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2014东城零模文


东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测
一 、选择题: 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6} ,设集合 P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则 P∩(CUQ)= A.{1,2,3,4,6} C.{1,2,5} B.{1,2,3,4,5} D.{1,2}

2. 在某次测量中得

到的 A 样本数据如下:52,54,54,56,56,56,55,55,55,55.若 B 样本数 据恰好是 A 样本数据都加 6 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差

3. 已知i是虚数单位,若 A 1-2i

3?i ? 1 ? i ,则z的共轭复数为 z
C

B 2-4i

2 ? 2 2i

D

1+2i

4.设 l 是直线,a,β 是两个不同的平面, A. 若 l ∥a, l ∥β ,则 a∥β C. 若 a⊥β , l ⊥a,则 l ⊥β 5. 函数 y ? 2sin ? A B. 若 l ∥a, l ⊥β ,则 a⊥β D. 若 a⊥β , l ∥a,则 l ⊥β

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之差为 3? ? 6
B. 4 C. 3 D. 2 ? 3

2? 3

6. "a ? 0" “是函数 f ( x ) ?| x (2 ? ax) | 在区间 (0,+?) 内单调递增”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

x2 y 2 7.已知双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2.若抛物线 a b
C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2,则抛物线 C2 的方程为
A. x ?
2

8 3 y 3

2 B. x ?

16 3 y 3

C.

x2 ? 8 y

D.

x2 ? 16 y

8.已知

f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且

f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下结论:
① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的序号是( )

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

? x ? 1, ? 9. 已知变量 x、y 满足条件 ? x ? y ? 0, 则 x ? y 的最大值是______. ? x ? 2 y ? 9 ? 0, ?
10. 经过圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 的圆心 C ,且与直线 x ? y ? 0 垂直的直线 方程是 . .

11. 曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 12. 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? 13. 已知平面向量 a 则| c

1 ) ,则 a 5 ? _____; n

?

? (2, 4) ,. b ? (1,?2) 若 c ? a ? (a ? b )b ,

?

?

? ? ?

?

|? _____________.

14. 定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知 2 2 2 曲线C1:y=x +a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x +(y+4) =2到直线l:y=x的距 离,则实数a=_______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=3,sinC=2sinA,求△ABC 的面积.

16. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明::AC=BC; (Ⅱ)证明:AB⊥PC; (Ⅲ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积.

17. (本题满分 13 分) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆): 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (Ⅰ) 求 z 的值; (Ⅱ) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (Ⅲ) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数 之差的绝对值不超过 0.5 的概率.

18.(本题满分 14 分) 设函数 fn ( x) ? xn ? bx ? c (Ⅰ )设 n ? 2 , b ? 1,

(n ? N? , b, c ? R)

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(Ⅱ )设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围.

19. (本题满分 14 分)

已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(Ⅰ )求椭圆 C2 的方程; (Ⅱ )设 O 为坐标原点,点 A, B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

20. (本题满分 13 分) 对于项数为 m 的有穷数列数集 {an } ,记 bk ? max{ a1, a2 , ?, ak } (k=1,2,?,m),即 bk 为 并称数列 {bn } 是 {an } 的控制数列.如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5. a1 , a2 , ?, ak 中的最大值, (Ⅰ)若各项均为正整数的数列 {an } 的控制数列为 2,3,4,5,5, 写出所有的 {an } ; (Ⅱ) 设 {bn } 是 {an } 的控制数列, 满足 ak ? bm? k ?1 ? C(C 为常数, k=1,2,?,m) .求证: bk ? ak (k=1,2,?,m).

东城区 2013-2014 学年度第二学期教学检测 高三数学答案 (文科)
一 、选择题:1.D; 二、填空题: 9. 6; 12. 2 ? ln5 ; 三、解答题: 15.(本题满分 12 分) (Ⅰ)? bsinA= 3 acosB, 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即得 tan B ? 3 ,? B ? 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C. 10. x ? y ? 1 ? 0 ; 13. 8 2 ; 11. y ? 3x ? 1 ; 14.

9 . 4

?
3

..

??????5 分

(Ⅱ)? sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a , 由余弦定理 b 解得 a
2
2 2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos

?
3



? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .
1 3 3 acsinB ? . 2 2
??????12 分

△ABC 的面积=

16. (本题满分 14 分) (Ⅰ)因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC . ??????3 分 (Ⅱ)如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC . ......7 分

(Ⅲ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,

所以 AE ? PC , AE ? BE .

