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人教A版必修二全套教案方案一(表格式,共92页)


高中数学人教 A 版必修二教案 教材 教 地位 教学 情 理念 教学 分 设计 思路 析 教学 措施 教学 学 情 分 析 学法 指导 探索、讨论 对象 学生 情况 学生基础知识不够扎实,知识面狭窄。 高一 9、10 班
在编排方面.在每章均有章头图和引言,作为本章内容的导入,使学生 对该章学习的内容产生悬念,发生兴趣,从而初步了解学习该章内容的 必要性. 增加了教材旁

注,并且多处提到解决问题的基本数学思想方法. 通过认识空间图形,培养和发展学生的几何观察能力、运用图形语言进 行交流的能力、空间想象能力与一定的推理论证能力是高中阶段数学必 修课程的一个基本要求。 在教科书中,各节根据需要,开设了“思考”“观察”和“探究”等栏 、 目,把学生作为学习的主体来编排内容,符合新课程的理念.有利于学 生开展自主和合作学习, 实现教师教学和学生学习双重行为方式的转变. 空间几何体是几何学的重要主成部分,几何学是研究现实世界中物体的 形状大小与位置关系的数学学科。

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学期教学计划安排
周 次 1 2 3 4 5 6 7 8 教学内容 必修 1 第一章 集合与函数概念 1.1 集合(约 4 课时) 1.2 函数及其表示(约 4 课时) 1.3 函数的基本性质(约 3 课时) 小结与复习(约 1 课时) 第二章 基本初等函数 2.1 指数函数(约 4 课时) 国庆放假 2.1 指数函数(约 2 课时)2.2 对数函数(约 2 课时) 2.2 对数函数(约 4 课时) 2.3 幂函数(约 1 课时) 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程(约 3 课时) 3.2 函数模型及其应用(约 4 课时) 必修 2 第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构(约 2 课时) 1.2 空间几何体的三视图和直观图(约 2 课时) 1.3 空间几何体的表面积和体积(约 2 课时) 小结与复习(约 1 课时) 中段考、评卷 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系(约 3 课时) 2.2 直线、平面平行的判定与性质(约 3 课时) 2.3 直线、平面垂直的判定与性质(约 3 课时) 第一、二章单元复习、测验与评卷(约 3 课时) 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率(约 2 课时) 3.2 直线的方程(约 3 课时) 3.3 直线的交点坐标及距离公式(约 3 课时) 小结与复习(约 1 课时) 第四章 圆与方程 4.1 圆的方程(约 2 课时) 4.2 直线、圆的位置关系(约 4 课时) 4.3 空间直角坐标系(约 1 课时) 期末复习与考试

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16-17

18-19

20-22

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教 学 设 计 方 案 课题

1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
(1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (ABC) (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。(ABC) 知识与 能力 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球 的结构特征。(AB) (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。(AB)
(1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、

三 维 教 学 目 标

过程与 方法 情感、 态度、 价值观

台、球的几何结构特征。 (2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学 习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构 特征。 柱、锥、台、球的结构特征的概括

教 学 内 容 分 析

教学 重点 教学 难点

教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子 吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的 活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的, (展示具有柱、锥、台、 球结构特征的空间物体) 你能通过观察。 , 根据某种标准对这些空间物体进行分类吗? 这是我们所要学习的内容。 (二) 、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、 棱锥。(ABC) 2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们 的共同特点是什么?(AB) 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得 出棱柱的主要结构特征。 (1)有两个面互相平行; (2)其余各面都是平行四边形; (3)
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每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分 类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体, 并说出组成这些物体的几何结构 特征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出 相关的概念,分类以及表示。(AB) 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念 以及相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表 示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称 为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的 物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体 的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例 说明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本 P8,习题 1.1 A 组第 1 题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什 么图形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本 P7 课本 P8 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 课 后 学 习 课本 P8 课外练习 练习题 1.1 课本 P8 B 组第 1 题 习题 1.1 B 组第 2 题 练习 1、2(1) (2) 习题 1.1 第 2、3、4 题

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教 学 反 思

棱柱没有说明直棱柱和斜棱柱的概念,而课本给出的图形都是直棱柱,让学 生有错觉,棱柱的侧棱都垂直底面。棱锥也没有给出正棱锥的概念,可是课 本又给出了正棱锥,对于这些概念我认为还是进行简单的介绍。

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教 学 设 计 方 案 第
课题 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 2 课







1.2.1

空间几何体的三视图

三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析

(1)掌握画三视图的基本技能(ABC) (2)丰富学生的空间想象力(AB) 主要通过学生自己的亲身实践,动手作图,体会三视图的作 用。 (1)提高学生空间想象力 (2)体会三视图的作用 画出简单组合体的三视图 识别三视图所表示的空间几何体

教学过程 (一)创设情景,揭开课题 “横看成岭侧看成峰”,这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同, 要比较真实反映出物体,我们可从多角度观看物体,这堂课我们主要学习空间几何体 的三视图。 在初中,我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图(正视图、 侧视图、俯视图) ,你能画出空间几何体的三视图吗? (二)实践动手作图 1.讲台上放球、长方体实物,要求学生画出它们的三视图,教师巡视,学生画完 后可交流结果并讨论;(ABC) 2.教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图(AB) (1)画出球放在长方体上的三视图 (2)画出矿泉水瓶(实物放在桌面上)的三视图 学生画完后,可把自己的作品展示并与同学交流,总结自己的作图心得。 作三视图之前应当细心观察,认识了它的基本结构特征后,再动手作图。 3.三视图与几何体之间的相互转化。(AB) (1)投影出示图片(课本 P10,图 1.2-3) 请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么? (2)你能画出圆台的三视图吗?

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(3)三视图对于认识空间几何体有何作用?你有何体会? 教师巡视指导,解答学生在学习中遇到的困难,然后让学生发表对上述问题的看 法。 4. 请同学们画出 1.2-4 中其他物体表示的空间几何体的三视图, 并与其他同学交 流。 (三)巩固练习 课本 P12 练习 1、2 P18 习题 1.2 A 组 1 (四)归纳整理 请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图 课 后 学 习 1.自己动手制作一个底面是正方形,侧面是全等的三角形的棱锥模型, 并画出它的三视图。 2.自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形,侧面是全等的等腰 梯形的棱台模型,并画出它的三视图。

教 学 反 思

画物体的三视图,学生较易掌握,注意三视图中,看得见的边框用实线,看 不见的用虚线,注意实线虚线的使用。

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 3









1.2.2

空间几何体的直观图

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。(ABC) (2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投 影下画空间图形两种方法的各自特点。(ABC) 学生通过观察和类比,利用斜二测画法画出空间几何体的直 观图 (1)提高空间想象力与直观感受。 (2)体会对比在学习中的作用。 (3)感受几何作图在生产活动中的应用。 用斜二测画法画空间几何值的直观图。 用斜二测画法画空间几何值的直观图。

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)创设情景,揭示课题 1.我们都学过画画,这节课我们画一物体:圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2.学生画完后展示自己的结果并与同学交流,比较谁画的效果更好,思考怎样才 能画好物体的直观图呢?这是我们这节主要学习的内容。 (二)研探新知 1.例 1,用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图,由学生阅读理解,并思 考斜二测画法的关键步骤,学生发表自己的见解,教师及时给予点评。(ABC) 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置,因为多边形顶点 的位置一旦确定, 依次连结这些顶点就可画出多边形来, 因此平面多边形水平放置时, 直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法,画出水平放置的正五边形的直观图,让学生独立完成后,教师 检查。 2.例 2,用斜二测画法画水平放置的圆的直观图(AB) 教师引导学生与例 1 进行比较,与画水平放置的多边形的直观图一样,画水平放
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置的圆的直观图,也是要先画出一些有代表性的点,由于不能像多边那样直接以顶点 为代表点,因此需要自己构造出一些点。 教师组织学生思考、讨论和交流,如何构造出需要的一些点,与学生共同完成例 2 并详细板书画法。 3.探求空间几何体的直观图的画法 ( 1 )例 3 , 用斜 二测 画 法画 长、 宽、 高分 别 是 4cm 、 3cm 、 2cm 的 长方 体 ABCD-A’B’C’D’的直观图。(ABC) 教师引导学生完成,要注意对每一步骤提出严格要求,让学生按部就班地画好每 一步,不能敷衍了事。 (2) 投影出示几何体的三视图、 课本 P15 图 1.2-9, 请说出三视图表示的几何体? 并用斜二测画法画出它的直观图。教师组织学生思考,讨论和交流完成,教师巡视帮 不懂的同学解疑,引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系。 4.平行投影与中心投影 投影出示课本 P17 图 1.2-12,让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在 中心投影下画空间图形的各自特点。 5.巩固练习,课本 P16 练习 1(1) ,2,3,4 三、归纳整理 学生回顾斜二测画法的关键与步骤 课 后 学 习 1.书画作业,课本 P17 2.课外思考 练习第 5 题

课本 P16,探究(1) (2)

