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广西梧州市2015届高考数学三模试卷(理科)


广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|2 A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1}
x(x﹣2)

≤1},A∩B

=() D.{0,1}

2. (5 分)已知复数 z 满足方程 z+i=zi(i 为虚数单位) ,则复数 对应点在第几象限() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a3+a18 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在
2

4. (5 分)已知向量 =(﹣1,﹣2) , =(m ,4) ,那么“ ∥ ”是“m= A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

”()

5. (5 分)如图所示,当输入的实数 x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不 小于 111 的概率是()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)正四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 BC、AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所成 角的正弦值为() A. B. C. D.

7. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,若 a,b,c 成等比数列,则

=()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)已知函数 f(x)=



f(x)dx=()

A.



B.

+

C.

+

D.



9. (5 分)设函数 f(x)= cos(ωx+?)对任意的 x∈R,都有 f( 数 g(x)=3sin(ωx+?)﹣2,则 g( A.1 B . ﹣5 或 3 )的值是() C . ﹣2

﹣x)=f(

+x) ,若函

D.

10. (5 分)点 M(x,y)在直线 x+y﹣10=0 上,且 x,y 满足﹣5≤x﹣y≤5,则 值范围是() A.[0, ] B.[0,5 ] C.[5 , ] D.[5, ]

的取

11. (5 分)过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 A. B. C.

=2



,则双曲线的离心率为() D.

12. (5 分)直线 y=m 分别与曲线 y=2x+3,y=x+lnx 交于 A、B,则|AB|的最小值为() A. B. C. 2 D.3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=3, ? = ,则 S△ ABC=.

14. (5 分)若球的半径为 a,球的最大截面面积为 4π,则二项式(a 的常数项为.



) 的展开式中

4

15. (5 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, P 是正方形 ABCD 的外接圆上的动点, 则 范围是.

?



16. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,给出下列结论: ①f(3)=1;②函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是增函数;③函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称;④若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,16]上的所有根之和为 12. 则其中正确的命题为.

三、解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=17,S10=100. (I)求数列{an}的通项公式; n * (II)若数列{bn}满足 bn=ancos(nπ)+2 (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和. 18. (12 分)我市某大型企业 2008 年至 2014 年销售额 y(单位:亿元)的数据如下表所示: 年份 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 代号 t 1 2 3 4 5 6 7 销售额 y 27 31 35 41 49 56 62 (1)在下表中,画出年份代号与销售额的散点图;

(2)求 y 关于 t 的线性回归方程,相关数据保留两位小数; (3)利用所求回归方程,说出 2008 年至 2014 年该大型企业销售额的变化情况,并预测该企 业的销售额,相关数据保留两位小数. 附:回归直线的斜率的最小二乘法估计公式:

b=

=



19. (12 分)已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2) ,其中俯视图为正三角形, 其它两个视图是矩形,已知 D 是棱 A1C1 的中点. (1)求证:BC1∥平面 AB1D (2)求二面角 B1﹣AD﹣B 的余弦值.

20. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=e . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,已知两切线的斜率互为倒数,证 明:a=0 或 <a< ;

x

(3)设 h(x)=f(x+1)+g(x) ,当 x≥0 时,h(x)≥1,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在半径为 的⊙O 中,弦 AB、CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1. (1)求证相交弦定理:AP?PB=PD?PC; (2)求圆心 O 到弦 CD 的距离.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.若点 P(x,y)在曲线 C 的参数方程 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 的范围. (2)若射线 θ=

(θ 为参数,θ∈R)上,以 O 为极

(ρ≥0)与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|OA|+|OB|的值.

【选修 4-5:不等式选讲】 24. (1)设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,求不等式 f(x)<2 的解集; (2)若 a,b,c 都为正实数,且满足 a+b+c=2,证明: + + ≥ .

