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福建省南平市2010年高三数学高中毕业班适应性测试 理 新人教版1


2010 年南平市高中毕业班适应性考试理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题为 必考题.全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , ?, xn 的标准差: s ? 其中 x 为样本平均数; 柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 锥体体积公式:

V ? 1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;
3

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? , ? n?

球的表面积、体积公式: S ? 4?R2 , V ? 4 ?R3 ,其中 R 为球的半径。
3

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求的。 1. 若

3?i b ? a ? bi?a, b ? R ? ,则 ? ( a 1 ? 2i 10 A.-1 B. 7

) C.-7 ) B. ?x ? R, 都有 | x |? 1 D. ?x ? R, 都有 | x |? 1 ) D.20 ) D.7

2. 命题“ ?x ? R, 使得 | x |? 1 ”的否定是( A. ?x ? R, 都有 | x |? 1 C. ?x ? R, 都有 | x |? 1

3.等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则 a18 ? 2a14 的值为( A. ? 10 4.已知△ABC 的面积为 A. 30? B. ? 20 C.10

3 ,AC=2, ?BAC ? 60o ,则 ?ACB =( 2
B. 60? C. 90?

D. 150?

5.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 16, 则图中判断框内①处应填( ) A.5 B.4 C.3 D.2

开始 a=1,b=1 a≤ ① 是 b=2b 输出 b 结束 结束 否

用心

爱心

专心

a=a+ 11

6.若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (?1, ??) D. (??, ?1]



A. [?1, ??) C. (??,?1)

7.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积等于( A. 34 ? 6 5



4

B. 6 ? 6 5 ? 4 3
主 视 图 侧 视 图 2

C. 6 ? 6 3 ? 4 13 D. 17 ? 6 5 8.为了解某校高三学生的视力情况,随机地 抽查了该校 100 名高三学生的视力情况, 得到频率分布直方图,如右,由于不慎将 部分数据丢失, 但知道前 4 组的频数成等 比数列,后 6 组的频数成等差数列, 设最 大频率为 a,视力在 4.6 到 5.0 之间的学 生数为 b,则 a, b 的值分别为( ) A.0.27, 78 B.0.27, 83 C.2.7, 78 D.2.7, 83
0 .3 0 .1 0
4. 3 4. 4 4. 5

3

3

2

俯 视 图 6 第 7 题
频 率 组 距

4 . 68 题 . 7 4 第

4. 8

4. 9

5. 0

5. 1

5. 2

视 力

9.已知点 O 是 ?ABC 外心,

AB ? 5, AC ? 3 ,则 AO ? BC ? (
A.

? ??

? ??

) C.8 D. ? 8

16 3

B. ?

16 3

10.对于集合 M 、 N ,定义 M ? N ? x x ? M ,且x ? N , M ? N ? ? M ? N ? ? ? N ? M ? . 设 A ? t t ? x 2 ? 3x , B ? ? x y ? lg ? ? x ?? ,则 A ? B 为(
? ? 9 A. ? x ? ? x ≤ 0? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 9 B. ? x x ? ? 或x ≥ 0? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 9 D. ? x x ≤ ? 或x ? 0? ? ? 4 ? ? ? ?

?

?

?

?



C. ? x ? ?
? ?

?

? 9 ? ≤ x ? 0? 4 ? ?

第Ⅱ卷(非选择题
用心 爱心

共 100 分)
专心

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置。 11.直线 y ?

1 x 关于直线 x ? y ? 1 对称的直线方程是 2
n



? 2 1 ? 12.若 ? x ? 3 ? 展开式的各项系数之和为 32,则展开式中的常数项为 x ? ?
字作答)

。 (用数

2x ? 1 13 . 求 函 数 f ( x) ? x ? x ? 3 sin x ? 1 在 区 间 [ ? t , t ](t ? 0) 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 2 ?1
3




1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n ?1

1 14.已知数组: 1 )( 2 ,2 )( 3 ,3 ,3 )( 4 ,4 ,4 ,4 ) ( , , , ,?, n , n , n , ?, n (

, nn ) ,?

记该数组为( a1 )( a2 , a3 )( a4 , a5 , a6 ) , , ,?,则 a2010 = 15.若 m ?

