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2015-2016学年河南师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年河南师大附中高二(下)期末数学试卷(理科)
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意) 1. (5 分) (2014?潍坊模拟) 已知 R 是实数集, M={x| <1}, N={y|y= ( ) A. (1,2) B.[0,2] +1}, N∩?RM=

C.

?

D.[1,2] 的共轭复数等于( )

2. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)复数 A.i B.﹣i C. +i D . ﹣i

3. (5 分) (2016?洛阳一模)若命题 ,则下列命题为真命题的是( A.p∨q B.p∧q C. (¬p)∨q D. (¬p)∧(¬q)
2

,命题 )

4. (5 分) (2013?宝山区校级模拟)设 X~N(500,60 ) ,P(X≤440)=0.16,则 P(X≥ 560)=( ) A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64 5. (5 分) (2016 春?河南校级期末)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足: 2 2 “f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.那么,下列命题总成立的是( ) 2 A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 2 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k 成立 2 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8,均有 f(k)≥k 成立 2 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4,均有 f(k)≥k 成立 2 2 6. (5 分) (2015?聊城一模)“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的( ) A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 7. (5 分) (2011?新课标) 由曲线 y= ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( ) A. B.4 C. D.6
100

8. (5 分) (2015 秋?孝感期末)数 80 除以 9 所得余数是( ) A.0 B.8 C.﹣1 D.1 9. (5 分) (2015?广西模拟)两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品, 乙加工了 60 个, 其中有 50 个合格, 令 A 事件为”从 100 个产品中任意取一个, 取出的是合格品”, B 事件为”从 100 个产品中任意取一个, 取到甲生产的产品”, 则P (A|B) 等于( ) A. B. C. D.

10. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)已知 f(x)为 R 上的可导函数,且对? x∈R,均有 f (x)>f′(x) ,则有( ) 2016 2016 A.e f(﹣2016)<f(0) ,f(2016)<e f(0) 2016 2016 B.e f(﹣2016)>f(0) ,f(2016)>e f(0)

C.e f(﹣2016)<f(0) ,f(2016)>e f(0) 2016 2016 D.e f(﹣2016)>f(0) ,f(2016)<e f(0) 11. (5 分) (2016 春?河南校级期末)现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色 卡片各 3 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不 同的取法种数是( ) A.135 B.172 C.189 D.162 12. (5 分) (2016 春?河南校级期末)已知定义域为 R 的函数 g(x) ,当 x∈(﹣1,1]时, ,且 g(x+2)=g(x)对? x∈R 恒成立,若函数 f(x)=g

2016

2016

g(x)=

(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是( A. ( , ) B. (﹣∞, ]∪( ,+∞) C.[ , )



D.[ , ]

二.填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2013 秋?新余期末)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学 生情况,具体数据如下表: 非统计专业 统计专业 性别 专业 13 10 男 7 20 女 为了判断主修统计专业是否与性别有关系, 根据表中的数据, 所以判定主修统计专业与性别 有关系,那么这种判断出错的可能性为 . (x =
2



14. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)若函数 f(x)=1+

+sinx 在区间[﹣k,k](k>0)

上的值域为[m,n],则 m+n 的值是 . 15. (5 分) (2016 春?河南校级期末)已知函数 f(x)的导数为 f'(x) ,且满足关系式 f(x) =x ?
3

,则 f'(2)的值等于
3 2



16. (5 分) (2016?江苏模拟)如图,三次函数 y=ax +bx +cx+d 的零点为﹣1,1,2,则该函 数的单调减区间为 .

三.解答题(共 5 小题)

17. (12 分) (2016 春?唐山校级期末)已知命题 p:方程 2x +ax﹣a =0 在[﹣1,1]上有解; 2 命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值 范围. 18. (12 分) (2010?渝水区校级模拟)有一种舞台灯, 外形是正六棱柱, 在其每一个侧面 (编 号为①②③④⑤⑥)上安装 5 只颜色各异的灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5.若 一个侧面上至少有 3 只灯发光,则不需要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个 面需要 100 元,用 ξ 表示更换费用. (1)求①号面需要更换的概率; (2)求 6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率; (3)写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 19. (12 分) (2016?河北区三模)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别 是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2) 是否存在一点 D, 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. ?若存在,

2

2

20. (12 分) (2010?武汉校级模拟)已知抛物线 C:

与直线 l:y=kx﹣1 没有公共点,

设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明:
x



21. (12 分) (2013?怀化一模)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (3) 在 (2) 的条件下, 证明: .

