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第二课时 双曲线方程及几何性质的应用33


※高二文科班数学课堂学习单 33※ 班级 姓名 小组 2.2.1 第二课时 双曲线方程及几何性质的应用 一,学习目标: 1、 理解直线与双曲线的位置关系 2、能用位置关系解决一些简单问题 二,自学导航:阅读以下内容并解决相关问题 1.直线与双曲线的位置关系: x2 y2 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)② a

b 联立消元得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线 a ,直线与双曲线 。

b (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时, Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). a Δ>0

? 直线与双曲线有 ? 直线与双曲线

,此时称直线与双曲线 ,此时称直线与双曲线 ,此时称直线与双曲线

, ; , , 或 ,

Δ=0 ? 直线与双曲线有 Δ<0

思考:当直线与双曲线只有一个公共点时,直线与双曲线 2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ,=

.

思考:当直线的斜率不存在或斜率 k=0 时,如何求弦长? [例 1] 已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1), k 的取值范围,使: (1)直线 l 与双曲线有两个公共点;(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点.

再思考: 若将“y=k(x-1)”改为“y=k(x-3)”, 对于(2)、 (3)两个问题有无特别方法? 小结: 直线和双曲线的位置关系的问题, 先联立方程组, 转化成关于 x 或 y 的一元方程, 当二次项系数为 0 时,就转化成了 x 或 y 的一元一次方程,只有一个解(与渐近线不重 合),这时直线与双曲线相交只有一个交点, 当二次项系数不为零时,利用根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系.

y2 π [例 2] 过双曲线 x2- =1 的左焦点 F1,作倾斜角为 的弦 AB. 3 6 (1) 求|AB|;(2)求 AB 的垂直平分线方程.

小结: 弦长问题, 利用弦长公式, 而弦长公式的应用, 主要是利用根与系数的关系解决, 4,我生成的问题: 三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四,课堂检测: y2 1.已知双曲线方程为 x2- =1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,则 l 的条数 4 为( )A.4 B.3 C.2 D.1

2. 已知 F1、 F2 为双曲线 C: x2-y2=1 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, ∠F1PF2=60°, 则|PF1|· |PF2| 等于( )A.2 B.4
2 2

C.6

D.8

3. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支交于不同的两点, 则 k 的取值范围是________. 4. 过双曲线 2x2-y2=6 的左焦点 F1, 作倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A, B 两点, 求|AB|. 五,作业 x2 1. 设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l: x+y=1 相交于两个不同的点. 求 a 双曲线 C 的离心率 e 的取值范围. 2. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点, |AB| 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( )A. 2 B. 3 C.2 D.3

y2 3.过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐近线 b 分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是________. x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲 a b 线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. 5.已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 点,且|MN|=4,求双曲线方程. 3 的直线,交双曲线于 M,N 两 5

※高二文科班数学课堂学习单 33※ 班级 姓名 小组 2.2.1 第二课时 双曲线方程及几何性质的应用 一,学习目标: 2、 理解直线与双曲线的位置关系 2、能用位置关系解决一些简单问题 二,自学导航:阅读以下内容并解决相关问题 1.直线与双曲线的位置关系: x2 y2 一般地,设直线 l:y=kx+m(m≠0)① 双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)② a b 联立消元得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线 a ,直线与双曲线 。

b (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时, Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). a Δ>0

? 直线与双曲线有 ? 直线与双曲线

,此时称直线与双曲线 ,此时称直线与双曲线 ,此时称直线与双曲线

, ; , , 或 ,

Δ=0 ? 直线与双曲线有 Δ<0

思考:当直线与双曲线只有一个公共点时,直线与双曲线

提示:不一定.当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,只有一个交点. 2.弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线与双曲线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= ,= .

思考:当直线的斜率不存在或斜率 k=0 时,如何求弦长? 提示:把直线方程直接代入双曲线方程,求出交点坐标,再求弦长. [例 1] 已知双曲线 x2-y2=4,直线 l:y=k(x-1),试确定实数 k 的取值范围,使: (1)直线 l 与双曲线有两个公共点; (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线 l 与双曲线没有公共点. [自主解答]
2 2 ? ?x -y =4, 由? 消去 y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0,(*) ?y=k?x-1?, ?