8

?

?

1

0

1 ? x 2 dx ,椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,直线 l 的方程为 x ? m , m
? ?? ? ??

点 A 在直线 l 上,线段 AF 交椭圆 C 于点 B,若 FA ? 3 FB ,则直线 AF 的倾斜角的大小 为 。

用心

爱心

专心

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. (本题满分 13 分)设函数 f ( x) ? sin x , g ( x) ? cos x , (Ⅰ)如果函数 y ? h( x) 的图像是由函数 f ( x) ? sin x 的图像上各点的横坐标伸长为原来 的 2 倍,再把所得图像向左平移

(Ⅱ)如果 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 h( x ) 在区间 ? 0,

? 得到,求函数 h( x ) 解析式; 4 ? 5? ?
?
上的值域 4 ? ?

17. (本小题满分 13 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点。 (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值。

S

O

C

B

A

18. (本小题满分 13 分) 设不等式组 ?

? ?2 ≤ x ≤ 2 ? 0≤ y≤2

确定的平面区域为 U,

?x ? y ? 2≥ 0 ? ? ? x ? y ? 2 ≤ 0 确定的平面区域为 V。 ? ?y≥0 ?

(Ⅰ)定义坐标为整数的点为“整点” .在区域 U 内任取 3 个整 点,求这些整点中恰有 2 个整点在区域 V 的概率; (Ⅱ)在区域 U 内任取 3 个点,记此 3 个点在区域 V 的个数为 X,求 X 的概率分布列及其数学期望

19. (本题满分 13 分) 已知抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,, 是抛物线 C 上的两点, A B 直线 AB 过点 M (0,2 p) 。
2

(Ⅰ)设 Q 是抛物线上任意一点,求 | MQ | 的最小值;
? ?? ? ??

(Ⅱ)求向量 OA 与向量 OB 的夹角(O 是坐标原点) ; (Ⅲ)在 y 轴上是否存在异于 M 的一点 N,直线 AN 与抛物线的另一个交点为 D,而直线 DB 与 y 轴交于点 E,且有 ED ? 3 EB ?若存在,求出 N 点坐标;若不存在,说明理由。 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ln(1 ?
? ?? ? ??

2 ) 的定义域为 (??,?1) ? (0,??) 。 ax

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)探究 f (x) 是否是 (0,??) 上的单调函数?若是,请证明;若不是,请说明理由; (Ⅲ) 求证: 1 ? )(1 ? ) (1 ? ) ?(1 ? (
2 3

1 1

1 2

1 3

1 n 。 ) ? e n ,n ? N *(其中 e 为自然对数的底数) n
专心

用心

爱心

21.本题有(1)(2)(3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果 、 、 多做,则按所做的前两题计分 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

?1 ? 1? ? ,其中 a ?R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0, ?a 1 ?

-3),求矩阵 A 的特征值及特征向量。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合.直线 l 的极 坐 标 方 程 为 ? sin(? ?

?
4

)?

2 ,圆 C 的参数方程为 2

? ? ? 0,? ? ) 2 ,求圆心 C 到直线 l 的距离
(3) (本小题满分 7 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲 已知 x, y, z 为正实数, 且 的值。

? x ? 2 cos ? (参数 ? ? y ? 2sin ? ? 2

1 1 1 求 ? ? ? 1 , x ? 4 y ? 9 z 的最小值及取得最小值时 x, y, z x y z

用心

爱心

专心

2010 年南平市高中毕业班适应性考试 理科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 CBAAC DAADB 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11. y-2x+1=0 12. 10 13. 2 14.

6357

15. 45°或 135°

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.解: (Ⅰ)把 y ? sin x 图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,

1 x 的图像,????3 分 2 ? 1 ? 把得到的函数图像向左平移 ,得到 y ? sin ( x ? ) 图像, 4 2 4 1 ? 所以 h( x) ? sin( x ? ) ????6 分 2 8
得到 y ? sin (Ⅱ)当 x ? ? 0,

? ? ?? 时, cos x ? 0 , h( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ????8 分 4 ? 2? ?
? 3? 2 ? ? sin(x ? ) ? 1,则 h( x ) ? ?1, 2 ? ;????9 分 ,? ? ? 2 4 4

?