请考生从给出的 22、23、24 三题中任选一题作答[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?丰城市校级二模)如图,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB,交圆于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于 点 C,连续 PB 交圆 O 于点 D,若 MC=BC. (1)求证:△APM∽△ABP; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

[选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. (2016?淮南二模)已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参

数) . (Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2015?吉林校级四模)设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t ﹣3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取值范围. 倍,得到

2015-2016 学年河南师大附中高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意) 1. (5 分) (2014?潍坊模拟) 已知 R 是实数集, M={x| <1}, N={y|y= +1}, N∩?RM=

( ) A. (1,2) B.[0,2] C.? D.[1,2] 【分析】先化简两个集合 M、N 到最简形式求出 M,N,依照补集的定义求出 CRM,再按 照交集的定义求出 N∩CRM. 【解答】解:∵M={x| <1}={x|x<0,或 x>2},N={y|y= +1}={y|y≥1},

CRM={x|0≤x≤2}, 故有 N∩CRM={y|y≥1}∩{x|0≤x≤2} =[1,+∞)∩[0,2] =[1,2], 故选 D. 【点评】本题考查函数的值域求法,不等式的解法,以及求集合的补集和交集的方法.

2. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)复数 A.i B.﹣i C. +i D . ﹣i

的共轭复数等于(



【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 求. 【解答】解: 则复数 = 的共轭复数等于:﹣i. ,

,则复数

的共轭复数可

故选:B. 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3. (5 分) (2016?洛阳一模)若命题 ,则下列命题为真命题的是( A.p∨q B.p∧q C. (¬p)∨q D. (¬p)∧(¬q) )

,命题

【分析】关于命题 p:由 x>0,可得 的真假.关于命题 q,使用配方法可得 【解答】解:关于命题 p:∵x>0,∴ 关于命题 q,使用配方法可得

≥2,

≥log22=1,即可判断出命题 p ,即可判断出命题 q 的真假.

≥2,∴

≥log22=1,因此为真命题. ,故为假命题,

综上可知,只有:p∨q 为真命题, 故选:A. 【点评】本题考查了命题的逻辑运算、基本不等式、对数运算、二次函数的单调性,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 4. (5 分) (2013?宝山区校级模拟)设 X~N(500,60 ) ,P(X≤440)=0.16,则 P(X≥ 560)=( ) A.0.16 B.0.32 C.0.84 D.0.64 【分析】利用正态分布的对称性即可得出. 【解答】解:∵μ=500,σ =60 ,即 σ=60. 根据正态分布的对称性 P(X≥μ﹣3σ)=P(X≤μ﹣3σ)=0.16. 故选 A. 【点评】正确理解正态分布的对称性是解题的关键. 5. (5 分) (2016 春?河南校级期末)设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足: 2 2 “f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.那么,下列命题总成立的是( ) 2 A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 2 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k 成立 2 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8,均有 f(k)≥k 成立 2 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4,均有 f(k)≥k 成立 2 2 【分析】由题意对于定义域内任意的 k,若 f(k)≥k 成立,则 f(k+1)≥(k+1) 成立 的含义是对前一个数成立,则能推出后一个数成立,反之不成立. 【解答】解:对 A,当 k=1 或 2 时,不一定有 f(k)≥k 成立; 2 对 B,只能得出:对于任意的 k≥5,均有 f(k)≥k 成立,不能得出:任意的 k≤5,均有 2 f(k)≤k 成立; 对于 C,若 f(7)<49 成立不能推出任何结论; 2 对 D,∵f(4)=25≥16,∴对于任意的 k≥4,均有 f(k)≥k 成立. 故选 D 【点评】本题主要考查了命题的真假判断与应用,本题体现的是一种递推关系,同时考查了 推理能力,属于基础题. 6. (5 分) (2015?聊城一模)“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的( A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线和圆相切的位置关系进行判断即可. 2 2 【解答】解:若直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切,
2 2 2 2 2 2



