x) ?

1 ,则 f 为 A 到B 的映射; x ?1

1 在 ? ??,0? ? ? 0, ?? ? 上是减函数. x
▲ (把你认为正确的命题的序号都填上)

其中真命题的序号是

二.解答题、证明题: (15,16,17 三题每题 14 分,18,19,20 三题每题 16 分,共 90 分) 。 15、设全集 U ? R ,集合 A ? ?? 1,3?, B ? ?1,4?, C ? ?? ?, a ? (1)求 A ? B , A ? B , ?CU A? ? ?CU B? (2)若 B ? C ? B ,求实数 a 的取值范围

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16、已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 | x | ?1 (1)判断 f ( x) 的奇偶性 (2)画出 f ( x) 的图像 (3)指出 f ( x) 的单调区间

17、已知函数 f ( x) ? (2)求 f (

4x 4x ? 2

(1)试求 f (a) ? f (1 ? a) 的值.

1 2 3 99 )? f( )? f( ) ? ??? ? f ( ) 的值. 100 100 100 100

18、函数 f ( x ) 对任意非零实数 x,y 恒有 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? (0,??) 时, f ( x ) 为增函 数. (1)求 f (1) , f (?1) 的值,并求证: f ( x ) 为偶函数; (2)判断并证明 f ( x ) 在 (??,0) 的单调性.

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19、(本题满分 16 分:第 1 小题 2 分,第 2 小题 3 分,第 3 小题 7 分,第 4 小题 4 分) 4 探究函数 f ( x ) ? x ? ,x∈(0,+∞)的最小值,并确定相应的 x 的值,列表如下: x ? x ? 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7
y ? 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.102 4.24 4.3 5 5.8 7.57 ?

请观察表中 y 值随 x 值变化的特点,完成下列问题: 4 (1)若函数 f ( x ) ? x ? ,(x>0)在区间(0,2)上递减,则在 上递增; x 4 (2)当 x= 时, f ( x ) ? x ? ,(x>0)的最小值为 ; x 4 (3)试用定义证明 f ( x ) ? x ? ,(x>0)在区间(0,2)上递减; x 4 (4)函数 f ( x ) ? x ? ,(x<0)有最值吗?是最大值还是最小值?最值是多少? x 此时 x 为何值?(本小题直接写出结果,不必写出推导过程)

20. 甲、乙两地间路程为 360 km,一辆车速为 100 km/h 的 A 车和一辆车速为 80 km/h 的 B 车 分别从甲、乙两地同时相向而行(A、B 两车先后到达乙、甲两地后停车检修). (1)试写出两车间路程关于 B 车行驶时间的函数关系式; (2)行驶多长时间两车间路程为 270 km ?

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高一数学寒假作业(9)
一.填空题:

立体几何(一)

日期: 2 月 10 号作业
A 2 O 2
45?

1.右图所示的直观图,其原来平面图形的面积是 2.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示, 则这个棱柱的侧面积为 。
4

B

3 3
正视图 侧视图 俯视图

3.已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体棱长等于 3
条;经过一点和一平面垂直的直线有 () 条.

4. 经过一点和一直线垂直的直线有 条;经过平面外一点和平面平行的直线有

5. 在棱长为 1 的正方体上, 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥 后,剩下的凸多面体的体积是 6.PA 垂直于⊿ABC 所在的平面, 若 AB=AC=13, BC=10, PA=12, 则 P 到 BC 的距离为 7.若点 M 在直线 a 上, a 在平面 ? 内,则 M \ a \ ? 间的上述关系可用集合表示为 A’ y’ 8.如图 ?A' O ' C ' 表示水平放置的 ?AOB 直观图, B ' 在 x ' 轴上, A' O ' 与 x ' 轴垂直,且 A' O ' ? 2 , 则 ?AOB 的边 OB 上的高为 .