注意斜二侧画法的步骤,多带学生画几个立体图形的直观图,让学生掌握方 法,多用课件演示形象具体。 教 学 反 思

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 4









1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面 积和体积的求法。(ABC) (2)能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟 悉台体与术体和锥体之间的转换关系。(AB) (3)培养学生空间想象能力和思维能力。(AB) (1)让学生经历几何全的侧面展一过程,感知几何体的形 状。 (2)让学生通对照比较,理顺柱体、锥体、台体三间的面 积和体积的关系。 通过学习,使学生感受到几何体面积和体积的求解过程, 对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 台体体积公式的推导

过程与 方法

教 学 内 容 分 析

情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

教学过程
1、创设情境 (1)教师提出问题:在过去的学习中,我们已经接触过一些几何体的面积和体 积的求法及公式,哪些几何体可以求出表面积和体积?引导学生回忆,互相交流,教 师归类。 (2)教师设疑:几何体的表面积等于它的展开圈的面积,那么,柱体,锥体, 台体的侧面展开图是怎样的?你能否计算?引入本节内容。 2、探究新知(ABC) (1)利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图

(2) 组织学生分组讨论: 这三个图形的表面由哪些平面图形构成?表面积如何 求? (3)教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
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(1)教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构,并归纳出其表面 积的计算公式:

S圆台表面积 ? ?(r '2 ?r 2 ? r ' l ? rl )
r1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 (2) 组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。

(3)教师引导学生探究:如何把一个三棱柱分割成三个等 体积的棱锥?由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积 之间的关系的了解。如图:(AB)

(4)教师指导学生思考,比较柱体、锥体,台体的体积公式之间存在的关系。

(s’,s 分别我上下底面面积,h 为台柱高) 4、例题分析讲解 (课本)例 1、 例 2、 例3 5、巩固深化、反馈矫正 教师投影练习 1、已知圆锥的表面积为 a ㎡,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底 2 (答案: 3a? m ) 面直径为 。 3? 2、棱台的两个底面面积分别是 245c ㎡和 80c㎡,截得这个棱台的棱锥的高为 35cm,求这个棱台的体积。 (答案:2325cm3) 6、课堂小结 本节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用 联系的关点看待三者之间的关系,更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。

课 后 学 习

习题 1.3

A 组 1.3

记住各种几何体的表面积和体积计算公式,学生掌握得较好。 教 学
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反 思

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 5 课







§1.3.2

球的体积和表面积

⑴通过对球的体积和面积公式的推导, 了解推导过程中所用 的基本数学思想方法: “分 割——求和——化为准确和”有利于同学们进一步学习微 , 积分和近代数学知识。(AB) ⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。(ABC) ⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。(AB) 通过球的体积和面积公式的推导,从而得到一种推导球 4 体积公式V= π R3 和面积公式S=4π R2 的方法,即“分 3 割求近似值,再由近似和转化为球的体积和面积”的方法, 体现了极限思想。 通过学习,使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一 定的了解,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我 们探索问题和解决问题的信心。 引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法 推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

过程与 方法

情感、 态度、 价值观 教 学 内 容 分 析 教学 重点 教学 难点

教学过程
(一) 创设情景 ⑴教师提出问题:球既没有底面,也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平 面图形,那么怎样来求球的表面积与体积呢?引导学生进行思考。 ⑵教师设疑:球的大小是与球的半径有关,如何用球半径来表示球的体积和面 积?激发学生推导球的体积和面积公式。 (二) 探究新知 1.球的体积:(AB) 如果用一组等距离的平面去切割球,当距离很小之时得到很多“小圆片” , “小圆片” 的体积的体积之和正好是球的体积,由于“小圆片”近似于圆柱形状, 所以它的体积也近似于圆柱形状,所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积, 因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。 步骤:

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第一步:分割 如图: 把半球的垂直于底面的半径OA作 n 等分, 些等分点,用一组平行于底面的平面把半球切割成 n R 圆片”“小圆片”厚度近似为 ,底面是“小圆片” , n 面。 如图:

过 这 个 “小 的 底

R ?R 3 i ?1 2 ? [1 ? ( ) ]  ? 1、2 ? n) (i ? n n n 第二步:求和 (1 ? 1 )( 2 ? 1 ) n n V半球=v1 ? v2 ? v3 ? ? ? vn ? ?R 3[1 ? ] 6 第三步:化为准确的和
得 Vi ? ? ? r 2 i ? 当 n→∞时, 所以

4 ?R 3 3 练习:一种空心钢球的质量是 142g,外径是 5cm,求它的内径(钢的密度是

1? 2 2 V半球=?R 3 (1 ? ) ? ?R 3 6 3

1 n

→0

(同学们讨论得出)

得到定理:半径是R的球的体积

V球 ?

7.9g/cm3) 2.球的表面积: 球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径 R 的函数,由于球面是不可展 的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍 然用“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”方法推导。 思考:推导过程是以什么量作为等量变换的? 半径为 R 的球的表面积为S=4π R2 练习:长方体的一个顶点上三条棱长分别为 3、4、5,是它的八个顶点都在同一 球面上,则这个球的表面积是 。 (答案 50 元) (三) 典例分析(ABC) 课本 P47 例 4 和 P29 例 5 (四) 巩固深化、反馈矫正(AB) ⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为 ,表面积比 为 。 (答案: 3 3 : 1 ; 3 :1)

⑵在球心同侧有相距 9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为 49π cm2 和 400π cm2,求球的表面积。 (答案:2500π cm2) 分析:可画出球的轴截面,利用球的 (五) 课 截面性质求球的半径 堂 小 结

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本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导,以及利用公式解决相关的 球的问题,了解了推导中的“分割、求近似和,再由近似和转化为准确和”的解 题方法。

课 后 学 习

作业

P30

练习 1、3 ,B(1)

加强球体的体积表面积计算公式的应用。 教 学 反 思

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 6 课
本章复习







(1) 熟练运用圆柱、圆锥、圆台的表面积公式(ABC)

(2) 熟练运用圆柱、圆锥、圆台的体积公式(ABC)
利用数形结合的思想 通过学习,提高了空间思维能力和空间想象能力,增强了我们探 索问题和解决问题的信心。

教 学 内 容 分 析

公式的应用 公式的应用

教学过程
一、知识结构 结构 空间几何体 柱 锥 球 三视图和直观图 表面积和体积 二、新课 1、 课本 P391(1)(2)(ABC) 、 (3)(AB) 分析:设正方形边长为 a,扩大后的边长为 a` a`=a+na=(n+1)a 2、课本 P392、3(ABC) 3、课本 P40 三、小结
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表面积和体积公式

课 后 学 习

复习参考题 A 组 6、7

复习课在梳理知识,形成知识结构的基础上适当提升。
教 学 反 思

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教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 1









教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

§2.1.1 平面 (1)利用生活中的实物对平面进行描述;(ABC) (2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图;(ABC) (3)掌握平面的基本性质及作用;(AB) (4)培养学生的空间想象能力。(AB) (1)通过师生的共同讨论,使学生对平面有了感性认识; (2)让学生归纳整理本节所学知识。 使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间, 进而增强了学 习的兴趣。 1、平面的概念及表示; 2、平面的基本性质,注意他们的条件、结论、作用、图形语言 及符号语言 平面基本性质的掌握与运用

教学过程 一)实物引入、揭示课题 师:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等,都给我们以平面的 印象,你们能举出更多例子吗?引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时, 教师对学生的活动给予评价。 师:那么,平面的含义是什么呢?这就是我们这节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、平面含义(ABC) 师:以上实物都给我们以平面的印象,几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中 抽象出来的,但是,几何里的平面是无限延展的。 2、平面的画法及表示 师:在平面几何中,怎样画直线?(一学生上黑板画) 之后教师加以肯定,解说、类比,将知识迁移,得出平面的画法:水平放置的平面通 常画成一个平行四边形,锐角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图)
D α A B
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C

平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用表示平面的 平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示, 如平面 AC、 平面 ABCD 等。 如果几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应画成虚线或不 画(打出投影片)

β

β

α

α ·B

课本 P41 图 2.1-4 说明 平面内有无数个点,平面可以看成点的集合。 点 A 在平面α 内,记作:A∈α 点 B 在平面α 外,记作:B ? α

α

·A

2.1-4 3、平面的基本性质 教师引导学生思考教材 P41 的思考题,让学生充分发表自己的见解。 师:把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边,可以看到,直尺的整个边缘就落在了桌 面上,用事实引导学生归纳出以下公理 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内(ABC) (教师引导学生阅读教材 P42 前几行相关内容,并加以解析) 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α · L·B A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 师:生活中,我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等?? 引导学生归纳出公理 2 公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B α · C · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , · 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。(ABC) 教师用正(长)方形模型,让学生理解两个平面的交线的含义。 引导学生阅读 P42 的思考题,从而归纳出公理 3 公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β
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α

P

·

L

符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据(AB) 4、教材 P43 例 1 通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。 5、课堂练习:课本 P44 练习 1、2、3、4 6、课时小结: (师生互动,共同归纳) (1)本节课我们学习了哪些知识内容?(2)三个公理的内容及作用是什么? (1)复习本节课内容; (2)预习:同一平面内的两条直线有几种位置关系?