广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设全集 U=R,A={x∈N|y=ln(2﹣x)},B={x|2 A.{x|x≥1} B.{x|1≤x<2} C.{1}
x(x﹣2)

≤1},A∩B=() D.{0,1}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 与 B 中 x 的范围,确定出 A 与 B,找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 A 中 x∈N,y=ln(2﹣x) ,得到 2﹣x>0,即 x<2, ∴A={0,1}, 由 B 中不等式变形得:2 ≤1=2 , 即 x(x﹣2)≤0, 解得:0≤x≤2,即 B=[0,2], 则 A∩B={0,1}. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知复数 z 满足方程 z+i=zi(i 为虚数单位) ,则复数 对应点在第几象限() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数.
x(x﹣2) 0

分析: 通过化简,计算即可. 解答: 解:∵z+i=zi, ∴z= = = = = ﹣ i,

∴ = + i, 故选:A. 点评: 本题考查复数的几何意义,注意解题方法的积累,属于基础题. 3. (5 分)已知正数组成的等比数列{an},若 a1?a20=100,那么 a3+a18 的最小值为() A.20 B.25 C.50 D.不存在 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论. 解答: 解:由题可知:a3?a18=a1?a20=100, ∴a3+a18≥2 =2×10=20,

故选:A. 点评: 本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识,注意解题方法的积累,属于中 档题.
2

4. (5 分)已知向量 =(﹣1,﹣2) , =(m ,4) ,那么“ ∥ ”是“m= A.充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

”()

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的等价条件进行判断即可. 解答: 解:若 ∥ ,则 则 m=± , ”的充分不必要条件, ,即 m =2,
2

故“ ∥ ”是“m=

故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据向量平行的等价条件是解决本题的 关键. 5. (5 分)如图所示,当输入的实数 x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的 x 不 小于 111 的概率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 概率与统计;算法和程序框图. 分析: 由程序框图的流程,写出前三次循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的关系, 令输出值大于等于 111 得到输入值的范围,利用几何概型的概率公式求出输出的 x 不小于 111 的概率. 解答: 解:设实数 x∈[2,30], 经过第一次循环得到 x=2x+1,n=2, 经过第二循环得到 x=2(2x+1)+1,n=3, 经过第三循环得到 x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4, 此时输出 x, 输出的值为 8x+7, 令 8x+7≥111 得 x≥13, 由几何概型得到输出的 x 不小于 111 的概率为 P= = ,

故选:B 点评: 解决程序框图中的循环结构时,一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果, 根据结果找规律,属于基础题. 6. (5 分)正四面体 ABCD 中,E、F 分别是棱 BC、AD 的中点,则直线 DE 与平面 BCF 所成 角的正弦值为() A. B. C. D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 连接 EF,由 BF=CF,我们易得∠FED 是线面所成角,设棱长为 a,求出三角形 FED 的各边长,代入余弦定理,求出∠FED 的余弦后,再根据同角三角函数关系,即可得到直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值. 解答: 解:连接 EF,由 BF=CF,BD=CD

可得 FE⊥BC,DE⊥BC ∴∠FED 是线面所成角 设棱长 a,CD=a,ED=BF=CF= a a

三角形 BCF 是等腰三角形,则 EF= 由余弦定理,cos∠FED= 则 SIN∠FED=

故选 B 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角, 解答的关键是根据已知条件, 求出∠FED 即为直线 DE 与平面 BCF 所成角的平面角. 7. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,若 a,b,c 成等比数列,则 A. B. C. =() D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列;解三角形. 分析: 由等比中项的性质列出式子, 结合条件和正弦定理求出 a 的表达式, 代入式子化简即 可求出 的值.
2

解答: 解:∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac,① 又 A=60°,则由正弦定理得: 即 a= 所以 ,代入①得, =sinA=sin60°= , = , ,则 ,

故选:B. 点评: 本题考查了正弦定理,以及等比中项的性质的应用,属于基础题.

8. (5 分)已知函数 f(x)=



f(x)dx=()

A.



B.

+

C.

+

D.



考点: 定积分. 专题: 导数的概念及应用.

