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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第10章 第3节 二项式定理


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第三节

二项式定理

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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1.二项式定理 - - 0 r (1)(a+b)n=__________________________________ C n an+C 1 an 1b+?+C n an rbr+?+ n ____________. Cnbn(n∈N*) n Cr an-rbr n (2)第r+1项,Tr+1=____________. Cr (3)第r+1项的二项式系数为______. n 2.二项式系数的性质 k k n-k Cn=Cn-k n (1)0≤k≤n时,Cn与Cn 的关系是____________.

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(2)二项式系数先增后减中间项最大且 n 为偶数时第

n n +1 项的二项式系数最大,最大值为 C n ;当 2 2 n+1 n+3 n 为奇数时,第 项和 项的二项式系数最大, 2 2 n-1 n+1 C 2 n或C 2 n 最大值为._________________
0 1 2 n 2n (3)各二项式系数和:C n +C n +C n +?+C n =____, 0 2 4 1 3 5 2n-1 Cn+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=______.

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1.在公式中,交换a,b的顺序对各项是否有影响?

【提示】 从整体看,(a+b)n 与(b+a)n 相同,但 具体到某一项是不同的,如(a+b)n 的第 k+1 项 Tk+1 =Ck an-kbk,(b+a)n 的第 k+1 项 T′k+1=Ck bn-kak. n n
2.如何区分二项式系数与各项的系数?

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【提示】 二项式系数与项的系数是完全不同的 两个概念.二项式系数是指 C0 ,C1 ,?,Cn,它只与 n n n 各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系数是 指该项中除变量外的部分,它不仅与各项的二项式系 数有关,而且也与 a,b 的值有关.
菜 单

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1.(人教A版教材习题改编)(1+x)6的展开式中,二项式 系数最大的项是( A.20x3 ) B.15x2 C.15x4 D.X6

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【解析】 二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数 最大, ∴T4=C3x3=20x3. 6

【答案】

A

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2.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+?+a1x+a0,则a7+a6+?

+a1的值为(
A.1

)
B.129 C.128 D.127

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【解析】

令x=1得a0+a1+?+a7=128.

令x=0得a0=(-1)7=-1,∴a1+a2+a3+?+a7=129.
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【答案】

B
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16 3.(2012· 广东高考)(x + ) 的展开式中 x3 的系数 x 为________.(用数字作答)
2

【解析】 设第 r+1 项为含 x3 的项, 则 Tr+1=Cr x2(6-r)x-r=Cr x12-3r, 6 6 令 12-3r=3,得 r=3, ∴x3 的系数为 C3=20. 6
【答案】 20

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4.(2012·陕西高考)(a+x)5 展开式中x2 的系数为10,则

实数a的值为________.
【解析】
r r

(a+x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C r a5- 5

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x. 当r=2时,由题意知C2a3=10,∴a3=1,∴a=1. 5

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【答案】

1
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1 n 已知在( x- ) 的展开式中,第6项为常数项. 3 2 x (1)求含x2的项的系数; (2)求展开式中所有的有理项.
【思路点拨】 项. (1)写出通项Tr+1 ,先求n,再求含x2 的

3

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项的系数.(2)寻找使x的指数为整数的r值,从而确定有理

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1 n 【尝试解答】 (1)( x- ) 的展开式的通项为 3 2 x n-r 1 r 1 r n-2r r r r Tr+1=Cnx 3 (- ) x- =Cn(- ) x 3 . 2 3 2 因为第6项为常数项, n-2r 所以r=5时,有 =0,即n=10. 3 n-2r 1 1 令 =2,得r= (n-6)= ×(10-6)=2, 3 2 2 1 2 45 2 2 ∴含x 的项的系数为C10(- ) = . 2 4

3

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10-2r (2)根据通项公式,由题意 ∈Z,且0≤r≤10. 3 10-2r 3 令 =k(k∈Z),则10-2r=3k,即r=5- k. 3 2 ∵r∈N,∴k应为偶数. ∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8. 所以第3项,第6项和第9项为有理项,它们分别为 12 2 15 1 8 -2 2 5 8 C10(- ) x ,C10(- ) ,C10(- ) x . 2 2 2

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1.解此类问题可以分两步完成:第一步是根据所给出 的条件(特定项)和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要

注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,
且n≥r);第二步是根据所求的指数,再求所求解的项. 2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合 并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整

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数,再根据数的整除性来求解.