B ’

O 第1题

x’

9.下列命题①一条直线在平面内的射影是一条直线;②在平面内的射影是直线的图形一定是直 线;③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等;④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜线 互相平行,其中真命题的个数是
P

D O

A B

10.如图 PA ? 矩形 ABCD,下列结论中不正确的是 PB ? BC (1) (2) PD ? CD PD ? BD (3) (4) PA ? PB ? PC 11.点 P 在平面 ABC 外,若 PA=PB=PC,则点 P 在 ?ABC 内的 射影是 ?ABC 的
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C

第 10 题

高一数学寒假作业

二.解答题: 12.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AB=a. (Ⅰ)求证:直线 A1D⊥B1C1; (Ⅱ)求点 D 到平面 ACC1 的距离; (Ⅲ)判断 A1B 与平面 ADC 的位置关系, 并证明你的结论.

13.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,PA⊥底面 ABCD 于 A,E、F 分别是 AB、PD 之中点. (1)求证:AF∥平面 PCE; (2)若二面角 P-CD-B 为 45° ,求证:平面 PCE⊥平面 PCD; (3)在(2)的条件下,若 AD=2,CD= 2 2 ,求 F 点到平面 PCE 距离. E B C A P F D

14.在四棱锥 P-ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,问底面的边 BC 上是否存 P 在点 E,使得∠PED=900; A D

B

Q

C

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高一数学寒假作业

高一数学寒假作业(10)
一.填空题:

立体几何(二)

日期: 2 月 11 号作业

1.正方体的全面积是 6a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是______,体积是_______.

2.正四面体的四个顶点都在表面积为 36π 的一个球面上,则这个四面体的高等于________.

3.棱长为 a 的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值,则这个定值等于_________. 4. 已知 圆锥 的表 面积为 6 ? , 且它的 侧面 展开 图是一 个半 圆, 则这 个圆锥的 底面 半径 为 _______________. 5、用一张圆弧长等于 12 ? 分米,半径是 10 分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型,这个圆锥体 的体积等于 ______________立方分米. 6 、设 P 是 ?ABC 外一点,则使点 P 在此三角形所在平面内的射影是 ?ABC 的垂心的条件为 ________________________(填一种即可). 7. 已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ① 若

m ? ? , m ? ? , 则? // ?







? ? ? , ? ? ? , 则? // ?







④若 m、 n 是异面直线, m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; m ? ? , m // ? , n ? ? , n // ? , 则? // ? , 其中真命题是

8.一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为

9. 设三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA=QC1,则四棱锥 B —APQC 的体积为 .

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高一数学寒假作业

二.解答题: 10、三棱锥 V—ABC 中,VO⊥平面 ABC, O∈CD , VA=VB,AD=BD. 证明:CD⊥AB 且 AC=BC .

11、如图,ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点。 求证: (1)PA∥平面 BDE ; (2)平面 PAC ? 平面 BDE.

M 为 CC1 中点, 12.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

AC ? BD 于 O 。求证: A 1O ⊥平面 MBD .

D1 A1 D A
O

C1 B1 M C B

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高一数学寒假作业(12)
一.填空题

立体几何(三)

日期: 2 月 12 号作业

1.如果两直线 a 与 b 同时垂直于同一平面,则这两条直线的位置关系为______

2.已知空间四边形 ABCD 中,AB=AD,BC=CD,则对角线 BD 与 AC 所成的角的大小为_____。

3.已知圆锥的表面积为 6 ? ,且它的侧面展开图是一个半圆,则底面半径为



4. a、 b 是夹在两个平行平面间线段,若 a

? b 那么 a、 b 的位置关系是

5. 设

P



?ABC

外一点,则使点

P

在此三角形所在平面内的射影是

?A B C 的 垂 心 的 条 件 为

________________________(填一种即可).

6.已知直线 a , b 是直线, ? , ? , ? 是平面,给出下列命题:正确命题的序号 ① ③

a // ? , a // ? , ? ? ? ? b ,则 a // b ;② a ? ? , ? ? ? ,则 a // ? ; a ? ? , b ? ? , a ? b ,则 ? ? ? ;④ a // ? , ? // ? , a ? ? ,则 ? ? ?

.

7. 对于四面体 ABCD,给出下列四个命题:①若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD;②AB=CD,AC =BD,则 BC ⊥ AD; ③若 AB ⊥ AC,BD ⊥ CD, 则 BC ⊥ AD; ④若 AB ⊥ CD,AC ⊥ BD, 则 BC ⊥ AD. 其中真命题的序号 是 .(写出所有真命题的序号)

8. 正方体 ABCD—A1 B1 C1 D1 中,P、Q、R、分别是 AB、AD、B1 C1 的中点。那么正方体的过 P、Q、 R 的截面图形是 .