分析: 由

f(x)dx=

dx+

x dx,分别根据定积分的几何意义和定

2

积分的计算法则计算计算即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴ ∵ ∴ ∴ f(x)dx= dx+ x dx, 为半径的圆的面积的四分之一,
2



dx 表示以原点为圆心,以 dx= π?2= f(x)dx= , dx+

x dx=

2

+ x|

3

=

+ ,

故选:B. 点评: 本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义,属于中档题. 9. (5 分)设函数 f(x)= cos(ωx+?)对任意的 x∈R,都有 f( 数 g(x)=3sin(ωx+?)﹣2,则 g( A.1 B . ﹣5 或 3 )的值是() C . ﹣2 D.

﹣x)=f(

+x) ,若函

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据 f( ﹣x)=f( +x) ,得 x= 是函数 f(x)的对称轴,结合正弦函数与余弦

函数的关系进行求解即可. 解答: 解:∵对任意的 x∈R,都有 f( ∴x= 是函数 f(x)的对称轴, ﹣x)=f( +x) ,

此时 f(x)= cos(ωx+?)取得最值, 而 y=sin(ωx+?)=0, 故 g( )=0﹣2=﹣2,

故选:C 点评: 本题主要考查三角函数值的计算,根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关 键.

10. (5 分)点 M(x,y)在直线 x+y﹣10=0 上,且 x,y 满足﹣5≤x﹣y≤5,则 值范围是() A.[0, ] B.[0,5 ] C.[5 , ] D.[5, ]

的取

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出直线 x+y﹣10=0 与 x﹣y+5=0、x﹣y﹣5=0 的交点坐标,可得 原点到直线 x+y﹣10=0 的距离,即可求出 的取值范围. ) ,此时 ,再求出

解答: 解:直线 x+y﹣10=0 与 x﹣y+5=0 联立可得交点坐标为( , = = ; , ) ,此时

直线 x+y﹣10=0 与 x﹣y﹣5=0 联立可得交点坐标为( = = ; =5 , ].

原点到直线 x+y﹣10=0 的距离为 ∴ 的取值范围是[5 ,

故选:C. 点评: 本题考查直线与直线的位置关系,考查距离公式的运用,考查学生的计算能力,比 较基础.

11. (5 分)过双曲线

=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作圆 x +y =

2

2

的切线,切点为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 A. B. C.

=2



,则双曲线的离心率为() D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设右焦点为 F′,由 =2 ﹣ ,可得 E 是 PF 的中点,利用 O 为 FF'的中点,可得

OE 为△ PFF'的中位线,从而可求 PF′、PF,再由勾股定理得出关于 a,c 的关系式,最后即可 求得离心率. 解答: 解:设右焦点为 F′,则 ∵ =2 ﹣ ,



+

=2



∴E 是 PF 的中点, ∴PF′=2OE=a, ∴PF=3a, ∵OE⊥PF, ∴PF′⊥PF, ∴(3a) +a =4c , ∴e= = ,
2 2 2

故选:C. 点评: 本题主要考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,考查抛物线的定 义,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题. 12. (5 分)直线 y=m 分别与曲线 y=2x+3,y=x+lnx 交于 A、B,则|AB|的最小值为() A. B. C. 2 D.3

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 设 A(x1,a) ,B(x2,a) ,则 2x1+3=x2+lnx2,表示出 x1,求出|AB|,利用导数求出 |AB|的最小值. 解答: 解:设 A(x1,a) ,B(x2,a) ,则 2x1+3=x2+lnx2, ∴x1= (x2+lnx2)﹣ , ∴|AB|=x2﹣x1= (x2﹣lnx2)+ , 令 y= (x﹣lnx)+ ,则 y′= (1﹣ ) , ∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴x=1 时,函数的最小值为 2, 故选:C. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确求导确定函数的单 调性是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. (5 分)在△ ABC 中,若 AB=1,AC=3, ? = ,则 S△ ABC= .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算;正弦定理. 计算题;平面向量及应用. 利用向量的数量积求出两个向量的夹角,然后通过三角形的面积公式求解即可. 解:在△ ABC 中,AB=1,AC=3,

所以

=1×3×cosA=

∴cosA= , ∴sinA= 则 S△ ABC= 故答案为: 点评: 本题考查三角形的面积的求法,向量的数量积的应用,考查计算能力. 14. (5 分)若球的半径为 a,球的最大截面面积为 4π,则二项式(a 的常数项为 24. 考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 由球的最大截面面积求出 a 值,然后写出二项展开式的通项,由 x 的指数为 0 求得 r 值,则答案可求. 解答: 解:由题意可知 πa =4π,即 a=2. ∴(a 由 令 2﹣r=0,得 r=2. ∴二项式(a ﹣ ) 的展开式中的常数项为
4 2

sinA=

=



) 的展开式中

4



) =(2

4



) , = .