?
4

? x?

?
4

当 x??

? ? ? 5? ? , ? 时, cos x ? 0 , h( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ????11 分 4 ?2 4 ?
? x?

?

?
4

?

? ? ? ,? 0 ? sin(x ? ) ? 1 ,则 h( x ) ? ? 0, 2 ? ????12 分 ? ? 4 4
? 5? ? 上的值域为 ? 0, 2 ? ????13 分 ? ? ? 4 ? ?

因此, h( x ) 在区间 ? 0,

17.证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC= SB= SC ? SA , 连结 OA , △ABC 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OC ?

2 SA , 2

且 AO ? BC ,又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,????3 分 且 SO ?

2 2 2 SA ,从而 OA2 ? SO2 = SA2 . ? 2 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O .所以 SO ? 平面 ABC .????6 分
用心 爱心 专心

(Ⅱ)以 O 为坐标原点,射线 OB,OA ,OS 分别为 x 轴、

y 轴,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .
设 B(1 0, ,则 C (?1 0,,A(0,0) S (0,1) . , 0) , 0) 1 ,, 0, 平面 BCS 的法向量 n1 = ( 0, 1, 0 )

S

平面 ACS 的法向量 n 2 = ( -1, 1, 1 ) ????10 分 ∣COS< n 2 , n1 >∣ = ∣

O

C

n1 ? n2 n1 ? n2

∣=

3 3

B

A

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 .????13 分 3


18.解: (Ⅰ)由题意,区域U内共有 15 个整点, 区域V内共有 9 个整点, 设所取 3 个整点中恰有 2 个整点在区域V的概率为 P ?V ? ,则 A





P?V ? ?

2 1 C9 ? C6 3 C15

?

216 .????6 分 455
B O C X

(Ⅱ)区域 U 的面积为 8,区域 V 的面积为 4, ∴在区域 U 内任取一点, 该点在区域 V 内的概率

4 1 ? .????8 分 8 2 X 的取值为 0,1,2,3.????9 分


P? X ? 0?

0? 1 ? ? C3 ? ?

1 ?1? ? ? ? , 8 ?2? ?2?
2 1

0

3

P? X ? 1?

1? ? C3 ?

1? ?1? 3 ? ? ? ? , 8 ?2? ?2?
3 0

1

2

3 2? 1 ? ? 1 ? P? X ? 2? ? C 3 ? ? ? ? ? , ?2? ?2? 8
∴X的分布列为 X 0 1

1 3? 1 ? ? 1 ? P? X ? 3? ? C 3 ? ? ? ? ? .????11 分 8 ?2? ?2?
2 3

1 3 3 1 8 8 8 8 1 3 3 1 3 E ? X ? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? .????13 分 8 8 8 8 2
19.解: (Ⅰ)设 Q( x0 , y 0 ) , | MQ | ? x0 ? ( y 0 ? 2 p) ? 2 py0 ? y 0 ? 4 py0 ? 4 p
2 2 2 2 2 2 2

P? X ?

2 2 2 = y 0 ? 2 py0 ? 4 p ? ( y 0 ? p) ? 3 p ? 3 p ,则 | MQ | 的最小值为 3 p ????3 分

用心

爱心

专心

(Ⅱ)由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 p ( k 存在) ,令 A ( x1 , y1 ) 、B ( x 2 , y 2 ) ,将 直线方程 y ? kx ? 2 p 代入抛物线方程 x ? 2 py ,化简得: x ? 2 pkx ? 4 p ? 0 ,
2 2 2

则 x1 x 2 ? ?4 p ,????5 分
2

而 y1 y 2 ?

2 ? ?? ? ?? x12 x 2 16 p 4 ? ? 4 p 2 ,于是 OA ? OB = x1 x2 ? y1 y 2 ? ? 4 p 2 ? 4 p 2 ? 0 , 4 p2 4 p2

? ??

? ??