课 后 学 习

平面的含义及其表示都好理解,平面的基本性质中的公里 1、2 也比较好理 解,关键是公里 3 不好理解。本节课的难点是平面基本性质的运用。 教 学 反 思

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教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 2









教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 (1)了解空间中两条直线的位置关系(ABC); (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4;(ABC) (4)理解并掌握等角定理;(ABC) (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。(AB) (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性, 提高学生的学习兴 趣。 1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理 异面直线所成角的计算。

教学过程 (一)创设情景、导入课题 1、通过身边诸多实物,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2、师:那么,空间两条直线有多少种位置关系?(板书课题) (二)讲授新课 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系:(ABC) 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

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2、 (1)师:在同一平面内,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相 平行。在空间中,是否有类似的规律? 组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。(ABC) 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 例 2 的讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P47 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P47 的思考题 (投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C'、 ∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行, 这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。(AB) (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我 们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简 便,点 O 一般取在两直线中的一条上;

? 2
22

② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,

);

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥ b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P49 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 (四)课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? 1、判断题: (1)a∥b c⊥a => c⊥b ( ) (1)a⊥c b⊥c => a⊥b ( ) 2、填空题: 在正方体 ABCD-A'B'C'D'中,与 BD'成异面直线的有 ________ 条。

课 后 学 习

教 学 反 思

多用粉笔,笔,书本,教室中的线条等实物作为例子说明,直观,学生易理 解。

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教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析


知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

单元

第 3




平面与平面之间的位置关系





§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、

(1)了解空间中直线与平面的位置关系;(ABC) (2)了解空间中平面与平面的位置关系;(ABC) (3)培养学生的空间想象能力。(AB) (1) 学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; (2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。 让学生了解直线与平面,平面与平面的位置关系,提高学生的学 习兴趣。 空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系 用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。

教学过程 (一)创设情景、导入课题 教师以生活中的实例以及课本 P49 的思考题为载体,提出了:空间中直线与平面有多 少种位置关系?(板书课题) (二)研探新知 1、引导学生观察、思考身边的实物,从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置 关系:(ABC) (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

a α 例 4(投影)

a∩α =A

a∥α

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师生共同完成例 4 例 4 的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。 2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考,准确归纳出两个平面之间有 两种位置关系:(ABC) (1)两个平面平行 —— 没有公共点 (2)两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线 用类比的方法,学生很快地理解与掌握了新内容,这两种位置关系用图形表示为

α

L

β

α

β

α ∥β

α ∩β = L

教师指出:画两个相互平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边 平行。 教材 P51 探究 让学生独立思考,稍后教师作指导,加深学生对这两种位置关系的理解 教材 P51 练习(AB) 学生独立完成后教师检查、指导 (三)归纳整理、整体认识 教师引导学生归纳,整理本节课的知识脉络,提升他们掌握知识的层次。 课 后 学 习 1、让学生回去整理这三节课的内容,理清脉络。 2、教材 P52 习题 2.1 A 组第 5 题

教 学 反 思

用课件演示直观,加上多用实物演示,加深学生的理解,让学生养成利用现 有的物品如笔,书等,对结论进行验证的习惯。

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教 学 设 计 方 案 第
课题 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 4









§2.2.1 直线与平面平行的判定 (1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理(ABC); (2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力(AB) 学生通过观察图形,借助已有知识,掌握直线与平面平行的判定 定理。 (1)让学生在发现中学习,增强学习的积极性; (2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想 直线与平面平行的判定定理及应用 直线与平面平行的判定定理及应用

三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析

教学过程 一)创设情景、揭示课题 引导学生观察身边的实物, 如教材第 55 页观察题: 封面所在直线与桌面所在平面具有 什么样的位置关系?如何去确定这种关系呢?这就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 1、投影问题
a

直线 a 与平面α 平行吗?
α a

α

b

若α 内有直线 b 与 a 平行, 那么α 与 a 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面α 平行?

学生思考后,师生共同探讨,得出以下结论
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直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线 与此平面平行。(ABC) 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2、例 1 引导学生思考后,师生共同完成(AB) 该例是判定定理的应用,让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。 (三)自主学习、发展思维 练习:教材第 57 页 1、2 题 让学生独立完成,教师检查、指导、讲评。 (四)归纳整理 1、同学们在运用该判定定理时应注意什么? 2、在解决空间几何问题时,常将之转换为平面几何问题。

课 后 学 习

1、教材第 64 页 习题 2.2 A 组第 3 题; 2、预习:如何判定两个平面平行?

教 学 反 思

直线与平面平行的判定定理中的三个条件学生经常有遗漏,经常写不全,还 有,有线线平行得到面面平行好理解,但是操作时,有的学生很难从条件中 得到要证明的条件。

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教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 5









§2.2.2 平面与平面平行的判定 理解并掌握两平面平行的判定定理。(ABC) 让学生通过观察实物及模型,得出两平面平行的判定。 进一步培养学生空间问题平面化的思想

两个平面平行的判定。 判定定理、例题的证明。

教学过程 (一)创设情景、引入课题 引导学生观察、思考教材第 57 页的观察题,导入本节课所学主题。 (二)研探新知 1、问题: (1)平面β 内有一条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? (2)平面β 内有两条直线与平面α 平行,α 、β 平行吗? 通过长方体模型,引导学生观察、思考、交流,得出结论。 两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平 面平行。(ABC) 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α ,b∥α 教师指出:判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2、例 2 引导学生思考后,教师讲授。(AB)
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β ∥α

例子的给出,有利于学生掌握该定理的应用。 (三)自主学习、加深认识 练习:教材第 59 页 1、2、3 题。 学生先独立完成后,教师指导讲评。 (四)归纳整理、整体认识 1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件? 2、在本节课的学习过程中,还有哪些不明白的地方,请向老师提出。

课 后 学 习

第 65 页习题 2.2 A 组第 7 题。

教 学 反 思

面面平行通过线面平行来解决,线面平行通过线线平行来解决,所以归根到 底一定要掌握好线线平行的判断条件。

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教 学 设 计 方 案 第 二 单元 第 6 课 年 月 日

课题
三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

§2.2.3 直线与平面平行的性质 (1)掌握直线与平面平行的性质定理应用 ABC); (2)掌握直线与平面平行的性质定理的应用。(AB) 学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 直线与平面平行的性质定理 (1)性质定理的证明; (2)性质定理的正确运用

教学过程 (一)创设情景、引入新课 1、思考题:教材第 60 页,思考(1) (2) 学生思考、交流,得出 (1)一条直线与平面平行,并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行; (2)直线 a 与平面α 平行,过直线 a 的某一平面,若与平面α 相交,则直线 a 就平行 于这条交线。 在教师的启发下,师生共同完成 该结论的证明过程。 于是,得到直线与平面平行的性质定理。

定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行。(AB) 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b
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α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、例 3 培养学生思维,动手能力,激发学习兴趣。 例 4 性质定理的直接应用,它渗透着化归思想,教师应多做引导。 (三)自主学习、巩固知识 练习:课本第 63 页 学生独立完成,教师进行纠正。 (四)归纳整理、整体认识 1、通过对性质定理的学习,大家应注意些什么? 2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法? 课 后 学 习 课本第 65 页 习题 2.2 A 组第 6 题。

类比面面平行的判断来介绍面面平行的性质,学生较易理解。 教 学 反 思

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 7









§2.2.4 平面与平面平行的性质 (1)掌握平面与平面平行的性质定理应用 ABC); (2)掌握平面与平面平行的性质定理的应用。(AB) 学生通过观察与类比,借助实物模型理解性质及应用。 (1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力; (2)进一步体会类比的作用; (3)进一步渗透等价转化的思想。 平面与平面平行的性质定理 平面与平面平行的性质定理的应用

教学过程
(一)创设情景、引入新课 思考:如果两个平面平行,那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样 的位置关系? 学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。 再问:平面 AC 内哪些直线与 B'D'平行?怎么找? 在教师的启发下,师生 共同完成该结论及证明过程, 于是得到两个平面平行的性质定理。(ABC)

定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
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符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 教师指出:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 4、例 6 以讲授为主,引导学生共同完成,逐步培养学生应用定理解题的能力。 (三)自主学习、巩固知识 课本 67 练习 (四)小结 面面平行的性质定理 课 后 学 习 教 学 反 思 课后练习 1,2

让学生体会面面平行转化为线面平行,线面平行最终转化为线线 平行。

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教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 8









§2.3.1 直线与平面垂直的判定 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理;(ABC) (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法;(ABC) (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认 的基础上学会归纳、概括结论。(AB) 过程与 方法 (1)通过教学活动,使学生了解,感受直线和平面垂直的定义 的形成过程; (2)探究判定直线与平面垂直的方法。 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取 新知。 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