4



故答案为:24. 点评: 本题考查圆的面积公式,考查了二项式系数的性质,是基础题.

15. (5 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, P 是正方形 ABCD 的外接圆上的动点, 则 范围是[﹣2 +2,2 +2].

?



考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 如图所示,A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) .设 P( cosθ, sinθ) ,可得 ? =(2,

0)?( cosθ+1, sinθ+1)=2 cosθ+2,利用余弦函数的单调性即可得出. 解答: 解:如图所示,A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) . 设 P( cosθ, sinθ) . ∴ ? =(2,0)?( cosθ+1, sinθ+1)

=2 cosθ+2, ∵﹣1≤cosθ≤1, ∴ ? 的范围是[﹣2 +2,2 +2,2 +2]. +2],

故答案为:[﹣2

点评: 本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性,属于基础题. 16. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=﹣f(x) ,且 x∈[0,2]时,f(x) =log2(x+1) ,给出下列结论: ①f(3)=1;②函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是增函数;③函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对 称;④若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,16]上的所有根之和为 12. 则其中正确的命题为①④. 考点: 抽象函数及其应用;函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对于①,利用赋值法,取 x=1,得 f(3)=﹣f(1)=1 即可判断; 对于③由 f(x﹣4)=f(﹣x)得 f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) ,即 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, 对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同,可得 f(x)在[﹣2,2]上为增函数,利用函数 f (x)关于直线 x=﹣2 对称,可得函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数; 对于④若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和 为﹣6×2=﹣12,另两根的和为 2×2=4,故可得结论. 解答: 解:取 x=1,得 f(1﹣4)=﹣f(1)=﹣log2(1+1)=﹣1,所以 f(3)=﹣f(1)=1, 故①的结论正确; ∵f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x+4)=﹣f(x) ,即 f(x﹣4)=f(x+4) 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x﹣4)=﹣f(x) ,则 f(x﹣4)=f(﹣x) , ∴f(x﹣2)=f(﹣x﹣2) , ∴函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称,故③的结论不正确; 又∵奇函数 f(x) ,x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数, ∴x∈[﹣2,2]时,函数为单调增函数, ∵函数 f(x)关于直线 x=﹣2 对称, ∴函数 f(x)在[﹣6,﹣2]上是减函数,故②的结论不正确; 若 m∈(0,1) ,则关于 x 的方程 f(x)﹣m=0 在[﹣8,8]上有 4 个根,其中两根的和为﹣6×2= ﹣12,另两根的和为 2×2=4,所以所有根之和为﹣8.故④正确

故答案为:①④. 点评: 本题考查函数的性质,考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础 知识,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=17,S10=100. (I)求数列{an}的通项公式; n * (II)若数列{bn}满足 bn=ancos(nπ)+2 (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: (I)由题意等差数列{an}中 a2=17,S10=100,利用通项公式及前 n 项和公式建立首 项与公差的方程求出即可得到数列{an}的通项公式 an; (II)首先利用诱导公式以及(I)求出数列{bn}的通项公式,然后当 n 为奇数时 Tn=b1+b2++bn= ,当 n 为奇数时,

Tn=b1+b2+…+bn= 求出结果. 解答: 解: (I)设 an 首项为 a1,公差为 d,

=2

n+1

+n﹣22,即可



解得
n n

(5 分)∴an=19+(n﹣1)×(﹣2)=21﹣2n(7 分)
n

(II)∵bn=ancos(nπ)+2 =(﹣1) an+2 2 3 n 当 n 为偶数时,Tn=b1+b2++bn=(﹣a1+2)+(a2+2 )+(﹣a3+2 )+…+(an+2 ) = (10 分)
2 3 n