9. 已知平面 ? , ? 和直线,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? (1)当满足条件 时,有 m // ? ; (2)当满足条件
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时,有 m ? ? .(填所有序号)

高一数学寒假作业 二.解答题: 10.已知某几何体的俯视图是如图 5 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个 底边长为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6, 高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V ; (2)求该几何体的侧面积 S .

11.如图,长方体 ABCD ?

A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 1 , AA1 ? 2 ,点 P 为
D1 A1 B1

DD1 的中点。
(1)求证:直线 BD1 ∥平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC (3)求证:直线 PB 1

C1 P

? 平面 BDD 1;
.

D C B

A

? 平面 PAC

12. 如图,已知 PA ? 矩形ABCD 所在平面, M、N 分别为 AB、PC 的中点; (1)求证: MN // 平面PAD ; (2)求证: MN ? CD ; (3)若 ?PDA ? 45 ,求证: MN ? 平面PCD .
0

P

B

M

N

A D

C

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高一数学寒假作业(14)

立体几何(四)

日期: 2 月 14 号作业
A’ y’

一.填空题: 1.若点 M 在直线 a 上, a 在平面 ? 内,则 M \

a \ ? 间的上述关系可用集合表示为

2.如图 ?A' O ' C ' 表示水平放置的 ?AOB 直观图, B ' 在 x ' 轴上, A' O ' 与 x ' 轴垂直,且 A' O ' ? 2 , 则 ?AOB 的边 OB 上的高为

B ’

O 第1题

x’

3.下列命题①一条直线在平面内的射影是一条直线;②在平面内的射影是直线的图形一定是直 线;③在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等;④两斜线与平面所成的角相等,则这两斜 线互相平行,其中真命题的个数是 P 4.如图 PA ? 矩形 ABCD,下列结论中不正确的是 PB ? BC (1) (2) PD ? CD PD ? BD (3) (4) PA ? PB ? PC 5.点 P 在平面 ABC 外,若 PA=PB=PC,则点 P 在 ?ABC 内的 射影是 ?ABC 的 6.如果两个球的表面积之比是 4:1,那么这两个球的体积之比是 7.一个正四棱柱的侧面展开图后是一张长 12cm,宽 8cm 的矩形铁皮,则这个四棱柱的体积是 3 cm . 8.一个直角三角形的两条直角边为 15 cm 和 20 cm ,以一条直角边为轴旋转,则这个旋转体体 积为________________________ 9. 已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心同一侧且相距是 1,那么这个 球的半径是 10. 已知a、b为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则a、b在 α 上的射影有可能是.①两 条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一 S 点在一面结论中,正确结论的编号是 F
D A B C

D O C B

A

第4题

11.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为 AB 中点,将 △ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重合于点 P,则三棱锥 P -DCE 的外接球的体积为__

E

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高一数学寒假作业

二.解答题 12.正四棱台 AC1 的高是 8cm, 两底面的边长分别为 4cm 和 16cm, 求这个棱台的侧棱的长、 斜高、 表面积、体积.

13.如图,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在的平面相交于 AB, M ? AC , N ? FB ,且 AM=FN。求证:MN // 平面 BCE
A D N M B P C 第13题, E F

14.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,若 AC=BD= a , EF ?

2 a, 2

?BDC ? 90o ,求证:BD ? 平面 ACD

15. 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证 AC⊥BC1; (Ⅱ)求证 AC1//平面 CDB1;

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高一数学寒假作业(15)
一.填空题:

解析几何(一)

日期: 2 月 15 号作业

1 . 过点 M(?2, m), N(m,4) 的直线的斜率等于 1,则 m 的值为______________________

2. l1 : ax ? by ? 0 ,l 2 : ( a ? 1 )x ? y ? b ? 0 , 若 直 线 l1 ,l 2 同 时 平 行 于 x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则

a ? _____, b ? ______

3. 直线 kx ? y ? 1 ? 3k ? 0 ,当 k 变动时,所有直线都通过定点_____________________

4. 经过点 A(1,2) ,并且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有________条。