则圆心(a,b)到直线的距离 d=



即|a﹣b+2|=2, 即 a﹣b+2=2 或 a﹣b+2=﹣2, 则 a﹣b=0 或 a﹣b﹣4=0, 2 2 则 a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的充分不必要条件, 故选:C 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据直线和圆的位置关系是解决本题的 关键. 7. (5 分) (2011?新课标) 由曲线 y= A. B.4 C. D.6 ,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为( )

【分析】 利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键, 要确定出曲线 y= , 直线 y=x ﹣2 的交点,确定出积分区间和被积函数,利用导数和积分的关系完成本题的求解. 【解答】解:联立方程 因此曲线 y= S= 得到两曲线的交点(4,2) ,

,直线 y=x﹣2 及 y 轴所围成的图形的面积为: .故选 C.

【点评】本题考查曲边图形面积的计算问题,考查学生分析问题解决问题的能力和意识,考 查学生的转化与化归能力和运算能力, 考查学生对定积分与导数的联系的认识, 求定积分关 键要找准被积函数的原函数,属于定积分的简单应用问题. 8. (5 分) (2015 秋?孝感期末)数 80 除以 9 所得余数是( ) A.0 B.8 C.﹣1 D.1 100 100 0 100 1 99 99 【分析】利用二项式定理展开 80 =(81﹣1) =C100 81 ﹣C100 81 +…﹣C100 81+1, 即可得出. 100 100 0 100 1 99 99 【解答】解:因为 80 =(81﹣1) =C100 81 ﹣C100 81 +…﹣C100 81+1. 显然展开式中出最后一项不含 81,其余各项都能被 81 整除,
100

所以 80 除以 9 所得余数是为 1. 故选:D. 【点评】本题考查了二项式定理的应用和整除的方法,属于基础题. 9. (5 分) (2015?广西模拟)两位工人加工同一种零件共 100 个,甲加工了 40 个,其中 35 个是合格品, 乙加工了 60 个, 其中有 50 个合格, 令 A 事件为”从 100 个产品中任意取一个, 取出的是合格品”, B 事件为”从 100 个产品中任意取一个, 取到甲生产的产品”, 则P (A|B) 等于( ) A. B. C. D.

100

【分析】P(A|B)表示在从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品的条件下,取出 的是合格品的概率,则可求 P(A|B) . 【解答】解:由题意,P(A|B)表示在从 100 个产品中任意取一个,取到甲生产的产品的 条件下,取出的是合格品的概率,则 P(A|B)= = .

故选:C. 【点评】本题考查概率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 10. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)已知 f(x)为 R 上的可导函数,且对? x∈R,均有 f (x)>f′(x) ,则有( ) A.e f(﹣2016)<f(0) ,f(2016)<e f(0) 2016 2016 B.e f(﹣2016)>f(0) ,f(2016)>e f(0) 2016 2016 C.e f(﹣2016)<f(0) ,f(2016)>e f(0) 2016 2016 D.e f(﹣2016)>f(0) ,f(2016)<e f(0) 【分析】根据题目给出的条件:“f(x)为 R 上的可导函数,且对? x∈R,均有 f(x)>f' (x)”,结合给出的四个选项,设想寻找一个辅助函数令 g(x)= ,这样有以 e 为底
2016 2016

数的幂出现,求出函数 g(x)的导函数,由已知得该导函数大于 0,得出函数 g(x)为减 函数,利用函数的单调性即可得到结论 【解答】解:令 g(x)= ,则 g′(x)= ,

因为 f(x)>f'(x) ,所以 g′(x)<0,所以函数 g(x)为 R 上的减函数, 所以 g(﹣2016)>g(0)>g(2016) 即 > > ,

所以 f(0)<

=e

2016

f(﹣2016) ,e

2016

f(0)>f(2016) ,

故选:D. 【点评】本题考查了导数的运算,由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式,属逆向思 维,属中档题.