当 n 为奇数时,Tn=b1+b2++bn=(﹣a1+2)+(a2+2 )+(﹣a3+2 )+…+(﹣an+2 ) =
n+1

=

=2

+n﹣22(13 分)



(14 分)

点评: 本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式, (II)问要注 意对 n 的奇偶性进行讨论,属于中档题. 18. (12 分)我市某大型企业 2008 年至 2014 年销售额 y(单位:亿元)的数据如下表所示:

年份 2008 2009 2010 2011 代号 t 1 2 3 4 销售额 y 27 31 35 41 (1)在下表中,画出年份代号与销售额的散点图;

2012 5 49

2013 6 56

2014 7 62

(2)求 y 关于 t 的线性回归方程,相关数据保留两位小数; (3)利用所求回归方程,说出 2008 年至 2014 年该大型企业销售额的变化情况,并预测该企 业的销售额,相关数据保留两位小数. 附:回归直线的斜率的最小二乘法估计公式:

b=

=



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)有给定的坐标系中描出各组数据对应的点,可得年份代号与销售额的散点图; (2)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与 横标的平方和,代入公式求出 b 的值,再求出 a 的值,写出线性回归方程. (3)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的 t 的值,预测该地区的销售额. 解答: 解: (1)年份代号与销售额的散点图如下所示:

(2)由已知中的数据可得: = (1+2+3+4+5+6+7)=4, = (27+31+35+41+49+56+62)=43,

=1373,

=140,

故 =

=

=

≈6.04,

则 = ﹣6.04 =18.84, 故 y 关于 t 的线性回归方程 =6.04x+18.84, (3)的年份代号为 8, 当 t=8 时, =6.04×8+18.84=67.16, 故预测该企业的销售额约为 67.16 亿元 点评: 本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回 归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题. 19. (12 分)已知某几何体的直观图(图 1)与它的三视图(图 2) ,其中俯视图为正三角形, 其它两个视图是矩形,已知 D 是棱 A1C1 的中点. (1)求证:BC1∥平面 AB1D (2)求二面角 B1﹣AD﹣B 的余弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个正三棱柱,底面是高为 的正三角形,三棱柱的高 为 h=3. (1)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明; (2)通过建立空间直角坐标系,利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角 的余弦值. 解答: (1)证明:由三视图可知:该几何体是一个正三棱柱,底面是高为 的正三角形, 三棱柱的高为 h=3. 连接 A1B 交 AB1 于点 E,连接 DE,由矩形 ABB1A1,可得 A1E=EB. 又∵D 是这个几何体的棱 A1 C1 的中点,∴ED 是三角形 A1BC1 的中位线,∴ED∥BC1 ∵BC1?平面 AB1D,OD?平面 AB1D,∴BC1∥平面 AB1D. (2)解:在平面 ABC 内作 AN⊥AB,分别以 AB,AN,AA1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 角坐标系. 则 A(0,0,0) ,B1(2,0,3) ,D( , ,3) ,B(2,0,0) .



=(2,0,3) ,

=( ,

,3) , .

设平面 AB1D 的法向量为 =(a,b,c) , 则 ,令 a=1,得 =(1, ,﹣ ) .

同理平面 ABD 的法向量 =(0,﹣6, ∴cos< , >= .

) .

点评: 由三视图可得出该几何体是一个正三棱柱,熟练掌握三角形的中位线定理和线面平 行的判定定理、 通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二 面角的余弦值是解题的关键.