5. 如果 AC ? 0, BC ? 0 , 那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不通过第_______象限。

6. 已知直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与两坐标轴围成的三角形面积等于 1,则 K 值为____________

7.已知点 A ( a,2) ( a ? 0 )到直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的距离为 1,则 a ? _______

8.两平行线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l 2 : 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 之间的距离是 __________

9. 在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 ____ 条 10.已知方程 x = ax ? 1 有负根而无正根,则实数 a 的取值范围是____ __

11. 已知 ABCD 为平行四边形,且 A(1,1),B (3,?6) ,C(7,0) ,则顶点 D 的坐标为 12. 点 A (?3,8) 和 B ( 2,2) ,在 x 轴上求一点 M,使 AM+BM 为最小,则 M 的坐标为
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高一数学寒假作业

二.解答题: 13. 一条光线从点 A(3,2) 发出,经 x 轴反射后,通过点 B(?1,6) ,求入射光线和反射光线所在的直线 方程。

14. 已知四边形 ABCD 的四个顶点坐标分别为 A( 0,0 ),B( ? 2,?6 ),C (4,?8) ,D (6,?2) ,试判断四 边形 ABCD 是否为正方形?并给出证明

15. 若一直线被直线 4 x ? y ? 6 ? 0 和 3x ? 5 y ? 6 ? 0 截得的线段的中点恰好在坐标原点, 求这条直线方程.

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高一数学寒假作业(16)
一.填空题:

解析几何(二)

日期: 2 月 16 号作业
。 。

1.不论 m 取任何实数,直线 l : ?m ? 1?x ? y ? 2m ? 1 ? 0 恒过一定点,则其坐标是 2. 已知圆 x 2 -4 x -4+ y 2 =0 的圆心是点 P,则点 P 到直线 x - y -1=0 的距离是 3 . 圆 C1: 是

( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 与 圆 C2: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 16 的 位 置 关 系
。 。 。

4.已知圆 x 2 -4 x -4+ y 2 =0 上的点 P(x,y),求 x 2 ? y 2 的最大值 5.已知 A(1,-2,1) ,B(2,2,2) ,点 P 在 z 轴上,且|PA|=|PB|,则点 P 的坐标为
2 2

6.已知圆 C : ?x ? a? ? ? y ? 2? ? 4 ?a ? 0? 及直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,当直线 l 被圆 C 截得的弦 长为 2 3 时, a ? _____ 。

二.解答题: 7.已知一条直线经过两条直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 和 l 2 : x ? 3 y ? 11 ? 0 的交点,并且垂直于这个交 点和原点的连线,求此直线方程。

8.已知圆 C 同时满足下列三个条件:①与 y 轴相切;②在直线 y=x 上截得弦长为 2 7 ;③圆 心在直线 x-3y=0 上. 求圆 C 的方程.

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高一数学寒假作业

9. 设有半径为 3 km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向东直行, 出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与 B 相遇.设 A、B 两人 速度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇?

10.已知正方形的中心为直线 x ? y ? 1 ? 0 和 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点, 正方形一边所在直线方程为

x ? 3 y ? 2 ? 0 ,求其它三边所在直线方程

11.

已 知 四 条 直 线 , l1 : x ? y ? c1 ? 0

l 2 : x ? y ? c2 ? 0

l3 : 2x ? y ? c1 ? 0

l 4 : 2 x ? y ? c2 ? 0 围成平行四边形,求这个平行四边形的面积

12. .已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0
2 2

①求实数 m 的取值范围

②若直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 交于 M , N 两点,且 OM ? ON ( O 是原点),求 m 的值.

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高一数学寒假作业(17) 一.填空题:
1. 直线

解析几何(三)


日期: 2 月 17 号作业

y x ? 2 ? 1 在 y 轴上的截距是 2 a b

2. 平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与圆 x 2 ? y 2 ? 5 相切的直线的方程是 3. 若 P?x , y ? 在圆 ?x ? 2? ? y 2 ? 3 上运动,则
2

。 。

y 的最小值等于 x?4

4. 与圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 相切,且在两坐标轴上有相等截距的切线有______条 5. 已知圆 C 方程为:x2 ? y 2 ? 4 , 直线 l 过点 P ?1,2? , 且与圆 C 交于 A 、B 两点, 若 | AB |? 2 3 , 则直线 l 的方程为____________。 6. 直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x 2 ? y 2 ? 4 所得的劣弧所对的圆心角为 。

7. 与 直 线 5x ? 3 y ? 1 ? 0 垂 直 , 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 之 和 为 4 的 直 线 方 程 是 _____________________.