11. (5 分) (2016 春?河南校级期末)现有 12 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色 卡片各 3 张,从中任取 3 张,要求这 3 张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多 1 张,不 同的取法种数是( ) A.135 B.172 C.189 D.162 【分析】用间接法分析,先求出“从 12 张卡片中任取 3 张”的情况数目,再分析计算其中“同 一种颜色”以及“有 2 张红色”的情况数目, 用“从 12 张卡片中任取 3 张”的情况数目减去“同一 种颜色”以及“有 2 张红色”的情况数目即可得答案. 【解答】解:根据题意,不考虑限制条件,从 12 张卡片中任取 3 张有 C12 种情况, 3 其中如果取出的 3 张为同一种颜色,有 4C3 种情况, 2 1 如果取出的 3 张有 2 张红色的卡片,有 C3 C9 种情况, 3 3 2 1 则满足条件的取法有 C12 ﹣4C3 ﹣C3 C9 =189 种; 故选:C. 【点评】本题考查排列、组合的应用,解题时注意利用排除法分析,即先不考虑限制条件, 求出全部的情况数目,再分析排出其中不符合条件的情况数目. 12. (5 分) (2016 春?河南校级期末)已知定义域为 R 的函数 g(x) ,当 x∈(﹣1,1]时, ,且 g(x+2)=g(x)对? x∈R 恒成立,若函数 f(x)=g
3

g(x)=

(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是( A. ( , ) B. (﹣∞, ]∪( ,+∞) C.[ , )



D.[ , ]

【分析】若函数 f(x)=g(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个零点,则 y=g(x)与 y=m(x+1)的图象在区间[﹣1,5]内有 6 个交点.画出函数的图象,数形结合可得答案. 【解答】解:∵g(x+2)=g(x)对? x∈R 恒成立, ∴函数 g(x)的周期为 2.

又∵当 x∈(﹣1,1]时,g(x)=



∴函数 g(x)的图象如下图所示: 令函数 f(x)=g(x)﹣m(x+1)=0, 则 g(x)=m(x+1) , 若函数 f(x)=g(x)﹣m(x+1)在区间[﹣1,5]内有 6 个零点, 则 y=g(x)与 y=m(x+1)的图象在区间[﹣1,5]内有 6 个交点. ∵y=m(x+1)恒过点(﹣1,0) , 过(﹣1,0) , (4,2)点的直线斜率为 , 过(﹣1,0) , (2,2)点的直线斜率为 , 根据图象可得:x∈( , ) ,

故选:A.

【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,函数的零点,数形结合思想,难度中档. 二.填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2013 秋?新余期末)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学 生情况,具体数据如下表: 非统计专业 统计专业 性别 专业 13 10 男 7 20 女 为了判断主修统计专业是否与性别有关系, 根据表中的数据, 所以判定主修统计专业与性别 有关系,那么这种判断出错的可能性为 5% . (x =
2 2



【分析】直接利用公式求出 x 的值,然后比较求出的值与临界值表中数据的关系就能得出 统计结论. 【解答】解:设 a=13,b=10,c=7,d=20. 则 a+b=23,c+d=27,a+c=20,b+d=30. ad=260,bc=70. 所以 x =
2

≈4.844.

因为 4.844>3.841. 所以,有 95%的把握认为“主修统计专业与性别之间有关系”, 所以判断出错的可能性为 5%. 故答案为:5%. 2 【点评】本题考查了独立性检验知识,解答的关键是求 x 的值,另外,应该记住临界值表 中几个常用的数据,此题是基础题.

