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人教a版高考数学(理)一轮课件:4.3三角函数的图象及性质


第 3 讲 三角函数的图象及性质 考纲展示 理 解 正弦 函 数、 余弦 函数 在 [ 0, 2π]上的性质 ( 如单调性、最大 考纲解读 三角函数的图象与性质主要考查三角函数的 概念、周期性、单调性、有界性等, 多以选择 有时也会出现以函数 值和最小值、图象与 x轴交点等) , 题和填空题的形式出现, 性质为主的结合图象的综合题 ,试题以容易 理解正切函数在 - , 内的单调 2 2 题、中档题为主. 性. 1.五点作图法 五点作图法是画正弦函数、余弦函数草图的重要方法,正弦函数 y= sin x,x∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,0), π ,1 2 ,(π,0), 3π ,-1 2 ,(2π,0);余弦 3π ,0 2 函数 y=cos x,x∈[0,2π]的图象上五个关键点是(0,1), π ,0 2 ,(π,-1), , (2π,1). 提示:学习中要重点注意 y=Asin(ωx+φ)中,ω<0 时函数的单调性. 2.函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个 值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个 函数的周期.如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么 这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 正弦函数、 余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它们的周期, 它们的最小正周期都是 2π. 3.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] ≠ +kπ,k∈Z R π 2 - + 2k, + 2 2 [(2k-1)π,2kπ](k∈Z) 上递增; [2kπ,(2k+1)π](k∈Z) 上递减 2kπ (k∈Z)上递增; 单调性 - + kπ, + kπ (k∈Z)上递增 π 3π + 2kπ, + 2 2 2kπ (k∈Z)上递减 x= π +2kπ(k∈Z) 2 π 2 π 2 最值 时,ymax=1; π x=+2kπ(k∈Z) 2 x=2kπ(k∈Z)时,ymax= 1;x=π+2kπ(k∈Z)时, ymin=-1 无最值 时,ymin=-1 奇偶性 对 称 中 心 对 称 轴l 周期性 奇函数 偶函数 奇函数 π ,0 ,k∈Z 2 (kπ,0),k∈Z π + ,0 ,k∈Z π 2 x=kπ+ ,k∈Z 2π π 2 x=kπ,k∈Z 2π 无 π (1)周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件: ①当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x); ②T 是不为零的最小正数. (2)一般地,若 T 为 f(x)的周期,则 nT(n∈Z)也为 f(x)的周期,即 f(x)=f(x+nT). (3)特别注意:最小正周期是指能使函数值重复出现的,自变量 x 要加上 的那个最小正数,不是所有的周期函数都有最小正周期,周期函数 f(x)=C(C 为常数)就没有最小正周期. 1.设函数 f(x)=sin 2- π 2 ,x∈R,则 f(x)是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为 的偶函数 2 【答案】B 2.函数 y=tan 4 π -x

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