8. 已知 M (?1,2), N (3,?4) , 直线 l : ax ? y ? b ? 0 平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与线段 MN 有 公共点,则 b 的取值范围是_________________. 9.点 M ( x0 , y0 ) 是圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与此圆的 位置关系为 。

2 2 10 已 知 点 P( x, y) 是 圆 ( x ? 2) ? y ? 1 上 任 意 一 点 , 则 x ? 2 y 的 最 大 值 为

y?2 的最大值为________________________。 x ?1 2 2 11.直线 ( x ? 1)a ? b( y ? 1) ? 0 与圆 x ? y ? 2 的位置关系是 。
________________________, 12. 已知 M (?1,2), N (3,?4) , 直线 l : ax ? y ? b ? 0 平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0 且与线段 MN 有 公共点,则 b 的取值范围是_________________.

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高一数学寒假作业

二.解答题: 13.一个圆切直线 l1 : x ? 6 y ? 10 ? 0 于点 P(4,?1) ,且圆心在直线 l 2 : 5 x ? 3 y ? 0 上,求该圆的方 程。

14.已知两条直线 l1 : x ? my ? 6 ? 0; l2 : ? m ? 2? x ? 3 y ? 2m ? 0 ,求 m 的值,使得直线 l1与l2 (1)平行(2)相交(3)重合

15.已知圆 C 方程为:x 2 ? y 2 ? 4 ①直线 l 过点 P ?1,2? , 且与圆 C 交于 A 、B 两点, 若 | AB |? 2 3 , 求直线 l 的方程;②过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向 量 OQ ? OM ? ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

????

???? ? ????

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高一数学寒假作业(18)
一.填空题:

解析几何(四)

日期: 2 月 18 号作业

1.圆心为 (1,2) ,且与直线 5 x ? 12 y ? 7 ? 0 相切的圆的方程为____________________

2.圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1关于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是__________________

3.经过 P(2,2), Q(?6,?2) 且圆心在 y 轴上的圆的方程是____________________

4.过 M (?3,4) 与圆 x ? y ? 25 相切的直线方程为____________________
2 2

5. 斜率为 k 且与圆 x ? y ? r (r ? 0) 相切的方程为____________________
2 2 2

6. 两个圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 与 C2 : x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的公切线有且仅有
2 2 2 2



.

7.若过定点 M (?1,0) 且斜率 k 为直线与圆 x 2 ? 4x ? y 2 ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 。 8.若 a ? 0 ,则方程 x 2 ? y 2 ? ax ? ay ? 0 所表示的图形关于直线___________________对称。
2 2 9.直线 x ? 2 y ? 2k ? 0 与 2 x ? 3 y ? k ? 0 的交点在圆 x ? y ? 9 的外部 , 则 k 的取值范 围是 。

10. 方程 x( x 2 ? y 2 ? 1) ? 0 和 x 2 ? ( x 2 ? y 2 ? 4) 2 ? 0 ,它们表示的图形分别是 11.方程 x ? 1 ? 1 ? y 表示的曲线是________________________。
2





12. 若经过点 P(5a ? 1,12a) 可以作出圆 ( x ? 1) ? y ? 1的两条切线,则实数 a 的取值
2 2

范围是



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高一数学寒假作业

二.解答题: 13. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 和两点 A(0,4) 、 B(4,0) ,当 P 点在圆上运动时,求 ?APB 的重心的轨 迹方程。

14.自点 A(4,0) 引圆 x 2 ? y 2 ? 4 的割线 ABC ,求弦 BC 中点 P 的轨迹方程。

15.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 与 l 2 : (2a ? 1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,试比较 a a ? 1 与
a 2 ? 2a ? 1 的大小。

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高一数学寒假作业(20)