14. (5 分) (2016 春?唐山校级期末)若函数 f(x)=1+ 上的值域为[m,n],则 m+n 的值是 4 . 【分析】构造奇函数 g(x)=

+sinx 在区间[﹣k,k](k>0)

+sinx﹣1,由于奇函数图象的对称性,得到函数值域的

对称,再对应研究函数 f(x)的值域,得到本题结论. 【解答】解:设 g(x)= +sinx﹣1,

∴g(﹣x)=

=



∴g(﹣x)+g(x)=

+sinx﹣1+

=0,

∴g(﹣x)=﹣g(x) . ∴函数 g(x)在奇函数, 则 f(x)=g(x)+2, 即 g(x)=f(x)﹣2, ∵f(x)在区间[﹣k,k](k>0)上的值域为[m,n], ∴当 f(x)取得最大值 n 时,g(x)也取得最大值 g(x)max=n﹣2, f(x)取得最小值 m 时,g(x)也取得最小值 g(x)min=m﹣2, ∵函数 g(x)的图象关于原点对称, ∴函数 g(x)在区间[﹣k,k](k>0)上的最大值和最小值互为相反数, 即 g(x)max+g(x)min=n﹣2+m﹣2=0, 即 m+n=4. 故答案为:4 【点评】本题考查了奇函数的对称性和值域,根据构造奇函数,利用奇函数在对称区间上最 值互为相反数建立方程进行求解是解决本题的关键. 15. (5 分) (2016 春?河南校级期末)已知函数 f(x)的导数为 f'(x) ,且满足关系式 f(x) =x ?
3

,则 f'(2)的值等于 ﹣9 .

【分析】先根据定积分的计算化简 f(x) ,再求导,求出 f′(1)的值,继而求出 f'(2) 【解答】解:f(x)=x ? +3x, 2 ∴f'(x)=6x +2xf′(1)+3, ∴f'(1)=6+2f′(1)+3, ∴f'(1)=﹣9, ∴f'(2)=24﹣36+3=﹣9, 故答案为:﹣9
3

=x ? x |

3

2

+x f′(1)+3x=2x +x f′(1)

2

3

2

【点评】本题考查了导数的运算和定积分的计算,属于基础题. 16. (5 分) (2016?江苏模拟)如图,三次函数 y=ax +bx +cx+d 的零点为﹣1,1,2,则该函 数的单调减区间为 .
3 2

【分析】根据函数 y=ax +bx +cx+d 的零点为﹣1,1,2,建立函数关系式,从而求出函数 y 的解析式,最后解不等式 y′(x)<0 即可求出函数的单调减区间. 3 2 【解答】解:∵函数 y=ax +bx +cx+d 的零点为﹣1,1,2,如图, 得 y=a(x+1) (x﹣1) (x﹣2) ,且 a>0, y=a(x ﹣2x ﹣x+2) ,y'(x)=a(3x ﹣4x﹣1)=3a(x﹣ 令 y′≤0 得 x∈ 则该函数的单调减区间为 故答案为: . .
3 2 2

3

2

) (x﹣

) ,

【点评】 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及利用导数研究函数的极值 和单调性等基础题知识,考查运算求解能力,属于基础题. 三.解答题(共 5 小题) 2 2 17. (12 分) (2016 春?唐山校级期末)已知命题 p:方程 2x +ax﹣a =0 在[﹣1,1]上有解; 2 命题 q:只有一个实数 x0 满足不等式 x0 +2ax+2a≤0,若命题“p∨q”是假命题,求 a 的取值 范围. 【分析】首先求出命题 p 与 q 的等价命题,再根据命题“p∨q”是假命题求解即可. 【解答】解:由 2x +ax﹣a =0,得(2x﹣a) (x+a)=0,∴x= 或 x=﹣a, ∴当命题 p 为真命题时,| |≤1 或|﹣a|≤1,∴|a|≤2.即 p?﹣2≤a≤2 又“只有一个实数 x0 满足不等式 x
2 2 2

+2ax0+2a≤0”,

即抛物线 y=x +2ax+2a 与 x 轴只有一个交点, 2 ∴△=4a ﹣8a=0,∴a=0 或 a=2. 即 q?a=0 或 a=2. ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2 或 a<﹣2. 即 a 的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) .