20. (12 分)已知 A、B 分别为曲线 C:

+y =1(a>0)与 x 轴的左、右两个交点,直线 l

2

过点 B 且与 x 轴垂直,P 为 l 上异于点 B 的点,连结 AP 与曲线 C 交于点 M. (1)若曲线 C 为圆,且|BP|= ,求弦 AM 的长;

(2)设 N 是以 BP 为直径的圆与线段 BM 的交点,若 O、N、P 三点共线,求曲线 C 的方程.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 向量与圆锥曲线. 分析: (1)先求出 A、B、P 的坐标,从而求出直线 AP 的方程,进而求出弦 AM 的长; (2)设出直线 AP 的方程,联立方程组,求出 M 点的坐标,结合 BM⊥OP,求出 a 的值,从 而求出曲线 C 的方程. 2 2 解答: 解: (1)∵曲线 C 为圆,则曲线 C 为 x +y =1, ∴A(﹣1,0) ,B(1,0) ,P(1,± ) ,

∴直线 AP 的方程为:y=±

(x+1) ,

∴圆心到直线 AP 的距离为 d= , ∴弦 AM=2 =2 = ;

(2)由已知得 A(﹣a,0) ,B(a,0) , 由于点 N 在以 BP 为直径的圆上,且 O、N、P 三点中线,故 BM⊥OP, 显然,直线 AP 的斜率 k 存在且 k≠0,可设直线 AP 的方程为 y=k(x+a) ,
2 2 2 3 2 4 2 2



得: (1+a k )x +2a k x+a k ﹣a =0,

设点 M(xM,yM) ,∴xM?(﹣a)=



故 xM=

,从而 yM=k(xM+a)=



∴M(



) ,

∵B(a,0) ,∴

=(



) ,

由 BM⊥OP,可得
4 2 2 2

?

=

=0,

即﹣2a k +4a k =0, ∵k≠0,a>0,∴a= , 经检验,当 a= 时,O、N、P 三点共线, ∴曲线 C 的方程是: +y =1.
2

点评: 本题考察了直线和圆锥曲线的问题,第一问中求出 AP 的方程是解题的关键,第二问 中求出 M 点的坐标,利用向量垂直的性质是解题的关键,本题是一道难题. 21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a(x﹣1) ,g(x)=e . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)过原点分别作曲线 y=f(x)与 y=g(x)的切线 l1、l2,已知两切线的斜率互为倒数,证 明:a=0 或 <a< ;
x

(3)设 h(x)=f(x+1)+g(x) ,当 x≥0 时,h(x)≥1,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数求函数的单调区间,注意对参数 a 的分类讨论; x (2)背景为指数函数 y=e 与对数函数 y=lnx 关于直线 y=x 对称的特征,得到过原点的切线也 关于直线 y=x 对称,主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应 该用求参数的问题,得到不等式的证明; (3)利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题,求导过程中用到了课后 习题 e ≥x+1 这个结论,考查学生对课本知识的掌握程度. 解答: (1)解:依题意,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,对 f(x)求导,得 f′(x)= ﹣a= .
x

①若 a≤0,对一切 x>0 有 f'(x)>0,函数 f(x)的单调递增区间是(0,+∞) . ②若 a>0,当 x∈(0, )时,f′(x)>0;当 x∈( ,+∞)时,f'(x)<0. 所以函数 f(x)的单调递增区间是(0, ) ,单调递减区间是( ,+∞) .
x2

(2)解:设切线 l2 的方程为 y=k2x,切点为(x2,y2) ,则 y2= 所以 x2=1,y2=e,则 k2=e =e. 由题意知,切线 l1 的斜率为 k1= = ,l1 的方程为 y=k1x= x.
x2

,k2=g′(x2)=e =



设 l1 与曲线 y=f(x)的切点为(x1,y1) ,则 k1=f′(x1)=

﹣a= =



所以 y1=

=1﹣ax1,a=

﹣ .

又因为 y1=lnx1﹣a(x1﹣1) ,消去 y1 和 a 后,整理得 lnx1﹣1+

﹣ =0.

令 m(x)=lnx﹣1+ ﹣ =0,则 m′(x)= ﹣

=



m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 若 x1∈(0,1) ,因为 m( )=﹣2+e﹣ >0,m(1)=﹣ <0,所以 x1∈( ,1) , ﹣ 在 x1∈( ,1)上单调递减,所以

而 a=

<a<



若 x1∈(1,+∞) ,因为 m(x)在(1,+∞)上单调递增,且 m(e)=0,则 x1=e, 所以 a= ﹣ =0(舍去) .