当 1-k2=0,即 k=± 1,直线 l 与双曲线的渐近线平行,方程化为 2x=5, 故方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点. 当 1-k2≠0,即 k≠± 1 时, Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).

2 ? ?4-3k >0, 2 3 2 3 (1)? 即- <k< ,且 k≠± 1 时, 2 3 3 ?1-k ≠0, ?

方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个不同的公共点.
?4-3k2=0, ? 2 3 (2)? 即 k=± 时,方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线有且只 2 3 ? ?1-k ≠0,

有一个公共点.
2 ? ?4-3k <0, 2 3 2 3 ? (3) 即 k<- 或 k> 时,方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共 2 3 3 ?1-k ≠0, ?

点. 2 3 2 3 综上所述,(1)当- <k<-1 或-1<k<1 或 1<k< 时,直线与双曲线有两个公 3 3 共点. 2 3 (2)当 k=± 1 或 k=± 时,直线与双曲线有且只有一个公共点. 3 2 3 2 3 (3)当 k<- 或 k> 时,直线与双曲线没有公共点. 3 3 再思考:若将“y=k(x-1)”改为“y=k(x-3)”,试解决(2)、(3)两个问题? 解:∵直线 y=k(x-3)过定点(3,0),且定点(3,0)在双曲线 x2-y2=4 的内部,直线与双 曲线总有公共点. ∴当 k=± 1 时,直线与双曲线有且只有一个公共点; 当 k≠± 1 时,直线与双曲线有两个公共点. 小结:解决直线和双曲线的位置关系的问题,一般先联立方程组,消去一个变量,转化 成关于 x 或 y 的一元方程,再根据一元方程去讨论直线和双曲线的位置关系,这时首先要看 二次项系数是否为零,当二次项系数为 0 时,就转化成了 x 或 y 的一元一次方程,只有一个 解(与渐近线不重合),这时直线与双曲线相交只有一个交点,当二次项系数不为零时,利用 根的判别式,判断直线和双曲线的位置关系. y2 π [例 2] 过双曲线 x2- =1 的左焦点 F1,作倾斜角为 的弦 AB. 3 6 (1)求|AB|;(2)求 AB 的垂直平分线方程. [自主解答] 双曲线焦点为 F1(-2,0)、F2(2,0), 将直线 AB 方程:y= 3 (x+2)代入双曲线方程,得 8x2-4x-13=0. 3

设 A(x1,y1)、B(x2,y2), 1 13 ∴x1+x2= ,x1x2=- . 2 8 ∴|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2



1 1 13 1+ · ? ?2-4×?- ?=3. 3 2 8

(2)设 AB 的中点 M(x0,y0), x1+x2 1 由(1)得 x0= = , 2 4 y0= 31 3 3 3 ( +2)= ,又 kAB= . 3 4 4 3

3 3 1 ∴AB 的垂直平分线方程为 y- =- 3(x- ) 4 4 即 3x+y- 3=0 [悟一法] 小结:对于弦长问题,主要是利用弦长公式,而弦长公式的应用,主要是利用根与系数 的关系解决,另外在弦的问题中,经常遇到与弦中点有关的问题,这种问题经常用点差法解 决,另外要注意灵活转化,如垂直、相等的问题也可转化为中点、弦长问题来解决.

4,我生成的问题:

三,我的收获:本节课的知识结构、学到的方法、易错点 四,课堂检测: y2 1.已知双曲线方程为 x2- =1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只有一个公共点,则 l 4 的条数为( A.4 C.2 ) B .3 D.1

y2 解析:∵双曲线方程为 x2- =1,故 P(1,0)为双曲线右顶点,所以过 P 点且与双曲线 4 只有一个公共点的直线共 3 条(一条切线和两条与渐近线平行的直线). 答案:B 2.已知 F1、F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠F1PF2=60°, 则|PF1|·|PF2|等于( A.2 ) B .4

C.6 解析:在△PF1F2 中

D.8

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60° =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 即(2 2)2=22+|PF1|·|PF2|. 解得|PF1|·|PF2|=4. 答案:B 3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 ________.
2 2 ? ?x -y =6, 解析:由? 得 x2-(kx+2)2=6. ?y=kx+2, ?

