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指数对数函数图像与性质(含答案)


指数函数与对数函数
知识点一:对数函数与指数函数的图像与性质 表 1 域 值 域 图 象 过定点 (0,1) 减函数 性 质
a?b

指数函数

对数数函数

y ? a x ? a ? 0, a ? 1?
x?R

y ? loga x ? a ? 0, a ? 1?
x ? ? 0, ???

y ? ? 0, ???

y?R

过定点 (1, 0) 减函数 增函数

增函数

a?b

a?b

a?b

知识点二:对数函数与指数函数的基本运算 指数函数:
(1)ar ? as ? _______(a ? 0, r, s ? R)
(3) ? a
r s

( 2a )r ? as ?
( 4? )a b ? ?
r

_ _ _ _a _? _ _r ( s?R 0, ,
______ a _b ? _ ( ,? r 0 R,

)
)

?

? _______(a ? 0, r , s ? R)
a

对数函数:恒等式: a log

N

? N ; loga a b ? b

① loga (M · N ) ? ___________________ ③ loga M n ? _________________________.
n

_② log a

M ? __________________________ N loc gb loa gb ? loc ga
n

(4)几个小结论:① loga bn ? _____ ;② loga n M ? ______ ;③ loga bm ? _______ ④ loga b ? logb a ? ____
loa g ? 1 ____ ;l ?o g aa

. _____
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例题 1:

1 ? x 2 ? 2 x ?1 ( ) 1 求函数 y = 的定义域、值域、单调区间. 2
2 求函数 y

= log 2 (x2 -5x+6)
( x 2 ? ax ? 3 a ) 2

的定义域、值域、单调区间.

3 函数 y ? log 1

在区间 [2,??) 上是减函数,求实数 a 的取值范围。
x? 1 2

4 设 0≤x≤2,求函数 y= 4 练习 2:

a2 ? a ? 2 ? ? 1 的最大值和最小值. 2
x

1、已知 f (10x ) ? x ,则 f (5) ? ( A、 105 B、 510

) D、 lg 5 )

C、 lg10

2、对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是( ①若 M ? N 则 loga M ? loga N ; ③若 loga M 2 ? loga N 2 则 M ? N ; A、①②③④ B、①③

②若 loga M ? loga N 则 M ? N ; ④若 M ? N 则 loga M 2 ? loga N 2 。 C、②④ D、② )

3、设集合 S ? {y | y ? 3x , x ? R}, T ? {y | y ? x2 ?1, x ? R} ,则 S T 是 ( A、 ? B、 T C、 S D、有限集 ) C、 ? 2, ?? ? D、 ?3, ?? ? )

4、函数 y ? 2 ? log2 x( x ? 1) 的值域为( A、 ? 2, ??? B、 ? ??,2?

5、在 b ? log( a?2) (5 ? a) 中,实数 a 的取值范围是( A、 a ? 5或a ? 2
2

B、 2 ? a ? 3或3 ? a ? 5
2

C、 2 ? a ? 5 ) D、3 )

D、 3 ? a ? 4

6、计算 ? lg 2 ? ? ? lg 5 ? ? 2 lg 2 ? lg 5 等于( A、0 B、1 C、2

7、已知 a ? log3 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用 a 表示是( A 、 5a ? 2 B、 a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)2

D、 3a ? a 2 ? 1
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8、若 102 x ? 25 ,则 10? x 等于( A、
1 5

) D、
1 625

1 1 C、 5 50 2 x 9、若函数 y ? (a ? 5a ? 5) ? a 是指数函数,则有(

B、 ?