必修二综合测试日期: 2 月 20 号作业

一.填空题: 1、a,b,c 分别表示三条直线,M 表示平面,给出下列四个命题:①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ②若 b ? M,a∥b,则 a∥M;③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b;④若 a⊥M,b⊥M,则 a∥b.其中正 确命题的个数有 。 2、若直线 a, b 与直线 c 相交成等角,则 a, b 的位置关系是 3、下列四个说法 ①a//α ,b ? α ,则 a// b ②a∩α =P,b ? α ,则 a 与 b 不平行 ③a ? α ,则 a//α ④a//α ,b //α ,则 a// b 其中错误的说法的个数是 4、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 于”). 5、若球 O1、O2 表示面积之比
S1 R ? 4 ,则它们的半径之比 1 = S2 R2

S球

S正方体 (填“大于、小于或等



6 、长方体的一个顶点处的三条棱长之比为 1 : 2 : 3 ,它的表面积为 88 ,则它的体对角线长 为 。 7、等边圆柱的轴截面面积为 S,则它的侧面积为 。 8、设正方体的全面积为 24cm ,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是
2



9、若等腰直角三角形的直角边长为 2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体 积是 。 10、在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱
w.w.w. k. s.5.u.c

锥后,剩下的凸多面体的体积是



11、若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示, 则此几何体的体积是

cm3 .

12. 与圆 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相切, 且在坐标轴上截距相等的 方程为 13.已知 A(2,5,-6),在 y 轴上求一点 P,使 PA ? 7 ,点 P 的坐标 为 . .

直 线

2 2 14.圆 x ? y ? x ? 2 y ? 0 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称的圆的方程

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高一数学寒假作业

二.解答题: 15、已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 , SA ? 面 ABC , AD ? SC ,求证: AD ? 面 SBC .
?

S

D A C B

16、正四棱台的侧棱长为 3cm,两底面边长分别为 1cm 和 5cm,求体积.

17.已知点 P 到两定点 M(-1,0),N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1, 求直线 PN 的方程.

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高一数学寒假作业

18.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0, 是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被 C 截得的弦 AB 为直 径的圆过原点?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由.

19.已知圆 A:

x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 ,圆 B: x 2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a 2 ? 1 ? 0 ,

当 a , b 变化时,若圆 B 始终平分圆 A 的周长,求圆心 B 的轨迹方程, 并求圆 B 半径最小时圆 B 的方程

20.如图,正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面边长为 2 2 ,侧棱长为 4,E、F 分别为 AB、 BC 的中点, EF ? BD ? G 。 (1)求证:平面 B1 EF?平面BDD1 B ;

(2)求点 D1 到平面 B1 EF 的距离 d;(3)求三棱锥 B1 ? EFD1 的体积 V。

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高一数学寒假作业

预习下列内容
基本初等函数Ⅱ(三角函数)、三角恒等变换
一、知识方法回顾 1、角的概念的推广:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按 时 针方向旋转所形成的角叫正角,按 时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋 转时,称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边。 2、象限角的概念:在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在 上,就认为这个角不属 于任何象限。 3. 终边相同的角的表示: (1) ? 终边与 ? 终边相同 ? ? ? ? ? , 注意:相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等. (2) ? 终边与 ? 终边共线 ? ? ?? ? ; (3) ? 终边与 ? 终边关于 x 轴对称 . ? ? ? ?? ? ( 4 ) ? 终边与 ? 终边关于 y 轴对称 ? ? ? ? ? ? ? . ( 5 ) ? 终边与 ? 终边关于原点对称 . ?? ?? + ( 6 ) ? 终 边 在 x 轴 上 的 角可表 示 为 : ? ? ; ? 终 边 在 y 轴 上 的 角 可表 示为: ; ? 终边在坐标轴上的角可表示为: ? ? . ??
? 2 4.弧长公式: l ?| ? | R ,扇形面积公式: S ? 1 lR ? 1 | ? | R ,1 弧度(1rad) ? 57.3 .

5、 任意角的三角函数的定义: 设 ? 是任意一个角, P ( x, y ) 是 ? 的终边上的任意一点 (异于原点) , 它与原点的距离是 r ?

