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第二章第2讲函数的单调性与最值


第2讲

函数的单调性与最值

1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么 说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

定义

图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1) 对 于 任 意 x∈I , 都 有 (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; f(x)≥M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 M 为最小值

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1.辨明两个易误点 (1)区分两个概念: “函数的单调区间”和“函数在某区间上单调” ,前者指函数具备单 调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写 1 出,一般不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结.例如函数 f(x)= 在区间(- 1, 0) x 上是减函数,在(0,1)上是减函数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不是减函数. 2.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性 判断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 3.函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定 在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值). 1.教材习题改编 如图是函数 y=f(x),x∈[-4,3]的图象,则下列说法正确的是( )

A.f(x)在[-4,-1]上是减函数,在[-1,3]上是增函数 B.f(x)在区间(-1,3)上的最大值为 3,最小值为-2 C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2,有最大值 3 D.当直线 y=t 与 y=f(x)的图象有三个交点时-1<t<2

2.教材习题改编 若函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则( 1 1 A.k> B.k< 2 2 1 1 C.k>- D.k<- 2 2 3.教材习题改编 y=x2-6x+5 的单调减区间为( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,3] C.[-3,+∞) D.[3,+∞)

)

4.教材习题改编 函数 f(x)=x2-2x,x∈ [-2,4]的单调递增区间为________,f(x)max= __________.

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2 5.教材习题改编 已知函数 f(x)= ,x∈[2,6],则 f(x)的最大值为________,最小值 x-1 为__________.

考点 1 函数单调性的判定与证明
【例 1】 (1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y= x+1 B.y=(x-1)2 -x C.y=2 D.y=log0.5(x+1) )

(2)试讨论函数 f(x)=

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

【变式 1-1】 (2016·高考北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( 1 A.y= B.y=cos x 1-x - C.y=ln(x+1) D.y=2 x x+2 【变式 1-2】判断函数 y= 在(-1,+∞)上的单调性. x+1

)

考点 2 求函数的单调区间
【例 2】 (1)已知函数 f(x)= x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为( A.(-∞,1] B.[3,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) )

-3-

(2)求函数 f(x)=-x2+2|x|+1 的单调区间.

【变式 2-1】若将本例(2)中的函数变为 f(x)=|-x2+2x+1|,应如何求解单调区间.

【变式 2-2】若将本例(2)中的函数变为 y= -x2+2|x|+1,应如何求解单调区间.

(1)确定函数的单调区间的方法 ①定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求. ②图象法: 由图象确定函数的单调区间需注意两点: 一是单调区间必须是函数定义域的 子集;二是图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“, ”连接,一般不能用“∪”连 接. ③导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间. (2)求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤 ①确定函数的定义域. ②将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x). ③分别确定这两个函数的单调区间. ④若这两个函数同增同减,则 y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则 y=f(g(x))为减函数, 即“同增异减”. 【变式 2-3】作出函数 y=|x2-1|+x 的图象,并根据函数图象写出函数的单调区间.

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考点 3 函数的最值(值域)
【例 3】 (1)函数 y=x+ x-1的最小值为________.

(2)函数 y=

2x2-2x+3 的值域为________. x2-x+1

【变式 3-1】1.(2017·贵阳检测)定义新运算⊕:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b= b2,则函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( ) A.-1 B.1 C.6 D.12

【变式 3-2】函数 f(x)=|x-1|+x2 的值域为________.

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考点 4 函数单调性的应用(高频考点哦)
函数单调性结合函数的图象以及函数其他性质的应用已成为近几年高考命题的一个新 的增长点,常以选择、填空题的形式出现. 高考对函数单调性的考查主要有以下三个命题角度: (1)比较两个函数值或两个自变量的大小; (2)解函数不等式; (3)求参数的值或取值范围. 【例 4】 (1)已知函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 当 x2>x1>1 时, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 1 - 恒成立,设 a=f 2 ,b=f(2),c=f(e),则 a,b,c 的大小关系为( ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

(2)设函数 f(x)= 的取值范围是( ) A.(-∞,1] C.[4,+∞)

-x2+4x,x≤4, 若函数 y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数 a log2x,x>4. B.[1,4] D.(-∞,1]∪[4,+∞)

【例 5】

比较两个函数值或两个自变量的大小 1 1.(2017·九江模拟)已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1- x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

)

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1 | 2.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f x| <f(1)的实数 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1) B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

【例 6】

解函数不等式 )

【例 7】

求参数的值或取值范围 a 在区间[1, 2]上都是减函数,则 a x+ 1

3.(2017·日照模拟 )若 f(x)=- x2+2ax 与 g(x)= 的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1)

B.(-1,0)∪(0,1] D.(0,1]

数形结合思想求函数最值
f1(x)+f2(x) |f1(x)-f2(x)| 1 【例 8】已知函数 f1(x)=|x-1|,f2(x)= x+1,g(x)= + , 3 2 2 g(x1)-g(x2) 若 a,b∈[-1,5],且当 x1,x2∈[a,b]时, >0 恒成立,则 b-a 的最大值 x1-x2 为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

-7-

【变式 8-1】用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值,则函数 f(x)=min{4x+1,x +4,-x+8}的最大值是__________.

,

1.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( ) - A.y=2 x B.y=x C.y=log2x D.y=-

1 x

x 2.(2017·大连模拟)函数 f(x)= 在( ) 1-x A.(-∞,1)∪(1,+∞)上是增函数 B.(-∞,1)∪(1,+∞)上是减函数 C.(-∞,1)和(1,+∞)上是增函数 D.(-∞,1)和(1,+∞)上是减函数 3.若函数 f(x)=x2-2x+m 在[3,+∞)上的最小值为 1,则实数 m 的值为( A.-3 B.-2 C.-1 D.1 1 4.函数 y= 3
2x2-3x+1

)

的单调递增区间为(

) B. -∞,

A.(1,+∞) 1 ,+∞ C. 2

3 ,+∞ D. 4

3 4

5.定义在 R 上的函数 f(x) 的图象关于直线 x= 2 对称,且 f(x) 在( -∞, 2)上是增函数,则 ( ) A.f(-1)<f(3) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3)

6. 如果函数 f(x)=ax2+2x-3 在区间(-∞, 4)上是单调递增的, 则实数 a 的取值范围是( 1 1 - ,+∞ - ,+∞ A. 4 B. 4 1 1 - ,0 - ,0 C. 4 D. 4
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)

7.已知函数 f(x)=ln x+2x,若 f(x2-4)<2,则实数 x 的取值范围是________.

1 ,x≥1, 8.函数 f(x)= x 的最大值为________. -x2+2,x<1

1,x>0, 9.设函数 f(x)= 0,x=0, g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________. -1,x<0,

x2+a 10.已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,则实数 a 的取值范围为________. x

1 11.已知函数 f(x)=a- . |x| (1)求证:函数 y=f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f(x)<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围.

x2-2tx+t2,x≤0, 12.已知 f(x)= 1 x+ +t,x>0, x A.[-1,2] C.[1,2] 若 f(0)是 f(x)的最小值,则 t 的取值范围为( B.[-1,0] D.[0,2]
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)

1 13.已知函数 f(x)=ax+ (1-x)(a>0),且 f(x)在[0,1]上的最小值为 g(a),求 g(a)的最大值. a

14.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=

f(x) ,x>0, -f(x) ,x<0.

若 f(-1)=0,且对任意实数

x 均有 f(x)≥0 成立. (1)求 F(x)的表达式; (2)当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求 k 的取值范围.

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