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函数单调性与奇偶性的综合应用


函数单调性与奇偶性 的综合应用 函数单调性与奇偶性的综合应用 函数的奇偶性与单调性的关系: 问题1 观看下列两个偶函数的图象在y轴两侧的图象 有何不同?可得出什么结论? 答 偶函数在y轴两侧的图象的升降方向是相反的; 即偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 问题2 观看下列两个奇函数的图象在y轴两侧的图象 有何不同?可得出什么结论? 答 奇函数在y轴两侧的图象的升降方向是相同的; 即奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同. 一、奇偶函数的图象及应用 【例2】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,求不等式f(x)<0 的解集. 一、奇偶函数的图象及应用 【例2】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,求不等式f(x)<0 的解集. 不等式f(x)<0的解集为 {x|-2<x<0或2<x≤5}. 跟踪训练1 1 1.函数 f(x)=x-x的图象关于________对称( A ) A.原点 C.y轴 B.x轴 D.直线y=x 2.如图,给出偶函数f(x)的局部图象,则使f(x)>0的x 的集合是________. {x|-1<x<1} 二、函数单调性与奇偶性的综合应用 【例2】定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上 是减函数,若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值 范围. 【思路】利用f(x)是奇函数,把f(1-a)+f(1-3a)<0 变形为f(1-3a)<f(a-1),再根据单调性列出不等式 (组)求解. 二、函数单调性与奇偶性的综合应用 【例2】定义在(-1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减 函数,若f(1-a)+f(1-3a)<0,求实数a的取值范围. 解:原不等式化为 f(1-3a)<-f(1-a) . ∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a)=f(a-1). ∴原不等式化为 f(1-3a)<f(a-1). ∵f(x)是减函数,且定义域为(-1,1), -1<1-a<1, ? ? 1 - 1<1 - 3 a <1 , ∴有? 解得 0<a< . 2 ? ?1-3a>a-1, ∴实数 a ? 1? ? 的取值范围是?0,2? ?. ? ? 跟踪训练2 已知函数f(x)是奇函数,其定义域为 (-1,1),且在[0,1)上为增函数.若f(a-2)+f(3-2a)<0, 试求a的取值范围. 跟踪训练2 已知函数f(x)是奇函数,其定义域为 (-1,1),且在[0,1)上为增函数.若f(a-2)+f(3-2a)<0, 试求a的取值范围. 解 ∵f(a-2)+f(3-2a)<0,∴f(a-2)<-f(3-2a). 又f(x)为奇函数, ∴f(a-2)<f(2a-3). 又f(x)在[0,1)上为增函数, ∴f(x)在(-1,1)上为增函数, ?a-2<2a-3 ? ∴?-1<a-2<1 ?-1<2a-3<1 ? a>1 ? ? ∴?1<a<3 ? ?1<a<2 , ∴1<a<2. 迁移与应用 1.函数f(x)在R上是偶函数,且在[0,+∞)上单调递 增,则下列各式成立的是( A.f(-2)>f(0)>f(1) B.f(-2)>f(1)>f(0) C.f(1)>f(0)>f(-2) ) B D.f(1)>f(-2)>f(0) a<-2或a>2. 2.已知函数y=f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调 递减.若f(a)<f(2),求实数a的取值范围. 迁移

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