2

2

x 2 ? y 2 ? 0 ,那么 sin ? ?


, cos ? ?

tan ? ?
y B P α O M A x S T

( x ? 0) 。 6.三角函数线:正弦线为 ,余弦线为 正切线为 . 7. 同角三角函数的基本关系式: sin ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , ? tan ? cos ?
8.三角函数诱导公式( 2k? ? ? (k ? Z ),?? , ? ? ? , 9、辅助角公式中辅助角的确定:

?
2

, ?? )

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?
10、正弦函数和余弦函数的图象:正弦函数 y ? sin x 和余弦函数 y ? cos x 图象的作图方法:五 点法。 11、正弦函数 y ? sin x( x ? R) 、余弦函数 y ? cos x( x ? R) 的性质: (1)定义域:都是 。 (2)值域:都是 , 对 y ? sin x ,当 x ? 时, y 取最大值 1;当 x ? 时, y 取最小值-1;
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对 y ? cos x ,当 x ?

时, y 取最大值 1,当 x ? 。

时, y 取最小值-1。 ;② f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 和

(3)周期性:① y ? sin x 、 y ? cos x 的最小正周期都是

f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的最小正周期都是
(4)奇偶性与对称性: y ? sin x( x ? R) 是奇函数,对称中心是

,对称轴是直线



,对称轴是直线 y ? cos x( x ? R) 是偶函数,对称中心是 k ? Z (5)单调性:特别提醒,别忘了 ! 上单调递增,在 单调递减; y ? sin x( x ? R) 在 y ? cos x( x ? R) 在 上单调递减,在 上单调递增。 12、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: 1 (1)几个物理量:A―振幅; f ? ―频率(周期的倒数) ; ? x ? ? ―相位; ? ―初相; T ( 2 ) 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 图 象 的 画 法 : ① “ 五 点 法 ” ― ― 设 X ? ? x ? ? , 令 X = , , , , 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象; ②图象变换法:这是作函数简图常用方法。 (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系: ① y ? sin x 的图象 ② y ? sin ? x ? ? ? 图象 ③ y ? sin ?? x ? ? ? 图象 ④ y ? A sin(? x ? ? ) 图象 得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 得 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 得 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象; 得 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。

注意:由 y ? sin ?? x ? 得 y ? sin ?? x ? ? ? ,则向左或向右平移应平移 |

13、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: (1)定义域: 。 (2)值域是 , (3)周期性:是周期函数且周期 y ? a 是 ,它与直线 的两个相邻交点之间的距离是一个周期 ? 。 (4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是

? | 个单位, ?

?k ? Z ? ,

(5)单调性:正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在整个定义域上 不具有单调性。 14、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

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令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?   tan ?? ? ? ? ?
15. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是: (1)变角:如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ,

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , ? ? ? ? 2 ?
(2)三角函数名互化(化切为弦),

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?

等) ,

(3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? 。 (4)三角函数次数 :降幂公式: cos ? ?
2

sin x cos x ”的关系, (5)正余弦“ sin x ? cos x、
二、易错点警示

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 2 2

1、在解三角问题时,你注意到正切函数了吗?正切函数在整个定义域内是否为单调函数?你注 意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗?
2 2 2、在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 1 ? sin x ? cos x ? tan

?
4

? sin

?
2

? cos 0 ? ?? 这

些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用. (还有同角关系公式:商的关系, 倒数关系,平方关系;诱导公试:奇变偶不变,符号看象限) 3、在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换. (如 ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 等) 2? ?2 ? ?

4、你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能 求出值的式子,一定要算出值来) 5、你还记得三角化简的通性通法吗?(化切为弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异 角 化 同 角 , 异 名 化 同 名 , 高 次 化 低 次 ); 你 还 记 得 降 幂 公 式 吗 ? 2 2 cos x=(1+cos2x)/2;sin x=(1-cos2x)/2 6、你还记得某些特殊角的三角函数值吗? ( sin 15? ? cos75? ?

6? 2 6? 2 5 ?1 , sin 75? ? cos15? ? , sin 18? ? ) 4 4 4

7、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、对称轴, 取最值时的 x 值的集合吗?(别忘了 k? Z) 8、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择,其标准有 二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数值) 。
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