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高一数学试卷


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高一数学试卷--含绝对值的不等式解法练习题及答案
例 1 不等式|8-3x|>0 的解集是 [ ]

A.? 8 C.{x|x≠ } 3

B.R 8 D.{ } 3

8 分析 ∵|8- 3x| > 0,∴8- 3x≠ 0,即x≠ . 3
答 选 C. 例 2 绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 [ A.3 B.2 C.-2 D.-5 分析 列出不等式. 解 根据题意得 2<|x|≤5. 从而-5≤x<-2 或 2<x≤5,其中最小整数为-5, 答 选 D. 例 3 不等式 4<|1-3x|≤7 的解集为________. 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为 4<|3x-1|≤7,即 4<3x-1≤7 或-7 ]

5 8 ≤3x-1<-4 解之得 <x≤ 或-2≤x<-1,即所求不等式解集为 3 3 5 8 {x| -2 ≤x<-1或 <x≤ }. 3 3
例 4 已知集合 A={x|2<|6-2x|<5,x∈N},求 A. 分析 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<|6-2x|<5 可化为 2<|2x-6|<5

?-5< 2x- 6<5, 即? ?2x- 6> 2 或 2x- 6<- 2 , ?1< 2x<11, 即? ?2x>8或 2x< 4 ,
解之得 4 <x< 11 1 或 <x< 2 . 2 2

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因为 x∈N,所以 A={0,1,5}. 说明:注意元素的限制条件. 例 5 实数 a,b 满足 ab<0,那么 [ A.|a-b|<|a|+|b| B.|a+b|>|a-b| C.|a+b|<|a-b| D.|a-b|<||a|+|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义. 解 ∵a、b 异号, ∴ |a+b|<|a-b|. 答 选 C. 例 6 设不等式|x-a|<b 的解集为{x|-1<x<2},则 a,b 的值为 [ A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 ] ]

D.a=

1 3 ,b= 2 2

分析 解不等式后比较区间的端点. 解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{x|a-b<x<a+b},由于解集又 为{x|-1<x<2}所以比较可得.

?a-b=-1 1 3 ,解之得a= ,b= . ? 2 2 ?a+b= 2
答 选 D. 说明:本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组. 例 7 解关于 x 的不等式|2x-1|<2m-1(m∈R) 分析 分类讨论.

1 解 若 2m-1≤ 0即m≤ ,则|2x-1| < 2m-1恒不成立,此时原不等 2

式的解集为?;
1 若 2m-1> 0即m> ,则- (2m-1) < 2x-1< 2m-1,所以1-m< 2
x<m.

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1 综上所述得:当m≤ 时原不等式解集为?; 2 1 当m> 时,原不等式的解集为 2
{x|1-m<x<m}. 说明:分类讨论时要预先确定分类的标准.

例8 解不等式

3-| x| 1 ≥ . | x| +2 2

分析 一般地说,可以移项后变形求解,但注意到分母是正数,所以能直 接去分母. 解 注意到分母|x|+2>0, 所以原不等式转化为 2(3-|x|)≥|x|+2, 整理得

4 4 4 4 4 |x| ≤ ,从而可以解得- ≤x≤ ,解集为{x| - ≤x≤ }. 3 3 3 3 3
说明:分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号,使过程简便. 例 9 解不等式|6-|2x+1||>1. 分析 以通过变形化简, 把该不等式化归为|ax+b|<c 或|ax+b|>c 型的不 等式来解. 解 事实上原不等式可化为 6-|2x+1|>1 ① 或 6-|2x+1|<-1 ② 由①得|2x+1|<5,解之得-3<x<2; 由②得|2x+1|>7,解之得 x>3 或 x<-4. 从而得到原不等式的解集为{x|x<-4 或-3<x<2 或 x>3}. 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论. 例 10 已知关于 x 的不等式|x+2|+|x-3|<a 的解集是非空集合,则实数 a 的取值范围是________. 分析 可以根据对|x+2|+|x-3|的意义的不同理解,获得多种方法. 解法一 当 x≤-2 时, 不等式化为-x-2-x+3<a 即-2x+1<a 有解, 而-2x+1≥5, ∴a>5. 当-2<x≤3 时,不等式化为 x+2-x+3<a 即 a>5. 当 x>3 是,不等式化为 x+2+x-3<a 即 2x-1<a 有解,而 2x-1>5, ∴a>5. 综上所述:a>5 时不等式有解,从而解集非空. 解法二 |x+2|+|x-3|表示数轴上的点到表示-2 和 3 的两点的距离之 和,显然最小值为 3-(-2)=5.故可求 a 的取值范围为 a>5.

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解法三 利用|m|+|n|>|m±n|得 |x+2|+|x-3|≥|(x+2)-(x-3)|=5. 所以 a>5 时不等式有解. 说明:通过多种解法锻炼思维的发散性. 例 11 解不等式|x+1|>2-x. 分析一 对 2-x 的取值分类讨论解之. 解法一 原不等式等价于:

?2 -x≥ 0 ①? ?x+1> 2 -x或x+1<x- 2 ?2 -x< 0 或 ②? ?x∈R

?x≤2 ? 由①得 ? 1 ?x> 2 或1<-2 ?

?x≤2 ? 即? 1 1 ?x> 2 ,所以 2 <x≤2 ; ?
由②得 x>2.

1 1 综合①②得x> .所以不等式的解集为{x|x> }. 2 2
分析二 利用绝对值的定义对|x+1|进行分类讨论解之. 解法二 因为

? x+1,x≥-1 |x+1| = ? ?-x-1,x<-1
原不等式等价于:

?x ? 1≥ 0 ?x ? 1< 0 ①? 或② ? ?x ? 1> 2 ? x ?? x ? 1> 2 ? x

?x≥ ? 1 1 ? 由①得 ? 1 即x> ; 2 ?x> 2 ?
?x<-1 由②得 ? 即x∈?. ?-1> 2

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1 所以不等式的解集为{x|x> }. 2
例 12 解不等式|x-5|-|2x+3|<1. 分析 设法去掉绝对值是主要解题策略,可以根据绝对值的意义分

3 区间讨论,事实上,由于x=5时,|x-5| = 0,x=- 时|2x+ 3| = 0. 2 3 所以我们可以通过- ,5将x轴分成三段分别讨论. 2

3 解 当x≤- 时,x-5< 0, 2x+ 3≤ 0所以不等式转化为 2
-(x-5)+(2x+3)<1,得 x<-7,所以 x<-7;

3 当- <x≤5时,同理不等式化为 2
-(x-5)-(2x+3)<1,

1 1 解之得x> ,所以 <x≤5; 3 3
当 x>5 时,原不等式可化为 x-5-(2x+3)<1, 解之得 x>-9,所以 x>5.

1 综上所述得原不等式的解集为{x|x> 或x<- 7}. 3
说明:在含有绝对值的不等式中, “去绝对值”是基本策略. 例 13 解不等式|2x-1|>|2x-3|. 分析 本题也可采取前一题的方法:采取用零点分区间讨论去掉绝

对值,但这样比较复杂.如果采取两边平方,即根据|a| >|b| ? a 2 >b 2 解
之,则更显得流畅,简捷. 解 原不等式同解于 (2x-1)2>(2x-3)2,

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即 4x2-4x+1>4x2-12x+9, 即 8x>8,得 x>1. 所以原不等式的解集为{x|x>1}. 说明:本题中,如果把 2x 当作数轴上的动坐标,则|2x-1|>|2x-3|表示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离,则 2x 应当在 2 的右边,从而 2x>2 即 x> 1.


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