则(1-k2)x2-4kx-10=0 有两个不同的正根.

?x +x = 4k >0, 15 1-k 则? 得- <k<-1. 3 -10 ?x x =1-k >0,
1 2 2 1 2 2

Δ=40-24k2>0,

答案:(-

15 ,-1) 3

4.过双曲线 2x2-y2=6 的左焦点 F1,作倾斜角为 30°的直线交双曲线于 A,B 两点, 求|AB|. 解:由双曲线的方程得,两焦点分别为 F1(-3,0),F2(3,0). 因为直线 AB 的倾斜角是 30°,且直线过左焦点,所以直线 AB 的方

? ?y= 3(x+3), 3 3 程是 y= (x+3),联立方程组,得? 消去 y,得 5x2-6x 3 2 2 ? ?2x -y =6,
9 2 3 -27=0,解这个方程得 x1=3,x2=- ,分别代入直线 AB 方程,得 y1=2 3,y2= , 5 5 9 2 3 所以 A,B 的坐标分别为(3,2 3),(- , ). 5 5 所以|AB|= = (x1-x2)2+(y1-y2)2

9 2 3 2 16 3 (3+ )2+(2 3- )= . 5 5 5

,五,作业 x2 1.设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点.求双曲线 C a

的离心率 e 的取值范围. 解:∵双曲线与直线相交于不同的两点, x ? ?a2-y2=1, ∴? 有两组不同的解. ?x+y=1, ? 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0
2 ? ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ?Δ=4a +8a ?1-a ?>0, ? 2

解得- 2<a< 2且 a≠± 1 又∵a>0,∴0<a< 2且 a≠1, 又 e= 1+ a2 = a 1 6 1+ 2,∴e> 且 e≠ 2. a 2 6 , 2)∪( 2,+∞). 2

∴e 的取值范围是(

2.(2011· 新课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 C.2
2

)

B. 3 D.3

x y2 x2 y2 解析:设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2=1 可得 a b a b b4 y2= 2, a b2 所以|AB|=2× =2×2a. a c ∴b2=2a2,c2=a2+b2=3a2,∴e= = 3. a 答案:B y2 3.过双曲线 M:x2- 2=1 的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l,若 l 与双曲线 M 的两条渐 b 近线分别相交于点 B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是________. 解析:双曲线渐近线方程 y=± bx,直线方程为 y=x+1,两式联立消去 y,得 x1= 1 x2=- .由|AB|=|BC|,知 x1-x2=x2+1?b=3, b+1 c ∴c2=b2+a2=10.∴e= = 10. a 答案: 10 x2 y2 4.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与 a b 1 , b-1

双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________. 解析:可得直线的斜率为 3,要使直线 l 与双曲线的右支有且只有一 b?2 b 个交点,只要 ≥ 3,∴e2=1+? a? ≥4. ? a 答案:[2,+∞) 5.已知双曲线的中心在原点,过右焦点 F(2,0)作斜率为 交双曲线于 M,N 两点,且|MN|=4,求双曲线方程. x2 y2 解:设所求双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),由右焦点为 F(2,0)知 c=2,b2=4-a2, a b x2 y2 则双曲线方程为 2- =1.直线 MN 的方程为:y= a 4-a2 (20-8a2)x2+12a2x+5a4-32a2=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), -12a2 5a4-32a2 则 x1+x2= , x x = . 20-8a2 1 2 20-8a2 ∴|MN|= = 8 × 5 1+? 32 ? × ?x1+x2?2-4x1x2 5 3 (x-2),代入双曲线方程整理,得 5 3 的直线, 5

-12a2 2 5a4-32a2 ? ? -4· =4. 20-8a2 20-8a2

解得:a2=1,∴b2=4-1=3. y2 故所求双曲线方程为:x2- =1. 3


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