【点评】本题借助命题考查才一元二次方程的区间根问题,属于基础题. 18. (12 分) (2010?渝水区校级模拟)有一种舞台灯, 外形是正六棱柱, 在其每一个侧面 (编 号为①②③④⑤⑥)上安装 5 只颜色各异的灯,假若每只灯正常发光的概率为 0.5.若 一个侧面上至少有 3 只灯发光,则不需要更换这个面,否则需要更换这个面,假定更换一个 面需要 100 元,用 ξ 表示更换费用. (1)求①号面需要更换的概率; (2)求 6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率; (3)写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 【分析】 (1)根据所给的条件可以判断本题是一个独立重复试验,由题意知①号面不需要 更换的对立事件是①号面需要更换,根据对立事件的概率得到结果. (2)由题意知本题满足独立重复试验,根据独立重复试验,得到 6 个面中恰好有 2 个面需 要更换的概率. (3)由题意知本题的变量符合二项分布,结合二项分布的概率公式得到分布列和期望,用 公式来解比用一般的方法要简单得多. 【解答】解: (1)由题意知①号面不需要更换的对立事件是①号面需要更换, ∵①号面不需要更换的概率为 ∴①号面需要更换的概率为 . ,

(2)根据独立重复试验,6 个面中恰好有 2 个面需要更换的概率为 . (3)∵ξ~ ,















, ∴维修一次的费用 ξ 的分布为:

∵ξ~ ∴

, 元.

【点评】本题考查运用概率知识解决实际问题的能力,注意满足独立重复试验的条件,解题 过程中判断概率的类型是难点也是重点,这种题目高考必考,应注意解题的格式. 19. (12 分) (2016?河北区三模)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AA1=AB=AC=1,E,F 分别 是 CC1、BC 的中点,AE⊥ A1B1,D 为棱 A1B1 上的点. (1)证明:DF⊥AE; (2) 是否存在一点 D, 使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. ?若存在,

【分析】 (1)先证明 AB⊥AC,然后以 A 为原点建立空间直角坐标系 A﹣xyz,则能写出各 点坐标,由 与 共线可得 D(λ,0,1) ,所以 ? =0,即 DF⊥AE;

(2)通过计算,面 DEF 的法向量为 可写成 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) ,又面 ABC 的法向 量 =(0,0,1) ,令|cos< , >|= ,解出 λ 的值即可.

【解答】 (1)证明:∵AE⊥A1B1,A1B1∥AB,∴AE⊥AB, 又∵AA1⊥AB,AA1⊥∩AE=A,∴AB⊥面 A1ACC1, 又∵AC? 面 A1ACC1,∴AB⊥AC, 以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, 则有 A(0,0,0) ,E(0,1, ) ,F( , ,0) ,A1(0,0,1) ,B1(1,0,1) , 设 D(x,y,z) , 则 D(λ,0,1) ,所以 ∵ =(0,1, ) ,∴ =( ? = 且 λ∈[0,1],即(x,y,z﹣1)=λ(1,0,0) , , ,﹣1) , =0,所以 DF⊥AE; .

(2)结论:存在一点 D,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 理由如下:

设面 DEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则





=(

, , ) ,

=(

,﹣1) ,



,即



令 z=2(1﹣λ) ,则 =(3,1+2λ,2(1﹣λ) ) . 由题可知面 ABC 的法向量 =(0,0,1) , ∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为 ∴|cos< , >|= = ,即 ,

=



解得



(舍) ,所以当 D 为 A1B1 中点时满足要求.

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用,建立空间直角坐标系 是解决问题的关键,属中档题.

20. (12 分) (2010?武汉校级模拟)已知抛物线 C:

与直线 l:y=kx﹣1 没有公共点,

设点 P 为直线 l 上的动点,过 P 作抛物线 C 的两条切线,A,B 为切点. (1)证明:直线 AB 恒过定点 Q; (2)若点 P 与(1)中的定点 Q 的连线交抛物线 C 于 M,N 两点,证明: .