因此,向量 0 A 与向量 OB 的夹角为

? ????8 分 2

(Ⅲ)设存在点 N (0, a) 满足题意,则直线 AD 方程可设为 y ? tx ? a ( t 存在) , 令 D( x3 , y 3 ), E (0, y 4 ) ,将直线 AD 方程 y ? tx ? a 代入抛物线方程 x ? 2 py 并化简得:
2

x 2 ? 2 ptx ? 2 pa ? 0 ,则 x1x3 ? ?2 pa
? ?? ? ??

(1)????10 分

由 ED ? 3 EB ,得( x3 , y3 ? y 4 ) ? 3( x2 , y 2 ? y 4 ) , x3 ? 3x 2 代入(1)式得 3 x1 x2 ? ?2 pa ,又由(Ⅰ)得 x1 x 2 ? ?4 p ,所以 a ? 6 p ????12 分
2

即在 y 轴上存在异于 M 的一点 N (0,6 p) ,使得 ED ? 3 EB ????13 分

? ??

? ??

20.解: (Ⅰ)由题意得关于 x 的不等式 1 ? 则 ? 1是方程 1 ?

2 ? 0 的解集是区间 (??,?1) ? (0,??) , ax

2 ? 0 的根,因此 a ? ?2 。 ax 2 经检验 a ? ?2 时,函数 f ( x) ? x ln(1 ? ) 的定义域为 (??,?1) ? (0,??) . ax 即 a ? ?2 符合题意.????3 分 1 1 ln(1 ? t ) (Ⅱ) f ( x) ? x ln(1 ? ) ( x ? 0) ,设 ? t ,则 y ? (t ? 0) x x t t ? ln(1 ? t ) 1? t ????5 分 y' ? t2
令 g (t ) ?

1? t ? t 1 t t ? ?? ?0 ? ln(1 ? t )(t ? 0) ,则 g ' (t ) ? 2 1? t 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) 2

即 g (t ) 是 (0,??) 上的减函数????7 分

用心

爱心

专心

t ? ln(1 ? t ) 所以当 t ? 0 时, g (t ) ? g (0) =0,则 y ' ? 1 ? t 2 <0. t ln(1 ? t ) 1 因此 y ? 是(0, ? ?) 上的减函数,而 t ? 是(0, ? ?) 上的减函数, t x
则 f (x) 是 (0,??) 上的单调增函数????9 分 (Ⅲ)先证不等式 ln(1 ? x) ? x ( x ? 0) 成立. 设 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ( x ? 0) ,则 h' ( x) ?

1 ?1 ? 0, 1? x

即 h(x ) 是(0, ? ?) 上的减函数,所以 h( x) ? h(0) ? 0 ,因此 ln(1 ? x) ? x ??11 分

1 1 1 1 1 (n ? N *) 得不等式 ln(1 ? ) ? ,即 ln(1 ? ) n ? 1 ,则 (1 ? ) n ? e ??13 分 n n n n n 1 1 2 1 3 1 n n 所以 (1 ? )(1 ? ) (1 ? ) ?(1 ? ) ? e ????14 分 1 2 3 n
取x ?

21. (1) 解:由题意得: a ? ?4 ????2 分 特征值 3 对应特征向量为 ?

?1 ? ? ????5 分 ?? 2?

特征值-1 对应特征向量为 ? ? ????7 分 (2) 解:直线 l 的直角坐标方程为:x + y - 1= 0 ????2 分 圆 C 的普通方程为: x ? ( y ? 2) ? 4 ????4 分
2 2

?1 ? ? 2?

圆心 C(0,2)到直线 l 的距离 d ? (3)解:由柯西不等式得

1 1?1

=

2 ????7 分 2

x ? 4 y ? 9 z ? [( x ) 2 ? (2 y ) 2 ? (3 z ) 2 ] ? [( ?( x?

1 2 1 2 1 ) ?( ) ? ( )2 ] x y z

1 1 1 2 ?2 y? ?3 z ? ) ? 36 x y z

????????????????????????????????4 分 当且仅当 x ? 2 y ? 3z 时等号成立,此时 x ? 6, y ? 3, z ? 2 所以当 x ? 6, y ? 3, z ? 2 时, x ? 4 y ? 9 z 取得最小值 36???? 7 分

用心

爱心

专心


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