教 学 内 容 分 析

教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、 教师首先提出问题: 在现实生活中, 我们经常看到一些直线与平面垂直的现象, 例如: “旗杆与地面, 大桥的桥柱和水面等的位置关系” 你能举出一些类似的例子吗? , 然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。 2、 接着教师指出: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它 在地面上的射影的位置关系引出课题内容。 (二)研探新知(ABC) 1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知,可再借助长方
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体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来 思考问题:从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发,能否用一条 直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?并组织学生交流讨 论,概括其定义。 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1, 直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L p α 图 2-3-1 2、老师提出问题,让学生思考: (1) 问题: 虽然可以根据定义判定直线与平面垂直, 但这种方法实际上难以实施。 有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2) 师生活动: 请同学们准备一块三角形的纸片, 我们一起来做如图 2.3-2 试验: 过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、 DC 与桌面接触) ,问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所在平面垂直? A

图 2.3-2

B

D

C

(3) 归纳结论: 引导学生根据直观感知及已有经验 (两条相交直线确定一个平面) , 进行合情推理,获得判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 老师特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数 学思想。 (三)实际应用,巩固深化 (1)课本 P73 例 1 教学

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(2)课本 P74 练习 1(ABC)练习 3(AB) (四)归纳小结,课后思考 小结:采用师生对话形式,完成下列问题: ①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的 判定定理,体现的教学思想方法是什么? 课 后 学 习 ①课本 P74 练习 2 ②求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和 这条直线垂直。 思考题:如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和 这个平面垂直,这个结论对吗?为什么?

教 学 反 思

让学生正确理解线面垂直的定义,区分直线与平面内的“任意”直线垂直跟 直线与平面内的“无数”条直线垂直

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 9









§2.3.2 平面与平面垂直的判定 (1)使学生正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及 、 “直二面角”“两个平面互相垂直”的概念;(ABC) 、 (2) 使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (AB) (3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 (AB) 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 (1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程; (2)类比已学知识,归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂 直的判定定理。 通过揭示概念的形成、发展和应用过程,使学生理会教学存在于 观实生活周围, 从中激发学生积极思维, 培养学生的观察、 分析、 解决问题能力。 平面与平面垂直的判定 如何度量二面角的大小

教 学 内 容 分 析

教学 重点 教学 难点

教学过程
(一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角”“直线和平面所成的角”又是怎样 、 定义的?它们有什么共同的特征? 以上问题让学生自由发言,教师再作小结,并顺势抛出问题:在生产实践中,有 许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形,你能举出这个问题的一些例子吗?

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如修水坝、发射人造卫星等,而这样的角有何特点,该如何表示呢?下面我们共同来 观察,研探。 (二)研探新知 1、二面角的有关概念(ABC) 老师展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并 对以上问题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)

角 A 图形 顶点 定义 (半直线)所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB 所组成的图形 O 边 边 B A 梭 l B

二面角 β α 从空间一直线出发的两个半平面

从平面内一点出发的两条射线

半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是 指二面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小 实验(预先准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作 一射线(如图 2.3-3) ,通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面 角。 教师特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平 面的位置关系怎样?
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承上启下,引导学生观察,类比、自主探究, 获得两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)应用举例,强化所学 例题:课本 P.76 例 3

β

B

C

O

A α

图 2.3-3

做法:教师引导学生分析题意,先让学生自己动手推理证明,然后抽检学生掌握 情况,教师最后讲评并板书证明过程。 (四)运用反馈,深化巩固 问题:课本 P.77 的探究问题(AB) 做法:学生思考(或分组讨论) ,老师与学生对话完成。 (五)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关 系? 课 后 学 习 1、课后作业:自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成 的角与二两角的平面角互补。 2、课后思考问题:在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥ L”?为什么∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位置无关?

立体几何中涉及到的角有,异面直线所成角、二面角及线面所成
教 学 反 思

角,这三种角都不好理解,在课本的位置又是一笔带过,学生对 于求角掌握都不是很好。

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 10









§2、3.3 直线与平面垂直的性质 (1)使学生掌握直线与平面垂直的性质(ABC) (2)能运用性质定理解决一些简单问题;(AB) (3)了解直线与平面和性质定理间的相互联系。(AB) (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对 性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、 空间想象能力以及逻辑推理能力。 性质定理的证明及应用 性质定理的证明。

过程与 方法

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)创设情景,揭示课题 问题: 若一条直线与一个平面垂直, 则可得到什么结论?若两条直线与同一个平 面垂直呢? 让学生自由发言,教师不急于下结论,而是继续引导学生:欲知结论怎样,让 我们一起来观察、研探。 (自然进入课题内容) (二)研探新知 1、操作确认(ABC) 观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。如图 2.3—4,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱 AA1、BB1、CC1、DD1 所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间是有 什么位置关系?(显然互相平行)然后进一步迁移活动:已知直线 a⊥α 、b⊥α 、 那么直线 a、b 一定平行吗?(一定)我们能否证明这一事实的正确性呢?
D1 C1 a 40 b

B1 A
1

D C

α

A

图 2.3-4 2、推理证明(AB)

B

图 2.3-5

引导学生分析性质定理成立的条件,介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证 法,然后师生互动共同完成该推理过程 ,最后归纳得出: 垂直于同一个平面的两条直线平行。 (三)应用巩固 (1)课本探究(AB) (2)课本练习(ABC) (四)归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比性质定理,你发现判定定理与性质定理之间有何联系? 课 后 学 习

课本习题 2.3B 组 2、4

教 学 反 思

数行结合,加深理解。

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教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 11









§2、3.4 平面与平面垂直的性质 (1)使学生掌握平面与平面垂直的性质(ABC) (2)能运用性质定理解决一些简单问题;(AB) (3)了解平面与平面和性质定理间的相互联系。(AB) (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对 性质定理正确性的认识; (2)性质定理的推理论证。 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 通过“直观感知、操作确认,推理证明” ,培养学生空间概念、 空间想象能力以及逻辑推理能力。 性质定理的证明及应用 性质定理的证明。

过程与 方法

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)引入 类比上面定理:若在两个平面互相垂直的条件下,又会得出怎样的结论呢?例如:如 何在黑板面上画一条与地面垂直的直线? 引导学生观察教室相邻两面墙的交线,容易发现该交线与地面垂直,这时,只要 在黑板上画出一条与这交线平行的直线,则所画直线必与地面垂直。然后师生互动, 共同完成性质定理的确认与证明,并归纳性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。(ABC) (二)巩固深化、发展思维 思考 1、设平面α ⊥平面β ,点 P 在平面α 内,过点 P 作平面β 的垂线 a,直线 a 与平面α 具有什么位置关系? (答:直线 a 必在平面α 内) 思考 2、已知平面α 、β 和直线 a,若α ⊥β ,a⊥β ,a α ,则直线 a 与平面 α 具有什么位置关系?(AB)
42

(三)归纳小结,课后巩固 小结: (1)请归纳一下本节学习了什么性质定理,其内容各是什么? (2)类比两个性质定理,你发现它们之间有何联系? 课 后 学 习

课本习题 2.3A 组 5 B 组 3

面面垂直的性质定理重点是应用,其有两个主要作用,可以得到
教 学 反 思

线面垂直,另外,它也是给出了作垂线的方法,而这一点,学生 并不是很容易掌握的。

43

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 12


本章小结







过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

(1)使学生掌握知识结构与联系,进一步巩固、深化所学知识; (ABC) (2)通过对知识的梳理,提高学生的归纳知识和综合运用知识 的能力。(AB) 利用框图对本章知识进行系统的小结, 直观、 简明再现所学知识, 化抽象学习为直观学习,易于识记;同时凸现数学知识的发展和 联系。 学生通过知识的整合、梳理,理会空间点、线面间的位置关系及 其互相联系,进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。 各知识点间的网络关系; 在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转 化。

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)知识回顾,整体认识

1、本章知识回顾(ABC) (1)空间点、线、面间的位置关系; (2)直线、平面平行的判定及性质; (3)直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图(ABC)
平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

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直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系

(二)整合知识,发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石,是研究空间图形问题,进行 逻辑推理的基础。 公理 1——判定直线是否在平面内的依据; 公理 2——提供确定平面最基本的依据; 公理 3——判定两个平面交线位置的依据; 公理 4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法:化空间问题为平面问题; 3、空间平行、垂直之间的转化与联系:
直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

直线与直线垂直

直线与平面垂直

平面与平面垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段,两者相辅相成,缺一不可。 (三)应用举例,深化巩固 1、P.82 A 组第 1 题(ABC) 本题主要是公理 1、2 知识的巩固与应用。 2、P.82 A 组第 8 题(AB) 本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。

课 后 学 习

1、阅读本章知识内容,从中体会知识的发展过程,理会问题解决的思想方 法; 2、P.83 B 组第 2 题。

梳理知识点,帮助学生形成知识结构,总结归纳的较好。
教 学 反 思

45

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 1









直线的倾斜角和斜率(3.1.1)
(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念.(ABC) (2)理解直线的倾斜角的唯一性.(ABC) (3)理解直线的斜率的存在性.(AB) (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.(AB) 启发、引导、讨论 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关 系的揭示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力, 数学交流与评价能力. (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理 解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成 严谨的科学态度和求简的数学精神.