【分析】 (1)先设出切点坐标 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用导数的几何意义求以 A、B 为切点的切线方程,再设出 P(x0,kx0﹣1) ,代入两条切线方程,得 kx0﹣1=x0x1﹣y1.kx0 ﹣1=x0x2﹣y2.故直线 AB 的方程为 kx0﹣1=x0x﹣y,过定点(k,1)

(2)先写出直线 PQ 的方程 y=

(x﹣k)+1,代入抛物线方程

,得关于 x

的一元二次方程, 为利用韦达定理准备条件, 再设 M (x3, y3) , N (x4, y4) , 要证

=



只需证明 x3+x4 和 x3x4 代入即可得证

,即 2x3x4﹣(k+x0) (x3+x4)+2kx0=0,最后利用韦达定理将

【解答】解: (1)设 A(x1,y1) ,则 y1= 由 得 y′=x,所以 .



于是抛物线 C 在 A 点处的切线方程为 y﹣y1=x1(x﹣x1) ,即 y=x1x﹣y1. 设 P(x0,kx0﹣1) ,则有 kx0﹣1=x0x1﹣y1.设 B(x2,y2) ,同理有 kx0﹣1=x0x2﹣y2. 所以 AB 的方程为 kx0﹣1=x0x﹣y,即 x0(x﹣k)﹣(y﹣1)=0,所以直线 AB 恒过定点 Q (k,1) . (2)PQ 的方程为 y= (x﹣k)+1,与抛物线方程 联立,消去 y,得

x﹣

2

x+

=0,

设 M(x3,y3) ,N(x4,y4) ,则 x3+x4=

,x3x4=



要证

=

,只需证明

,即 2x3x4﹣(k+x0) (x3+x4)+2kx0=0②

由①知,②式 左边= ﹣(x+x0) +2kx0

=

=0.

故②式成立,从而结论成立. 【点评】本题考察了抛物线的切线方程,直线与抛物线相交的性质,解题时要特别注意韦达 定理在解题时的重要运用,还要有较强的运算推理能力 21. (12 分) (2013?怀化一模)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值;
x

(3) 在 (2) 的条件下, 证明:



【分析】 (1)求导函数,确定函数的单调性,从而可得 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且为 最小值; (2)f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0.由(1) ,构造函数 g (a)=a﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0,确定函数的单调性,即可求得实数 a 的值; (3)由(2)知,对任意实数 x 均有 e ﹣x﹣1≥0,即 1+x≤e ,令
x x

(n∈N ,k=0,

*

1,2,3,…,n﹣1) ,可得 此即可证得结论.

,从而有

,由

【解答】 (1)解:由题意 a>0,f′(x)=e ﹣a, x 由 f′(x)=e ﹣a=0 得 x=lna. 当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)<0;当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增. 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值,且为最小值,其最小值为 f(lna)=e ﹣alna﹣1=a﹣alna ﹣1. (5 分) (2)解:f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,即在 x∈R 上,f(x)min≥0. 由(1) ,设 g(a)=a﹣alna﹣1,所以 g(a)≥0. 由 g′(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna=0 得 a=1. ∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,而 g(1)=0. 因此 g(a)≥0 的解为 a=1,∴a=1. (9 分) (3)证明:由(2)知,对任意实数 x 均有 e ﹣x﹣1≥0,即 1+x≤e . 令 (n∈N ,k=0,1,2,3,…,n﹣1) ,则
* x x lna

x



∴ ∴



=

. (14 分)

【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,同时考查 不等式的证明,解题的关键是正确求导数,确定函数的单调性. 请考生从给出的 22、23、24 三题中任选一题作答[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?丰城市校级二模)如图,已知圆 O 外有一点 P,作圆 O 的切线 PM,M 为切点,过 PM 的中点 N,作割线 NAB,交圆于 A、B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于 点 C,连续 PB 交圆 O 于点 D,若 MC=BC. (1)求证:△APM∽△ABP;

(2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形.