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(1)(2012· 浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+ a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中a0,a1, a2,?,a5为实数,则a3=________. a 6 (2)设二项式(x- ) (a>0)的展开式中x3的系数为A, x 常数项为B,若B=4A,则a的值是________.

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【解析】 (1)f(x)=x5=(1+x-1)5, - 它的通项为Tr+1=Cr (1+x)5 r·(-1)r, 5 T3=C2(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,∴a3=10. 5

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a 6 3 r r (2)(x- ) 展开式的通项Tr+1=(-a) C6x6- r, 2 x ∴A=(-a)2C2,B=(-a)4C4, 6 6 4 2 由B=4A,得(-a)4C6=4(-a)2C6,解之得a=± 2. 又a>0,所以a=2.

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【答案】

(1)10

(2)2

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(1)(2013· 梅州模拟)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+ anxn,若 a1+a2+?+an=63,则展开式中系数最大的项是 ( ) A.15x2 B.20x3 C.21x3 D.35x3 1n (2)(2012· 大纲全国卷)若(x+ ) 的展开式中第 3 项与第 x 1 7 项的二项式系数相等, 则该展开式中 2的系数为________. x

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【思路点拨】 (1)先赋值求a0及各项系数和,进而求 得n值,再运用二项式系数性质与通项公式求解.(2)根据 1 2 6 二项式系数性质,由Cn=Cn,确定n的值,求出 2的系数. x

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【尝试解答】 (1)∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+?+ anxn, 令x=0,得a0=1. 令x=1,则(1+1)n=a0+a1+a2+?+an=64,∴n= 6, 又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大, 3 ∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=C6x3=20x3.

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(2)由题意知,C2 =C6 ,∴n=8. n n 1r r 8-r ∴Tr+1=C8·x ·(x) =Cr ·x8-2r, 8 当8-2r=-2时,r=5, 1 5 ∴ 2的系数为C8=C3=56. 8 x

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【答案】

(1)B

(2)56
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1.第(1)题求解的关键在于赋值,求出a0与n的值;第 3 (2)小题在求解过程中,常因把n的等量关系表示为C n = 7 Cn,而求错n的值. 2.求解这类问题要注意:(1)区别二项式系数与展开 式中项的系数,灵活利用二项式系数的性质.(2)根据题目 特征,恰当赋特殊值代换.对于展开式中的系数和、隔项 系数和、系数的绝对值和等问题,通常运用赋值法进行构 造(构造出目标式).赋值时要注意根据目标式进行灵活的 选择,常见的赋值方法是使字母因式的值为1,-1或目标 式的值.

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(2013· 中 山 质 检 ) 设 (x - 1)21 = a0 + a1x + a2x2 + ? +
a21x21,则 (1)a10 + a11 = ________ ; (2)a1 + a2 + ? + a21 = ________.
r 【解析】 (1)由二项展开式知Tr+1=C21x21-r(-1)r, ∴a10+a11=C 11 (-1)11+C 10 (-1)10=-C 11 +C 10 =- 21 21 21 21 C10+C10=0. 21 21 (2)令x=0,得a0=-1, 令x=1得a0+a1+a2+?+a21=0, 所以a1+a2+?+a21=1.

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【答案】
菜 单

(1)0

(2)1

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(2012·湖北高考)设a∈Z,且0≤a<13,若512 被13整除,则a=( )

012 +a能

A.0

B.1

C.11

D.12

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【思路点拨】
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注意到52能被13整除,化51为52-1,

从而运用二项式定理展开512012,由条件求a的值.
【尝试解答】 512 012+a=(52-1)2 012+a 0 =C 2 012 ·522 012-C 1 012 ·522 011+?+C 2 011 ×52·(- 2 2 012 1)2 011+C2 012·(-1)2 012+a, 2 012 0 ∵C 2 012 ·522 012-C 1 012 ·522 011+?+C 2 011 ×52·(- 2 2 012 1)2 011能被13整除.
菜 单

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且512 012+a能被13整除, 2 012 ∴C2 012·(-1)2 012+a=1+a也能被13整除. 因此a可取值12.
【答案】 D

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1.本题求解的关键在于将512 012变形为(52-1)2 012,使
得展开式中的每一项与除数13建立联系. 2.用二项式定理处理整除问题,通常把底数写成除数 (或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项 式定理展开.但要注意两点:(1)余数的范围,a=cr+b,其 中余数b∈[0,r),r是除数,若利用二项式定理展开变形

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后,切记余数不能为负;(2)二项式定理的逆用.