过程与 方法 情感、 态度、 价值观

教 学 内 容 分 析

教学 重点 教学 难点

直线的倾斜角、斜率的概念和公式 直线的倾斜角、斜率的概念和公式

教学过程
(一)直线的倾斜角的概念(ABC) 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位 置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, ?易见,答案是否定的.这 些直线有什么联系呢?

46

Y

a

b

c

O

P

X

(1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不 同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成 的角α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定α = 0°. ... 问: 倾斜角α 的取值范围是什么? 0°≤α <180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之 后, 我们就可以用倾斜角α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.
Y a b c

O

X

如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α 相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α 不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角α . .......... . (二)直线的斜率(ABC) 一条直线的倾斜角α (α ≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字 母 k 表示,也就是

k = tanα
⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.
47

例如, α =45°时, k = tan45°= 1; α =135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式(ABC) 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略)

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α = 90°, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、 2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但 P 分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α =0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾 斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)(ABC) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα <0 时, 倾斜角α 是钝角; 而当 k = tanα >0 时, 倾斜角α 是锐角; 而当 k = tanα =0 时, 倾斜角α 是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α 是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α 是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α 是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直线 a, b, c, l.(AB) 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐标可以 根据直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα =1 是特殊值,所以也可以以原点为角的顶 点,x 轴的正半轴为角的一边, 在 x 轴的上方作 45°的角, 再把所作的这一边反 向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y-0)/(x-0)
48

所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习:

P91

1. 2. 3. 4.

(六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 直线的斜率公式. 课 后 学 习 P94 习题 3.1 1. 3.

直线的倾斜角的概念比较好理解,就是概率的概念的引出感觉不
教 学 反 思

够自然,学生往往错认为不是每条直线都存在倾斜角,对于特殊直 线的斜率理解不够到位.

49

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 2









两条直线的平行与垂直(3.1.2)
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,(ABC)会运用条件判定 两直线是否平行或垂直.(AB) 通过探究两直线平行或垂直的条件, 培养学生运用已有知识解决 新问题的能力, 以及数形结合能力. 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究, 培养学生的成功意 识,合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣 两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵 活运用 启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究 两条直线的斜率的关系问题.

教学过程
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜 率来表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来 研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时, 两直线的 倾斜角都为 90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角 为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直(ABC) 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直 线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下 面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜 角相等:α 1=α 2.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tanα 1=tanα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tanα 1=tanα 2.
50

由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°, ∴α1=α 2. 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之, 如果它们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, ........ 结论并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°. 则 k1 ? ?
1 1 或k1 k 2 ? ?1 tan? 1 ? tan(90 0 ? ? 2 ) ? ? k2 tan? 1



tan? 1 ? tan(90 0 ? ? 2 ) ? ?

1 tan? 1

可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2. 结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之, ........ 如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即

注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). 例题 例1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明 你的结论.(ABC) 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
51

解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边 形 ABCD 的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行 四边形,再通过计算加以验证) 解同上.(AB) 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥ BC, 再通过计算加以验证.(图略) 课堂练习 P94 练习 1. 2. 课后小结 (1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. P94 课 后 学 习 习题 3.1 5. 8.

学生基本上可以判断直线平行和垂直的方法,主要的是学生对于
教 学 反 思

斜率不存在的情况,容易搞混。

52

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 3
3.2.1


直线的点斜式方程







过程与 方法

(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围; (ABC) (2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。(AB) (3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.(AB) 在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上 的一点和直线的倾斜角的基础上,通过师生探讨,得出直线的点 斜式方程;学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。 通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系, 进一 步培养学生数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相 互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题。 直线的点斜式方程和斜截式方程 直线的点斜式方程和斜截式方程的应用

教 学 内 容 分 析

情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

教学过程
(一) 问题导入:在直线坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件? 学生回顾,并回答。然后教师指出,直线的方程,就是直线上任意一点的坐标 ( x, y ) 满 足的关系式。(AB) (二)探究直线点斜式方程 直线 l 经过点 P0 ( x0 , y 0 ) , 且斜率为 k 。 设点 P( x, y ) 是直线 l 上的任意一点, 请建立 x, y 与 k , x0 , y 0 之间的关系。
y P P0

y ? y0 学生根据斜率公式,可以得到,当 x ? x0 时, k ? ,即 x ? x0
53

O

x

y ? y 0 ? k ( x ? x0 )

(1)(ABC)

教师对基础薄弱的学生给予关注、引导,使每个学生都能推导出这个方程。 思考:1、过点 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满足方程(1)吗?坐 标满足方程(1)的点都在经过 P0 ( x0 , y 0 ) ,斜率为 k 的直线 l 上吗? 学生验证,老师引导。然后教师指出方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫 做直线的点斜式方程,简称点斜式(point slope form).(AB) 2、 (1) x 轴所在直线的方程是什么? y 轴所在直线的方程是什么? (2)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程是什么? (3)经过点 P0 ( x0 , y 0 ) 且平行于 y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程是什么? 3、例 1 的教(ABC) 4、已知直线 l 的斜率为 k ,且与 y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的方程。 学生独立求出直线 l 的方程:

y ? kx ? b

(2)

再此基础上,教师给出截距的概念,引导学生分析方程(2)由哪两个条件确定, 让学生理解斜截式方程概念的内涵。 思考:你如何从直线方程的角度认识一次函数 y ? kx ? b ?一次函数中 k 和 b 的几何 意义是什么?你能说出一次函数 y ? 2 x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3 图象的特点吗? 5、例 2 的教学(AB) 6、课堂练习第 100 页练习第 1,2,3,4 题。 (三)课堂小结 (1)直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围(2)求一条直线的方程,要 知道的条件
布置作业:第 106 页第 1 题的(1)(2)(3)和第 3、5 题 、 、

课 后 学 习

学生对平行坐标轴的直线方程理解不好, 对求这类方程存在困难,
教 学 反 思

应多采用数行结合的方法讲解,学生较能介绍,加深理解。

54

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 4
3.2.2


直线的两点式方程







(1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围;(ABC) (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。(AB) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论, 并通过新 旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 直线方程两点式 两点式推导过程的理解

教学过程
(一)引入 1、利用点斜式解答如下问题:(ABC) (1)已知直线 l 经过两点 P (1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方程. 1 (2)已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y 2 ) 其中 ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,求通过这两点的直线方 1 程。 教师引导学生:根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?能不能把问题转 化为已经解决的问题呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜 率,然后求出直线的斜率,从而可求出直线方程: (1) y ? 2 ?

3 ( x ? 1) 2
y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

(2) y ? y1 ?

教师指出:当 y1 ? y 2 时,方程可以写成

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定,所以我们把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form).
55

2、已知两点 P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 中有 x1 ? x2 ,或 y1 ? y2 ,此时这两点的直线方程 1 当 x1 ? x 2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为: x ? x1 ;当 y1 ? y 2 时,直线与 y 轴 垂直,直线方程为: y ? y1 。(AB) (二)课堂练习 1、例 3 2、已知直线 l 与 x 轴的交点为 A (a,0) ,与 y 轴的交点为 B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 , 求直线 l 的方程。 求出直线方程:

x y ? ? 1 教师指出: a, b 的几何意义和截距式方程的概念。 a b

3、例 4 4、第 102 页第 1、2、3 题 (三)小结 直线方程的表达形式及之间的联系 课 后 学 习 课后练习 1,2

在求直线方程时,学生对直线方程的选择不熟悉,说明学生对各
教 学 反 思

种直线方程掌握得还不够透彻,选择适当的方程会对解决问题带 来很大的方便。

56

教 学 设 计 方 案 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力 3.2.3 直线的一般式方程

教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

(1)明确直线方程一般式的形式特征;(ABC) (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; (ABC) (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。(AB) 学会用分类讨论的思想方法解决问题 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 直线方程的一般式 对直线方程一般式的理解与应用

教学过程
(一) 引入 问题: (1)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表 示吗? (2)每一个关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不同时为 0)都表示 一条直线吗?(ABC) 教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题(1) ,即直线存在斜率和直线不存在斜 率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。对于问题(2) ,教师引导学生理解要判 断某一个方程是否表示一条直线,只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形 式。为此要对 B 分类讨论,即当 B ? 0 时和当 B=0 时两种情形进行变形。然后由学生 去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它都表示一条直线。 教师概括指出:由于任何一条直线都可以用一个关于 x, y 的二元一次方程表示;同 时,任何一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于 x, y 的二元一次方程 Ax ? By ? C ? 0(A,B 不同时为 0)叫做 直线的一般式方程,简称一般式(general (二)授课 form).

