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【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-2同步练习:第2章 变化率与导数(二)]


第二章 变化率与导数 同步练习(二)
1. 曲线 y=x3-3x2+1 在点(1,-1)处的切线方程为( A.y=3x-4 D.y=4x-5 B.y=-3x+2 )

C.y=-4x+3

2. 函数 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 2 处的导数为( A. 5 B. 6 C. 7

) D. 8

3. 如图,已知质点 P 在半径为 2cm 的圆上做匀角速度运动(逆时针) ,角速度

? ? 1rad / s ,设 A( 2,0) 为起点,则在时刻 t ?
速度是( )

?
3

( s ) 时,点 P 在 x 轴上的摄影点 M 的
P

O
A. ? 1cm / s C. ? 3cm / s B. 1cm / s D.

M

x

3cm / s

4. 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? x 的图像上一点(-1,-2)及邻近一点( ? 1 ? ?x,?2 ? ?f ) 则
?f ?( ?x

) B. 3?x ? (?x) 2 C. 3 ? (?x) 2 D.

A.3
3 ? ?x

5. 汽车在笔直公路上行驶,如果 v(t ) 表示时刻 t 的速度,则 v ?(t 0 ) 的意义是(



A. 表示当 t ? t 0 时汽车的加速度 B. 表示当 t ? t 0 时汽车的瞬时速度 C. 表示当 t ? t 0 时汽车的路程变化率 D. 表示当 t ? t 0 时汽车与起点的距离

6. 若曲线 y ? x 2 ? 1 与 y ? 1 ? x 3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 的值为 A.
2 3

B.

1
3

6

C. ? 3

1 6

D. ?

2 或0 3

7. 如图,当点 Pj ( x j , f ( x j )) ( j ? 1,2,3,4) 沿着曲线 y ? f ( x ) 趋近于点 P0 ( x0 , f ( x0 )) 时,函数 f ( x ) 从点 Pj 到点 P0 的平均变化率的大小关系是( A. k P0 P3 ? k P0 P1 ? k P0 P2 ? k P0 P4 B. k P0 P1 ? k P0 P2 ? k P0 P3 ? k P0 P4 C. k P0 P4 ? k P0 P2 ? k P0 P1 ? k P0 P3 D. k P0 P1 ? k P0 P2 ? k P0 P3 ? k P0 P4
P4

y
P2



P0

P1

O

P3

x

y = f (x)

8. 已知命题 p : f ( x) 的导函数是常数函数,且命题 p 是 q 的必要不充分条件,则 q 不可能是( ) B. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? 2 x D. f ( x) ? 3 ? x

A. f ( x ) ? 3

9. 函数 y ?

sin x ? 2 cos x 的导数为( x2



A.

? 2 x(sin x ? 2 cos x ) x4 ? 2 x(cos x ? 2 sin x ) x4

B.

C.

x 2 (cos x ? 2 sinx ) ? 2 x(sinx ? 2 cos x ) x4 x 2 (cos x ? 2 sinx ) ? 2 x(sinx ? 2 cos x ) x4

D.

10. 函数 f ( x) ? mx2m?n 的导数为 f ?( x) ? 4 x 3 ,则 n ? m ? _________ 。

11. 已知曲线 y=

1 3 4 x + ,则过点 P(2,4)的切线方程是_____________。 3 3

12. 过点 P(-1,2)且与曲线 y=3x -4x+2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线 方程是______。

2

13. 函数 y=x2 的曲线上点 A 处的切线与直线 3x-y+1=0 的夹角为 45°,则点 A 的 坐标为___________。

14. 半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r2,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的 变量, 则( ? r2)′=2 ? r 周长函数。 ①, ①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式 子: ②, ②式可以用语言叙述为: 。

15. 已知曲线 y ? 5 x ,求 ⑴曲线上与 y ? 2 x ? 4 平行的切线的方程; ⑵过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程。

16. 曲线 y=x3 在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

17. 已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y= kx,且直线 l 与曲线 C 相切于点(x0,

y0) (x0≠0) ,求直线 l 的方程及切点坐标。

18. 点 P 在曲线 y=x3-x+

2 上移动,设点 P 处切线的倾斜角为 ? ,求 ? 的范围。 3

19. 曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中,求斜率最小的切线方程。

20.