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1-90C 1 +902C 2 -903C 3 +?+(-1)k90kC k +?+ 10 10 10 10 9010C10除以88的余数是( ) 10 A.-1 B.1 C.-87 D.87
1 k 【解析】 1-90C 10 +902C 2 +?+(-1)k90kC 10 +? 10 +9010C10 10 =(1-90)10=8910=(88+1)10 1 =8810+C10889+?+C9 88+1 10 ∵前10项均能被88整除,∴余数是1.

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【答案】

B





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0 r 二项式定理(a+b)n=C n an+C 1 an 1b+?+C n an rbr n +?+C n bn(n∈N*)揭示二项展开式的规律,一定牢记通项 n 公式Tr+1=Cr an-rbr. n





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切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是 两个不同的概念,前者只指C r ,而后者是字母外的部 n 分.前者只与n和r有关,恒为正,后者还与a,b有关,可 正可负.
菜 单

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1.通项的应用:利用二项展开式的通项可求指定的项或 指定项的系数等.

2.展开式的应用:利用展开式(1)可求解与二项式系数
有关的求值;(2)可证明不等式;(3)可证明整除问题(或求余 数).

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1.对称性.

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2.增减性.
3.各项二项式系数的和.
菜 单

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从近两年的高考试题来看,求二项展开式中特定项及特
定项的系数是考查的热点,题型为选择题或填空题,属容易 题,在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思 想、等价转化思想.预测2014年高考,求二项展开式的特定 项和特定项的系数仍然是考查的重点,同时应注意二项式系

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数性质的应用.

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赋值法在二项展开式中的应用 a 1 5 (2012· 上海高考改编)(x+ )(2x- ) 的展开式中各项 x x 系数的和为2,则该展开式中常数项为( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 a 15 【解析】 在(x+ )(2x- ) 中,令x=1,得 x x (1+a)(2-1)5=1+a=2,∴a=1. 15 1r r 5- r ∵(2x-x) 展开式的通项Tr+1=C5(2x) (-x) r =C5·25-r(-1)r·x5-2r. 令5-2r=1,得2r=4,即r=2, 15 2 因此(2x- ) 展开式中x的系数为C525-2(-1)2=80. x
菜 单

思想方法之十九

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令5-2r=-1,得2r=6,即r=3, 15 1 3 因此(2x-x) 展开式中x的系数为C525-3·(-1)3=-40. 1 15 所以(x+ )(2x- ) 展开式中的常数项为80-40=40. x x
【答案】 D

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易错提示:(1)混淆各项系数的和与二项式系数和,难 以运用赋值法正确求出a的值. (2)对展开式中的常数项的来源构成分析不清,盲目把 a 15 (x+x)(2x-x) 全部展开,运算繁琐,导致计算错误. 防范措施:(1)二项式定理是一个恒等式,因此我们可 以根据需要对变量x进行赋值,从而得到关于参数的方程, 求出参数的值. a (2)展开式的常数项来源于:①“x+ x ”中的x与(2x- 15 1 a 15 x ) 展开式中含 x 的项相乘;② x 与(2x- x ) 展开式中含x的项 相乘.
菜 单

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1 n 1. (2013· 清远模拟)设(5x- ) 的展开式的各项系数之 x 和为 M,二项式系数之和为 N,若 M-N=240,则展开式 中 x 的系数为( ) A.-150 B.150 C.300 D.-300
由已知条件4n-2n=240,解得n=4, 1 r 3r r 4- r r 4-r r Tr+1=C4(5x) (- ) =(-1) 5 C4x4- , 2 x 3r 令4- =1, 2 得r=2,T3=150x. 【解析】

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【答案】
菜 单

B

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(

1 2. (2012· 安徽高考)(x +2)( 2-1)5 的展开式的常数项是 x ) A.-3 B.-2 C.2 D.3
2

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【解析】

1 二项式( 2-1)5展开式的通项为: x

- r 1 5-r Tr+1=C5( 2) ·(-1)r=Cr ·x2r 10·(-1)r. 5

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x 当2r-10=-2, 即r=4时, 有x2·C4x-2·(-1)4=C4×(-1)4=5; 5 5

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当2r-10=0, 即r=5时, 有2· 5x0·(-1)5=-2. C5 ∴展开式中的常数项为5-2=3,故选D.
【答案】 D

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课后作业(六十六)

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