【分析】 (I)由切割线定理,及 N 是 PM 的中点,可得 PN =NA?NB,进而

2

=

,结合

∠PNA=∠BNP, 可得△PNA∽△BNP, 则∠APN=∠PBN, 即∠APM=∠PBA; 再由 MC=BC, 可得∠MAC=∠BAC,再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB,进而得到△APM∽△ABP (II)由∠ACD=∠PBN,可得∠PCD=∠CPM,即 PM∥CD;由△APM∽△ABP,PM 是圆 O 的切线,可证得∠MCP=∠DPC,即 MC∥PD;再由平行四边形的判定定理得到四边形 PMCD 是平行四边形. 【解答】证明: (Ⅰ)∵PM 是圆 O 的切线,NAB 是圆 O 的割线,N 是 PM 的中点, ∴MN =PN =NA?NB, ∴ = ,
2 2

又∵∠PNA=∠BNP, ∴△PNA∽△BNP, ∴∠APN=∠PBN,即∠APM=∠PBA, . ∵MC=BC, ∴∠MAC=∠BAC, ∴∠MAP=∠PAB, ∴△APM∽△ABP…(5 分) (Ⅱ)∵∠ACD=∠PBN, ∴∠ACD=∠PBN=∠APN,即∠PCD=∠CPM, ∴PM∥CD. ∵△APM∽△ABP, ∴∠PMA=∠BPA ∵PM 是圆 O 的切线, ∴∠PMA=∠MCP, ∴∠PMA=∠BPA=∠MCP,即∠MCP=∠DPC, ∴MC∥PD, ∴四边形 PMCD 是平行四边形.…(10 分) 【点评】本题考查的知识点是切割线定理,圆周角定理,三角形相似的判定与性质,平行四 边形的判定,熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键. [选修 4-4:坐标系与参数方程]

23. (2016?淮南二模)已知直线 l:

(t 为参数) ,曲线 C1:

(θ 为参

数) . (Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到

曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 【分析】 (I)将直线 l 中的 x 与 y 代入到直线 C1 中,即可得到交点坐标,然后利用两点间 的距离公式即可求出|AB|. (II)将直线的参数方程化为普通方程,曲线 C2 任意点 P 的坐标,利用点到直线的距离公 式 P 到直线的距离 d, 分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化 为一个角的正弦函数,与分母约分化简后,根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值,进 而得到距离 d 的最小值即可. 2 2 【解答】解: (I)l 的普通方程为 y= (x﹣1) ,C1 的普通方程为 x +y =1, 联立方程组 ,解得交点坐标为 A(1,0) ,B( ,﹣ )

所以|AB|=

=1;

(II)曲线 C2:

(θ 为参数) .

设所求的点为 P( cosθ,

sinθ) ,

则 P 到直线 l 的距离 d= 当 sin( )=﹣1 时,d 取得最小值

= .

[

sin(

)+2]

【点评】 此题考查了直线与圆的位置关系, 涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的 互化,点到直线的距离公式,两角和与差的正弦函数公式,正弦函数的定义域与值域,以及 特殊角的三角函数值,根据曲线 C2 的参数方程设出所求 P 的坐标,根据点到直线的距离公 式表示出 d,进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2015?吉林校级四模)设函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|. (1)求不等式 f(x)≥3 的解集; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥t ﹣3t 在[0,1]上无解,求实数 t 的取值范围.

【分析】 (1)通过对 x 范围的分类讨论,去掉绝对值符号,可得 f(x)

=

,再解不等式 f(x)≥3 即可求得其解集;

(2)当 x∈[0,1]时,易求 f(x)max=﹣1,从而解不等式 t ﹣3t>﹣1 即可求得实数 t 的取 值范围.

2

【解答】解: (1)∵f(x)=



∴原不等式转化为







解得:x≥6 或﹣2≤x≤﹣ 或 x<﹣2, ∴原不等式的解集为: (﹣∞,﹣ ]∪[6,+∞) ; (2)只要 f(x)max<t ﹣3t, 由(1)知,当 x∈[0,1]时,f(x)max=﹣1, 2 ∴t ﹣3t>﹣1, 解得:t> 或 t< . )∪( ,+∞) .
2

∴实数 t 的取值范围为(﹣∞,

【点评】 本题考查绝对值不等式的解法, 通过对 x 范围的分类讨论, 去掉绝对值符号是关键, 考查转化思想与运算求解能力,属于中档题.


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