57

1、在方程 Ax ? By ? C ? 0 中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(AB) (1) 平行于 x 轴; (2)平行于 y 轴; (3)与 x 轴重合; (4)与 y 重合。 2、例 5 的教学: 已知直线经过点 A(6,-4) ,斜率为 ? 式方程。(ABC) 3、例 6 的教学: 把直线 l 的一般式方程 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式,求出直线 l 的斜 率以及它在 x 轴与 y 轴上的截距,并画出图形(ABC) 4、课堂练习 第 105 练习第 2 题和第 3(2) (三)小结 (1)请学生写出直线方程常见的几种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条件? (4)学习本节用到了哪些数学思想方法? 课 后 学 习

4 ,求直线的点斜式和一般 3

第 106 页习题 3.2 第 10 题和第 11 题。

本节课有两个重点,将直线方程写成一般式,将直线方程的一般式
教 学 反 思

写成截距式,这些学生还是可以掌握的,难点是,利用直线方程的一 般式的讨论直线所满足的条件。

58

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法



单元

第 5









3.3-1 两直线的交点坐标 1.直线和直线的交点 2.二元一次方程组的解 1.学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。 (ABC) 2.掌握数形结合的学习法。 (AB) 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过 定点的直线系方程。(AB) 1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之 间的内的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。 判断两直线是否相交,求交点坐标 判断两直线是否相交,求交点坐标

教 学 内 容 分 析

情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

教学过程
一. 情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置 关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的 解的关系, 那如果两直线相交于一点, 这一点与这两条直线的方程有何关系? 二. 讲授新课 1.分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系(ABC) 已知两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 代数表示

点A A(a,b) 直线 L L:Ax+By+C=0 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A 课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程 组有什关系?
59

学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方 程组有何关系? (1) 若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 (2) 若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 (3) 若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 2.例题讲解,规范表示,解决问题 例题 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0
?3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0

解:解方程组

得 x=-2,y=2 所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2) ,如图 3。3。1。
6

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达 是否简洁,然后才进行讲解。 同类练习:书本 110 页第 1,2 题。 例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0 (3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。 三. 启发拓展,灵活应用。 课堂设问一。当 ? ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形, 图形(AB) 有何特点?求出图形的交点坐标。
60

(1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察, 让学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过 同一点。 (2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3) 结论,方程表示经过这两条直线 L1 与 L1 的交点的直线的集合。 例 2 :已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点,求证 交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围.
a2 ?1 a ?1 解:解方程组若 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二 a ?1 a ?1

象限内. 又因为 a 为任意实数时,都有 a 2 ? 1 ? 1>0,故
a2 ?1 ≠0 a ?1
新疆

因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 ,得交点(-
王新敞
学案

a ?1 a2 ?1 , ) a ?1 a ?1

四. 小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化 为代数问题来解决,并能进行应用。

课 后 学 习

1.光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射, 求反射光线所在的直线方程。 2.求满足下列条件的直线方程。 经 过 两 直 线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的 交 点 , 且 和 直 线 3x-2y+4=0 垂直。

介绍两种方法判断两直线的位置关系,学生对利用方程的系数比
教 学 反 思

来判断的方法容易出错。

61

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 教 学 内 容 分 析 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 6









3.3.2 直线与直线之间的位置关系-两点间距离 掌握直角坐标系两点间距离,(ABC) 用坐标法证明简单的几何问题。(AB) 通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越 性 通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性

通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性 应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程
一、情境设置,导入新课 课堂设问一:回忆数轴上两点间的距离公式,同学们能否用以前所学的知识来解决以 下问题 平面直角坐标系中两点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足分别为
N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, ? 0

直线 P N1与P2 N 2 相交于点 Q。 1 在直角△ABC 中, P P2 ? PQ ? QP2 ,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线,垂 1 1
2 2 2

0 足为 M 1 ? x1, ? 过点 向 y 轴作垂线,垂足为 N 2 ? 0,y2 ?
PQ ? M 2 M 1 ? x2 ? x1 , 2 ? N1 N 2 ? y2 ? y1 QP 1
2 2 2 2 2 2

,于是有

所以, P P2 ? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1 1
2 2 2 2 2

由此得到两点间的距离公式

PP2 ? 1

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

(ABC)

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 二,例题解答,细心演算,规范表达。例 1 :以知点 A(-1,2) ,B(2, 7 ) ,在

62

x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 解:设所求点 P(x,0) ,于是有

PA 的值。

? x ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2



PA ? PB 得

x2 ? 2 x ? 5 ? x2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。

所以,所求点 P(1,0)且 两点间距离公式理解。应用。

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对

? 1 2+ 7? 解 法 二 : 由 已 知 得 , 线 段 AB 的 中 点 为 M ? , ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 ?2 2 ? ? ?

k=

7 2+ 7 -2 3 1? 7 -2 2 2 ? = ? ?x- ? PA= ? 1+2 +? ? 0-2? =2 2 3 2 2? 3 2- 7 ?

2+ 7 3 1? ? = ? ?x- ? 线段 AB 的垂直平分线的方程是 y2 2? 2- 7 ?

在上述式子中,令 y=0,解得 x=1。 所以所求点 P 的坐标为(1,0) 。因此

PA= ? 1+2 +0-2 =22 ? ? ?
2 2

同步练习:书本 112 页第 1,2 题 三. 巩固反思,灵活应用。 (用两点间距离公式来证明几何问题。 ) 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。(AB) 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代 数运算“翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决,让学生深刻体会数形之间的关系和转化,并从中归纳 出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直 角坐标系,有A(0,0) 。 设B(a,0) ,D(b,c) ,由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c) , 因为
AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC
2 2 2 2

2, 2 AC ? ? a ? b ? +c BD =?b-a? +c 2






所以, AB +CD +AD +BC =2a+b+c ? ?2 2 2
2 2 2 2

AC +BD =2a+b+c ? 所以, ?2 2 2
2 2

63

AB +CD +AD +BC =AC +BD













因此,平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下: 第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。 第二步:进行有关代数运算。 第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法? 还可用综合几何的方法证明这道题。 课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决 几何问题,建立直角坐标系的重要性。

课 后 学 习

1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3. (1994 全国高考)点(0,5)到直线 y=2x 的距离是

教 学 反 思

通过两点间距离公式的推导,使学生对公式加深理解,但还是重在应

用。

64

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 7









3.3.3 两条直线的位置关系―点到直线的距离公式 1、理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距 离公式;?(ABC)? 2、会用点到直线距离公式求解两平行线距离(ABC) 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题
新疆

教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

王新敞
学案

点到直线的距离公式 点到直线距离公式的理解与应用

教学过程
一、情境设置,导入新课: 前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线 的夹角公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法 研究几何问题的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接 求点 P 到直线 l 的距离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直 线的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。 要求学生思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导? 两条直线方程如下:
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

二、讲解新课: 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y 0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题(AB) 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ,直线=0 或 B=0 时,
Ax0 ? By 0 ? C
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A2 ? B 2

65

以上公式 l : Ax ? By ? C ? 0 , 怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离 呢? 学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的 垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一 个自己熟悉的问题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q, 由 PQ y B 斜 式 ⊥ l 可知,直线 PQ 的斜率为 (A≠0) ,根据点 R P(x0,y0) A d 写出直线 PQ 的方程, 并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐 Q 标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点 P o x 到直线 l 的距离为 d S l 此方法虽思路自然, 但运算较繁.下面我们 探 讨 别一种方法
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新疆

王新敞
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方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交

l 于点 R( x1 , y 0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y 2 ) ,
? A1 x1 ? By 0 ? C ? 0 ? By0 ? C ? Ax0 ? C 由? 得 x1 ? . , y2 ? A B ? Ax 0 ? By 2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax 0 ? By 0 ? C A

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax 0 ? By 0 ? C B
A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: AB
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|RS|= PR 2 ? PS 2 ?

d ·|RS|=|PR|·|PS|
所以 d ?
Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2
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可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。(ABC)
王新敞
学案

66

解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 3 ?0
2 2

?

5 3

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。(AB) 解:设 AB 边上的高为 h,则 1 S ?ABC = AB ? h 2

AB ?

?3 ?1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为 y ? 3 X ?1 ? 1 ? 3 3 ?1 即 x+y-4=0。 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h h=
?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2

1 5 因此, S ?ABC = ? 2 2 ? ?5 2 2

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步 体会用代数运算解决几何问题的优越性。 同步练习:114 页第 1,2 题。 4.拓展延伸,评价反思。 (1) 应用推导两平行线间的距离公式(AB0 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,
l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
C1 ? C 2
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A2 ? B 2

证 明 : 设 P0 ( x0 , y0 ) 是 直 线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上 任 一 点 , 则 点 P0 到 直 线
Ax ? By ? C1 ? 0 的距离为 d ?
Ax0 ? By 0 ? C1
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A ?B
2

2

又 Ax0 ? By0 ? C 2 ? 0 即 Ax0 ? By0 ? ?C 2 ,∴d=
2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离.
C1 ? C 2
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A2 ? B 2

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解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥ l 2
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例 3 求两平行线 l1 :2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,l 2 : 所以点 P 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距离. , 于是 d ?
2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 2 ?3
2 2

?