综上可知,

<a<
x

(3)证明:h(x)=f(x+1)+g(x)=ln(x+1)﹣ax+e ,h′(x)=ex+ ①当 a≤2 时,因为 e ≥x+1,所以 h′(x)=ex+
x

﹣a.

﹣a≥x+1+

﹣a≥2﹣a≥0,

h(x)在[0,+∞)上递增,h(x)≥h(0)=1 恒成立,符合题意. ②当 a>2 时,因为 h″(x)=ex﹣ = ≥0,

所以 h′(x)在[0,+∞)上递增,且 h′(0)=2﹣a<0,则存在 x0∈(0,+∞) ,使得 h′(0)=0. 所以 h(x)在(0,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增, 又 h(x0)<h(0)=1,所以 h(x)≥1 不恒成立,不合题意. 综合①②可知,所求实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]. 点评: 本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不 等式恒成立问题. 请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 【选修 4-1: 几何证明选讲】 22. (10 分)如图,在半径为 的⊙O 中,弦 AB、CD 相交于点 P,PA=PB=2,PD=1. (1)求证相交弦定理:AP?PB=PD?PC; (2)求圆心 O 到弦 CD 的距离.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: (1)证明△ APC∽△DPB,可得 AP?PB=PD?PC; (2)利用垂径定理、勾股定理,即可求圆心 O 到弦 CD 的距离. 解答: (1)证明:连接 AC,DB,则有∠ACP=∠ABD,∠APC=∠DPB, ∴△APC∽△DPB, ∴ ,

∴AP?PB=PD?PC; (2)解:由(1)知,AP?PB=PD?PC,可得 2×2=1×PC, ∴PC=4, 过 O 作 OM⊥CD 于点 M,由圆的性质可知 CM=2.5, 在△ OMC 中,d= = .

点评: 本题考查三角形相似的判定与性质,考查垂径定理、勾股定理,考查学生的计算能 力,比较基础. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.若点 P(x,y)在曲线 C 的参数方程 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 的范围. (2)若射线 θ= (ρ≥0)与曲线 C 相交于 A,B 两点,求|OA|+|OB|的值. (θ 为参数,θ∈R)上,以 O 为极

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)化圆的参数方程为普通方程,利用过原点的圆的切线的斜率求得 的范围; (2)化圆的直角坐标方程为极坐标方程,和直线线 θ=
2 2

联立后,利用根与系数的关系求解.

解答: 解: (1)由 如图,

,得(x﹣2) +y =3,

设过原点的直线方程为 y=kx,由圆心(2,0)到直线的距离为 ,即 ,

,得

∴ 的范围为[

];
2

(2)曲线 C 的极坐标方程可化为 ρ ﹣4ρcosθ+1=0, 把 θ= 代入上式可得: , .

设 A,B 两点的极径分别为 ρ1,ρ2,则 故|OA|+|OB|= .

点评: 本题考查参数方程化普通方程,考查直角坐标方程化极坐标方程,考查了直线和圆 的位置关系,是基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24. (1)设函数 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,求不等式 f(x)<2 的解集; (2)若 a,b,c 都为正实数,且满足 a+b+c=2,证明: + + ≥ .

考点: 不等式的证明;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解 集,再取并集,即得所求. (2)由条件把不等式的左边化为 [3+ + + + ],再利用基本不等式证得结论.

解答: 解: (1)根据 f(x)=|x﹣1|+ |x﹣3|,由不等式 f(x)<2,

可得

①,或

②,或

③. 解①求得 <x≤1,解②求得 1<x<3,解③求得 x∈?,

综上可得,原不等式的解集为{x|<x<3}. (2)∵a+b+c=2,∴ + + = [ = [3+ + + + ]= [3+ + + ]

+ + ]≥ (3+2+2+2)= ,

当且仅当 a=b=c 时,取等号,故 + + ≥ 成立. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,用基本不等式证明不等式,体现了转化、分类 讨论的数学思想,属于基础题.


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