已 知 f ( x) ? x 2 ? ax ? b, g( x) ? x 2 ? cx ? d , 又 f (2 x ? 1) ? 4 g ( x) , 且

f ?( x) ? g ?( x) ,
f (5) ? 30 ,求 g (4) 。

参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. B C C D A B A

由直线的倾斜角与斜率的大小关系可得 A。

y
P2 P4
P0

P1

O

P3

x

y = f (x)

8. 9. 10.

B D 3 析:由于 f ?( x) ? m(2m ? n) x 2m?n?1 ? 4x 3 ,

?m( 2m ? n) ? 4 则? ?2m ? n ? 1 ? 3
11. 4x-y-4=0 12. 2x-y+4=0 13.(

?m ? 1 解得 ? ?n ? 2

1 1 , )或(-1,1) 4 16

解析:设点 A 的坐标为(x0,y0) , 则 f ?( x0 ) ? 2 x0 ? k1 ,又直线 3x-y+1=0 的斜率 k2=3, ∴tan45°= 1 =

| k 2 ? k1 | 3 ? 2 x0 = | 1 ? ?k 2 k1 | 1 ? 6 x0

解得

x0=

1 或 x0=-1 4 1 1 , )或(-1,1) 。 4 16

即 A 点坐标为(

4 4 4 14. 由于 V球 ? ?R 3 ,又 ( ?R 3 )? ? 4?R 2 。 所以填 ( ?R 3 )? ? 4?R 2 ,用语言叙述为 3 3 3

“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 ” 15. (1) y ? ?
5 2 x ? 2得x ?
25 ? 25 25 ? ,代入函数方程得切点 ? , ? , 16 ? 16 4 ?

切线方程为 y ?

25 25 ? 2( x ? ) ,即 16x ? 8 y ? 25 ? 0 4 16

(2)设切点 M ( x0 , y0 ) ,则切线方程为 y ? 5 ?

5 2 x0

x ,所以有 y0 ? 5 ?

5 2 x0

x0 ,

又因为 y0 ? 5 x0 ,联立得切点坐标 (4,10) ,切线方程为 5 x ? 4 y ? 20 ? 0 。 16. 解析:曲线在点( 3, 27)处切线的方程为 y=27x- 54 , 此直线与 x 轴、 y 轴交点分别为( 2, 0)和( 0,-54) , ∴切线与坐标轴围成的三角形面积是 S=
1 ×2×54=54。 2

17. 解析:∵直线过原点,则 k=

y0 (x0≠1) , x0

由点(x0,y0)在曲线 C 上,则 y0=x03-3x02+2x0,又点(x0,y0)在直线 y=kx 上, ∴k=
y0 =x02-3x0+2 x0

又 y′=3x2-6x+2, ∴在(x0,y0)处曲线 C 的切线斜率应为 k= f ? (x0)=3x02-6x0+2

∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2 整理得 2x02-3x0=0 解得 x0=
3 (∵x0≠0) 2 3 1 ,k=- 4 8 3 1 3 x,切点坐标是( ,- ) 。 4 2 8

这时,y0=-

因此,直线 l 的方程为 y=-

18. 解:∵tan ? =3x2-1, ∴tan ? ∈[-1,+∞) 当 tan ? ∈[0,+∞)时, ? ∈[0, 当 tan ? ∈[-1,0)时, ? ∈[ ∴ ? ∈[0,
2

π ) 2

3π ,π) 4

π 3π )∪[ ,π) 4 2

19. 解: y ? =3x +6x+6= 3( x ? 1) 2 ? 3 , ∴ 当 x =-1 时 切线最小斜率为 3, 此时 y=(-1)3+3×(-1)2+6(-1)-10=-14 ∴切线方程为 y+14=3(x+1) ,即 3x-y-11=0。

20. 解:由题意知

?4 ? 2a ? 4c ?a ? b ? 1 ? 4 d ? ? ?a ? c ? ?5a ? b ? 5
解得 a ? c ? 2, b ? ?5, d ? ?
1 2

所以 g ( 4) ?

47 。 2


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