2 13

?

2 13 13

解法二: l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . 由两平行线间的距离公式得 d ?
? 8 ? (?10 ) 2 2 ? 32 ? 2 3 13

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四、课堂练习: 1, 已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直 线过点(2,3) ,求该直线方程。 五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行 线的距离转化为点到直线的距离公式
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新疆

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学案

课 后 学 习

13.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 14.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值: 15.已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,
l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
C1 ? C 2
新疆

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学案

A ?B
2

2

本节课的难点是两点距离公式的推导,两种方法体现出两种重要的思想,主 要的给学生分析解题过程,运算过程不需要掌握。 教 学 反 思

68

教 学 设 计 方 案 第
课题 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 1









4.1.1 圆的标准方程 1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 (ABC) 2、会用待定系数法求圆的标准方程。(AB) 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力, 渗透数形结合 思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生 观察问题、发现问题和解决问题的能力。 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习 数学的热情和兴趣. 圆的标准方程 会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程

教 学 内 容 分 析

教学过程 (一)情境设置: 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形, 确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一 个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程 又有什么特征呢? 探索研究: (二)、探索研究:(AB) 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为 A(a,b),半径为 r。 (其中 a、 b、r 都是常数,r>0)设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导 学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件
( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r

① ②

化简可得: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

69

6

4

A
2

M

-5

5

-2

-4

引导学生自己证明 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 为圆的方程,得出结论。 方程②就是圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 (三)、知识应用与解题研究 例 (1) 写出圆心为 A(2, ?3) 半径长等于 5 的圆的方程, : 并判断点 M 1 (5, ?7), M 2 (? 5, ?1) 是否在这个圆上。(ABC) 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法: (1) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 (2) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 (3) ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 例 (2) △ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1), B(7, ?3), C (2, ?8), 求它的外接圆的方程(AB) : 师生共同分析:从圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 可知,要确定圆的标准

方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为 C 的圆 l : x ? y ? 1 ? 0 经过点 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,且圆心在 l : x ? y ? 1 ? 0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为 C 的圆经过点 所以圆心 C 在险段 AB 的垂直平 A(1,1) 和 B(2, ?2) ,由于圆心 C 与 A,B 两点的距离相等, 分线 m 上, 又圆心 C 在直线 l 上, 因此圆心 C 是直线 l 与直线 m 的交点, 半径长等于 CA 或 CB 。 (教师板书解题过程。 )

70

4

l
2

A

-5

5

m

-2

C

B

-4

-6

总结归纳: (教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2) 、例(3)可得出 ? ABC 外接圆 的标准方程的两种求法: ①、 根据题设条件,列出关于 a、b、r 的方程组,解方程组得到 a、b、r 得值,写出 圆的标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的 标准方程. 练习:课本 p127 第 1、3、4 题 提炼小结: 1、圆的标准方程。 2、点与圆的位置关系的判断方法。 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法

课 后 学 习

课本 p130 习题 4.1 第 2、3、4 题

教 学 反 思

根据条件求圆的标准方程, 学生掌握得比较好, 有部分学生是因为基础不好, 知道方法却解决不了问题。

71

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标



单元

第 2









4.1.2 圆的一般方程
知识与(1) (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般 能力 方程的代数特征, 由圆的一般方程确定圆的圆心半径. 掌 2 2 握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件.(ABC) (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方 程.用待定系数法求圆的方程。(AB) 通过对方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养 学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的整体 素质,激励学生创新,勇于探索。 圆的一般方程的代数特征, 一般方程与标准方程间的互化 根据已知条件确定方程中的系数,D、E、F. 对圆的一般方程的认识、掌握和运用
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教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

王新敞
学案

教学过程
(一)课题引入: 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦,得用直线的知识解决又有其简单的局限 性,那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程 的另一种形式——圆的一般方程。 (二)探索研究:(ABC) 请同学们写出圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理: x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a 2 ? b 2 ? r 2 得
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0



72

这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的方程, 它表示的曲线一定是圆吗? 把 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配方得
D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x ? ) ? ( y ? ) ? 2 2 4

② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是

表示圆? (1)当 D2+E2-4F>0 时,方程② 表示(1)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示以(E 1 )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为半径的圆; 2 2 D , 2

(2)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ? 点(D E ,- ); 2 2

D E , y ? ? ,即只表示一个 2 2

(3)当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
新疆

新疆

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王新敞
学案

只 有 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时 , 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 , 我 们 把 形 如
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2
新疆

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学案

我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数, 圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显, 圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (三)知识应用与解题研究: 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及 半径。(AB)

73

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆 的一般方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 来说,这 里的
9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4 例 2:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长 和圆心坐标。(ABC) 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系 数,而条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
新疆

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解:设所求的圆的方程为: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ∵ A(0, 0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入 上面的方程,可以得到关于 D, E , F 的三元一次方程组,
?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?

解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0

新疆

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∴所求圆的方程为: x 2 ? y 2 ? 8 x ? 6 y ? 0
r?

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1 D F D 2 ? E 2 ? 4 F ? 5 ; ? ? 4,? ? ?3 2 2 2 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方
新疆

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程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足
2

的条件,求出点 M 的轨迹方程。 解 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点

A

的 坐 标 是

3 ? x0 , y0 ? .由于点B的坐标是 ? 4,? 且M是线段AB的重点,所以
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?

因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ,即
2 2

74

? x0 ? 1? ? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4

2



把①代入②,得
p130

? 2 x ? 4 ? 1?

2

? ? 2 y ? 3?

2

3? ? 3? ? ? 4, 整理,得 ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?

2

2

?3 3? 所以,点M的轨迹是以 ? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

(四)课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 (五)小结 : 1.对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
新疆 新疆

王新敞
学案

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

课 后 学 习

p130 习题 4.1 第 2、3、6 题

75

教 学 反 思

圆的一般方程的特点,学生容易忽略条件,求圆的方程时,用哪种方 程的形式求,学生还是掌握得不够熟练.

76

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 3
4.2.1


直线与圆的位置关系(1)







(1)理解直线与圆的位置的种类;(ABC) (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线 的距离;(ABC) (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.(AB)

过程与 方法

设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆 的半径为 r ,圆心 (?
D E , ? ) 到直线的距离为 d ,则判别直线与 2 2

圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交; 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的位置关系,培养学 生数形结合的思想. 直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法 用坐标法判直线与圆的位置关系

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)引入 问题:初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类?我们怎样判断直线与圆 的位置关系呢?如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢? 教师引导学生回忆、 举例, 并对学生活动进行评价; 学生回顾知识点时, 可互相交流. 并 引导学生自己总结解题的方法. (二)讲授新课 1、判断直线与圆的位置关系的方法(ABC) (1)几何法 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切;
77

当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交 (2) 判别式法 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相切; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相交 2、例 1(见课本 P138)(ABC) 3、课本练习 P140 2、3、4


5、课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过直线与圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么?

课 后 学 习

习题 4.2A 组:1、3.

通过课件直观形象的展示直线与圆的位置关系问题,再通过定量
教 学 反 思

的计算判断直线与圆的位置关系,效果较好。

78

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 4
4.2.1









直线与圆的位置关系(2)

(1)理解直线与圆的位置的种类;(ABC) (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线 的距离;(ABC)

教 学 内 容 分 析

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

(3)直线与圆的相交弦的求法.(AB) 判别直线与圆的位置关系的几何法和判别式法 让学生通过观察图形,培养学生数形结合的思想.

直线与圆的相交弦的求法 直线与圆的相交弦的求法

教学过程
一、复习 1、判断直线与圆的位置关系的方法(ABC) (1)几何法 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交 (3) 判别式法 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相切; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相交 二、新课 1、求直线 l :3x-y-6=0 被圆 C:x2+y2+6x-4=0 解得的弦 AB 的长 2、例 4(见课本 P138)(AB) 引导并启发学生探索直线与圆的相交弦的求法. 通过分析、抽象、归纳,得出相交弦长的运算方法 3、变式练习:已知圆 C 与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且被直线 y=x 解得的

79

弦长为 2 7 ,求圆 C 的方程 三、小结 直线与圆的相交弦的求法 课 后 学 习

习题 4.2A 组 6、9

直线与圆的相交弦问题,只要求弦的长度及求圆的半径问题,注
教 学 反 思

意让学生掌握构造直角三角形来解决问题。

80

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 5
4.2.2


圆与圆的位置关系







(1)理解圆与圆的位置的种类;(ABC) (2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线 长;(AB) (3)会用连心线长判断两圆的位置关系.(ABC)

过程与 方法

设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下 几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

教 学 内 容 分 析

情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

让学生通过观察图形,理解并掌握圆与圆的位置关系,培养学生 数形结合的思想 判断圆与圆的位置关系 判断圆与圆的位置关系

教学过程
(一)引入 问题: 初中学过的平面几何中, 圆与圆的位置关系有几类?判断两圆的位置关系, 你有什么好的方法吗? 教师引导学生回忆、 举例, 并对学生活动进行评价; 学生回顾知识点时, 可互相交流. 并 引导学生自己总结解题的方法. (二)讲授新课
81

1、判断圆与圆的位置关系的方法(ABC) (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交; (4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含; 2、例 3(见课本 P140)(ABC) 2、课本 P141 练习 3、问题:求圆 C1:x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2:x2+y2-4x-4y-2=0 的公共弦所在的 直线方程。(AB) x2+y2+2x+8y-8=0 ①

x2+y2-4x-4y-2=0 ② ①-②得 x+2y-1=0 思考:如何求公共弦长? 4、小结 教师提出下列问题让学生思考: (1)通过两个圆的位置关系的判断,你学到了什么? (2)判断两个圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何利用两个圆的相交弦来判断它们的位置关系? 课 后 学 习 习题 4.2A 组:4、7.