) D、 a ? 0 ,且 a ? 1 )

A、 a ? 1 或 a ? 4

B、 a ? 1

C、 a ? 4

x 10、当 a ? 1 时,在同一坐标系中, 函数 y ? a ? x 与 y ? loga 的图象是图中的(

11、已知 x ? 1 ,则与 A、
1 log 60 x

1 1 1 + + 相等的式子是( log3 x log4 x log5 x

) D、
12 log3 x ? log 4 x ? log5 x

B、

1 log3 x ? log 4 x ? log5 x

C、

1 log x 60

13、 若函数 f (x) ?log a(0 x ?a 1 ? ) A、
2 4

在区间 ? a, 2a? 上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a 的值为 ( C、
1 4



B、

2 2

D、

1 2

14、下图是指数函数(1) y ? a x , (2) y ? b x , (3) y ? c x , (4) y ? d x 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( A、 a ? b ? 1 ? c ? d C、 1 ? a ? b ? c ? d )
(1) y (2) (3) (4)

B、 b ? a ? 1 ? d ? c D、 a ? b ? 1 ? d ? c
O

1 x

1 |1? x| ? m 的图象与 x 轴有公共点, 15、若函数 y ? ( ) 2
则 m 的取值范围是( A、 m ? ? 1 ) C、 m ? 1 D、 0 ? m ? 1

B、 ?1 ? m ? 0

第 3 页 共 3 页

16 已知 f ( x) ? log 2

1? x 1? x

(1)求 f ( x) 的定义域;

(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围。

x ?3? x ) 17、已知 f ( x) ? log(2 , 4

2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求取得最大值时的 x 的值.

18.已知函数

1 ax2 ? 4 x ?3 f ( x) ? ( ) . 3

(1)若 a ? ?1 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) 有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f ( x) 的值域是(0,+∞),求 a 的取值范围

第 4 页 共 4 页

选择题:DDCCC 16、(1)由于

BBBAC

AAABB

1? x ? 0 ,即 ?1 ? x ? ? ?1 ? x ? ? 0 ,解得: ?1 ? x ? 1 1? x 1? x ∴函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) 1? x 1? x 1? x ? 0 ? log 2 ? log 2 1 ∵以 2 为底的对数函数是增函数, (2) f ( x) ? 0 ,即 log 2 1? x 1? x 1? x ? 1, x ? (?1,1),?1 ? x ? 0,?1 ? x ? 1 ? x ? x ? 0 ∴ 1? x 1? x 又∵函数 f ( x) ? log 2 的定义域为 (?1,1) ,∴使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为 (0,1) 1? x 17、解:(1)由 2 x ? 3 ? x2 ? 0 ,得函数 f ( x) 的定义域为 (?1,3)

令 t ? 2 x ? 3 ? x2 , x ? (?1,3) ,由于 t ? 2 x ? 3 ? x2 在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递 减,而 f ( x) ? logt4 在 R 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为(-1,1],递减区间为[1,3) (2)令 t ? 2 x ? 3 ? x2 , x ? (?1,3) ,则 t ? 2x ? 3 ? x2 ? ?( x ?1)2 ? 4 ? 4 ,
x ?3? x ) 所以 f ( x) ? log(2 ? logt4 ? log4 4 4 ? 1 ,所以当 x ? 1 时, f ( x ) 取最大值 1.
2

18、解:(1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( ) ? x ? 4 x ?3 , 令 g ( x) ? ? x2 ? 4x ? 3 , 由于 g ( x) 在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而 y ? ( )t 在 R 上单调递减, 所以 f ( x) 在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数 f ( x) 的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2)令 h( x) ? ax2 ? 4x ? 3 ,则 y ? ( ) h ( x ) ,由于 f ( x) 有最大值 3,所以 h( x) 应有最小值 ?1 ,
?a ? 0 因此必有 ? ,解得 a ? 1 .即当 f ( x) 有最大值 3 时, a 的值等于 1. ?12a ? 16 ? ?1 ? ? 4a
1 3
1 3

1 3

2

(3)要使 y ? ( ) h ( x ) 的值域为(0,+∞).应 h( x) ? ax2 ? 4x ? 3 的值域为 R ,只能有 a ? 0 。 因为若 a ? 0 ,则 h( x) 为二次函数,其值域不可能为 R 。故 a 的取值范围是 a ? 0 .

1 3

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