由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? . 因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三棱锥 P ? ABC 的体积 V ?

1 8 ? S ? PC ? 3 3

......14 分

17. (本题满分 13 分) : (Ⅰ).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,

50 10 ? , n 100 ? 300

所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ......3 分 (Ⅱ) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车, 因为用分层抽样, 所以

400 m ? ,解得 m=2, 1000 5

即抽取了 2 辆舒适型轿车, 3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个, 其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2), 所 以 从 中 任 取 2 辆 , 至 少 有 1 辆 舒 适 型 轿 车 的 概 率 为

7 . 10
(Ⅲ)样本的平均数为 x

......9 分

1 ? (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9 , 8
9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,

那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 总的个数为 8,

所 以 该 数 与 样 本 平 均 数 之 差 的 绝 对 值 不 超 过
6 ? 0.75 .. 8

0.5

的 概 率 为

......13 分

18.(本题满分 14 分)

,c ? ?1 ,n ? 2时,f n ( x) ? x (Ⅰ)当 b ? 1

n

? x ?1

1 1 1 1 ? f n ( ) f n ( 1? ) n( ? ?) ? 1 ,? 0 fn x 在( ( ) , ) 1在 零 点 内存 . 2 2 2 2

又当 x ? (

1 ,1)时,f n' ( x) ? nx n ?1 ? 1 ? 0 , 2

1 1 ? f n ( x)在( , 1)上是单调递增的, ? f n ( x)在( , 1)内存在唯一零点 . 2 2
......6 分 (Ⅱ)当 n ? 2 时,

f 2 ( x) ? x 2 ? bx ? c .

对任意 x1 , x2 ?[?1,1]都有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4等价于 f 2 ( x)在 [?1,1] 上的最大值 与最小值之差 M ? 4 ,据此分类讨论如下: (ⅰ) 当

b ? 1,即 b ? 2时 , 2

M ? f2 (1) ? f2 (?1) ? 2 b ? 4,与题设矛盾.
(ⅱ) 当-1 ? -

b ? 0,即0 ? b ? 2时 , 2

b b M ? f 2 (1) ? f 2 (? ) ? ( ? 1) 2 ? 4恒成立 . 2 2
(ⅲ) 当0 ? -

b ? 1,即-2 ? b ? 0时 , 2 b b M ? f 2 (-1) ? f 2 (? ) ? ( -1) 2 ? 4恒成立 . 2 2
......14 分

综上可知, - 2 ? b ? 2 . 19. (本题满分 14 分)

y 2 x2 ? 1? a ? 2 ? , (Ⅰ)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2 ? a 4
a2 ? 4 3 3 a ? 4. ? 其离心率为 2 ,故 a 2 ,则

. 故椭圆 C2 的方程为 16 ? 4 ? 1

y2

x2

......5 分

(Ⅱ)设 A, B 两点的坐标分别为 ? xA,yA ?, ? xB,yB ? ,

,B 三点共线且点 A, B 不在 由 OB ? 2OA 及(Ⅰ)知, O,A
y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为

??? ?

??? ?

y ? kx .

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ?1 ? 4k 2 ?x 2 ? 4 , 将 y ? kx 代入 4

所以 x A

2

?

4 , 1 ? 4k 2

y 2 x2 + ? 1 中,得 ? 4 ? k 2 ? x 2 ? 16 , 将 y ? kx 代入 16 4
所以 xB
2

?

16 4 ? k2
??? ?



又由 OB ? 2OA ,得 x B 解得 k

??? ?

2

2 ? 4x A ,即

16 16 ? 4 ? k 2 1 ? 4k 2



? ?1 ,故直线 AB 的方程为 y ? x 或 y ? ? x .
......14 分

20. (本题满分 13 分) (Ⅰ)数列 {an } 为:2, 3, 4, 5, 1; 2, 3, 4, 5, 2; 2, 3, 4, 5, 3; 2, 3, 4, 5, 4; 2, 3, 4, 5, 5. (Ⅱ)因为 bk ……5 分

? max{ a1, a2 , ?, ak } ,

bk ?1 ? max{ a1, a2 , ?, ak , ak ?1},
所以 bk ?1 ? bk . 因为 ak

? bm? k ?1 ? C , ak ?1 ? bm?k ? C ,

所以 ak ?1 ? ak ? bm? k ?1 ? bm? k ? 0 ,即 ak ?1 ? ak . 因此, bk ? ak . ……13 分


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