课本对利用两个圆的相交弦来判断两个圆的位置关系没有介绍,
教 学 反 思

我们可以根据实际情况对这种方法进行取舍。

82

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 6









直线与圆的方程的应用 (1)理解直线与圆的位置关系的几何性质;(ABC) (2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;(AB) (3)会用“数形结合”的数学思想解决问题.(AB) 过程与 方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问 题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论. 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 让学生通过观察图形,理解并掌握直线与圆的方程的应用, 培养学生分析问题与解决问题的能力. 直线与圆的方程的应用 直线与圆的方程的应用

教 学 内 容 分 析

教学过程
一、复习 直线与圆的位置关系 (1)几何法 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; 当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交 (4) 判别式法 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相离; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相切; 当 ? ? 0 时,直线 l 与圆 C 相交 二、新课 1、阅读并思考教科书上的例 4,你将选择什么方法解决例 4 的问题?(AB) 分析例 4 并展示解题过程, 启发学生利用坐标法求, 注意给学生留有总结思考的时间.
83

2、用坐标法解决例 5(见课本)(AB) 引导学生建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题. 3、课本练习 三、小结 (1)利用“坐标法”解决问题的需要准备什么工作? (2)如何建立直角坐标系,才能易于解决平面几何问题? (3)你认为学好“坐标法”解决问题的关键是什么? (4)建立不同的平面直角坐标系,对解决问题有什么直接的影响呢? 课 后 学 习

习题 4.2B 组 1、2

利用直角坐标系法解决平面几何问题,对于本校的学生来说是个
教 学 反 思

难的知识点,这部分内容可以对学生降低要求。

84

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 7









4.3.1 空间直角坐标系 (1) 理解空间直角坐标系的概念(AB) (2) 会建立空间直角坐标系及求点的坐标(ABC) 使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中 点的坐标表示。 使学生深刻感受空间直角坐标系的建立的背景以及理解空间中 点的坐标表示。 通过数轴与数,平面直角坐标系与一对有序实数,引申出建立空 间直角坐标系的必要性 空间直角坐标系中点的坐标表示 空间直角坐标系中点的坐标表示

教 学 内 容 分 析

教学过程
(一)引入 问题:我们知道数轴上的任意一点 M 都可用对应一个实数 x 表示,建立了平面直角坐 标系后,平面上任意一点 M 都可用对应一对有序实数 ( x, y ) 表示。那么假设我们建立 一个空间直角坐标系时,空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组 ? x, y, z ? 表示出 z 来呢? (二)讲授新课 1、如何建立空间直角坐标系?(ABC) 引导学生看图, 单位正方体 OABC ? D' A' B' C' ,让学生认识该空间 直角坐标系 O— xyz 中,什么是坐标原点,坐标轴以及 坐标平面。 该空间直角坐标系我们称为右手直角坐标系 2、建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点 M 如何 用坐标表示呢?(AB)
x D' A' O A B B' C y

C'

R M O P Q M' y

点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别

x 是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标, 点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表

85

示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横 坐标, y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖坐标。
3、例 1 例 2(课本 P147)(ABC)

4、练习 1、2、3(课本 P148) 4、小结
今天通过这堂课的学习,你能有什么收获?

课 后 学 习

习题 4.1A 组 1、2

空间直角坐标系的概念实际并不好理解,本节课的重点是教会学
教 学 反 思

生建系和求点的坐标。

86

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点



单元

第 8









4.3.2 空间两点间的距离公式 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式(AB)

通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式

使学生深刻感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的 联系与区别 两点间距离公式的应用 利用公式解决空间几何问题

教 学 内 容 分 析

教学过程
一、复习 1、右手直角坐标系 2、空间点的坐标的特点 二、新课 1、设 P 的坐标是(x,y,z),求|OP| P`(x,y,0), ∴ | OP |? x 2 ? y 2 ? z 2 2、空间两点 P1(x1,y1,z1),2P2(x2,y2,z2),求 |P1P2| M(x1,y1,0),N(x2,y2,z2) ∴ | MN |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ∴ | P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2
z x z

P O P
`

y

P2 H

P1
y

3、课本 P150 练习 1、2、3(ABC) 4、课本 P150 练习 4(AB) 三、小结
87

M

N

空间两点间的距离公式及其与平面两点间距离公式的联系和区别 课 后 学 习

习题 4.3B 组 1、3

学生的空间想象能力较差,所以这部分内容掌握得不好,降低要
教 学 反 思

求, 让学生至少会判断空间中的点位于哪个相限或在哪个坐标轴。

88

教 学 设 计 方 案 第 四 单元 第 9 课 年 月 日

课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力

本章复习

(1)熟悉圆的方程及判断直线与圆的位置的方法(ABC)
(2)会用待定系数法求圆的方程(ABC) (3)会解决对称性的问题(AB) 进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力, 渗透数形结合 思想,通过圆的标准方程解决实际问题的学习,注意培养学生 观察问题、发现问题和解决问题的能力。 通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习 数学的热情和兴趣. 会用待定系数法求圆的方程 会用待定系数法求圆的方程

过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点

教 学 内 容 分 析

教学过程
一、知识结构 1、圆的方程:标准方程和一般方程 2、直线与圆、圆与圆的位置关系 3、直线与圆的方程的简单应用:坐标法 二、讲授新课 1、求下列圆的方程(ABC) (1)圆心为点 M(-5,3),且过点 A(-8,-1) (2)过三点 A(-2,4)、B(-1,3) 、C( 2,6 ) 2、已知圆 x2+y2=4 和圆 x2+y2+4x-4y+4=0 关于直线 l 对称,求直线 l 的方程 分析:直线 l 是圆心连线的垂直平分线(ABC) 变式练习 求与圆(x+2)2+(y-6)2=1 关于直线 3x-4y+5=0 对称的圆的方程(AB) 分析:关键求出圆心,已知半径为 1,利用直线是圆心连线的垂直平分线。 三、小结 解决对称问题的方法

89

课 后 学 习

复习参考题 A 组 5、8

教 学 反 思

学生对圆的方程有关知识掌握不好, 本节对这部分知识进行梳理, 帮助学生形成知识结构,加深理解,巩固知识,效果较好。

90

教 学 设 计 方 案 第 课题
三 维 教 学 目 标 知识与 能力



单元

第 10


本章复习







(1) 熟悉直线方程的五种形式(ABC) (2) 会求直线方程(ABC)

(3) 会判断直线的位置关系(AB)
过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 教学 难点 2.判断两直线位置的方法。 2.掌握数形结合的学习法。 1.通过直线方程和二元一次方程的联系,从而认识事物之间的 内的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。 求直线方程,判断直线的位置关系 判断直线的位置关系

教 学 内 容 分 析

教学过程
一、知识结构 1、直线方程的形式 2、判断直线的位置关系 3、两点间距离、点到直线的距离、两条平行线的距离 二、新课 (一)基础练习(ABC) 1、经过两点 A(4 , 2m+1),B(2,-3)的直线倾斜角为 1350,则 m 的值为( ) A、- 1 B、 -3 C、 1 D、2 2、菱形 ABCD 的相对顶点 A(1,-2)、C(-2,-3),则对角线 BD 所在直线的方程是 ( ) A 、3x+y+4=0 B、3x+y-4=0 C、 3x-y+1=0 D、3x-y-1=0 3、若直线 l1 : ax ? (1 ? a) y ? 3与直线l 2 : (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 互相垂直,则 a 的值为 ( )A o 或 ?
3 2

B 1

C 1 或-3

D -3

(二)典型例题 1、求过点(1,-4)且与直线 2x+3y+5=0 平行的直线方程(ABC) 求过两直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点,且垂直于直线 x+3y+4=0 的直线方程

91

2、已知 A(1,2)、B(3,4)、C(5,0),求△ABC 的面积(AB C)

3、正方形的中心在(-1,0) ,一条所在直线方程为 x+3y-5=0,求其他三条边所在 的直线方程(AB) 三、小结 与 Ax+By+C=0 平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0 垂直的直线方程可设为 Bx-Ay+n=0 课 后 学 习 教 学 反 思

复习参考题 A 组 11、12

梳理知识点,形成知识结构,在此基础上适当做练习巩固知识, 再设计层次高点的练习,进行提升。

92


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