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高中数学必修2知识点总结:第四章


高中数学必修2知识点总结
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程: ( x ? a)
2

? ( y ? b)2 ? r 2

圆心为 A(a,b),半径为 r 的圆的方程 2、点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) (1) ( x0 (3) ( x0
2

/>
? ( y ? b)2 ? r 2 的关系的判断方法:
(2) ( x0

? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内

? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上

4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程: x
2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

2、圆的一般方程的特点: (1)①x2 和 y2 的系数相同,不等于 0. ②没有 xy 这样的二次项.

(2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E、F,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了. (3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半 径大小,几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. 设直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,圆的半径为 r ,圆心 (?
2 2

D E , ? ) 到直线的距离 2 2

为 d ,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相离; (2)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相切; (3)当 d ? r 时,直线 l 与圆 C 相交;

4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系. 设两圆的连心线长为 l ,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相离; (2)当 l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 外切; (3)当 | r1 ? r2 |? l ? r1 ? r2 时,圆 C1 与圆 C 2 相交;

1

(4)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内切; (5)当 l ?| r1 ? r2 | 时,圆 C1 与圆 C 2 内含;

4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
R M O P Q M' y

4.3.1 空间直角坐标系
1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点

y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴
x

3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标, 坐标。

y 叫做点 M 的纵坐标, z 叫做点 M 的竖
z

4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点 P ( x1 , y1 , z1 ) 到点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 之间的距离公式 1

P2 P1 O M1 N1 x M M2 H N2 y N

P1 P2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

一、知识概述 1、圆的标准方程 圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 由于圆的标准方程中含有三个参数 a,b,r,因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆.

2

2、圆的一般方程 对于方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0.

(1)当 D2+E2-4F>0 时,方程表示以 程就叫做圆的一般方程.

为圆心、

为半径的圆.此时方

(2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示一个点 (3)当 D2+E2-4F<0 时,方程不表示任何图形.



即圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 圆的一般方程也含有三个待定的系数 D,E,F,因此必须具备三个独立条件,才能确定一个圆. 3、圆的参数方程

(1)以(a,b)为圆心,r 为半径的圆的参数方程为

,特别地,以原点

为圆心的圆的参数方程为

.

(2)θ 的几何意义:圆上的点与圆心的连线与过圆心和 x 轴平行的直线所成的角. 4、用待定系数法求圆的方程的大致步骤是: (1)根据题意选择方程的形式:标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D,E,F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D,E,F,代入标准方程或一般方程. 二、重难点知识归纳:1、理解圆的定义,以及圆的标准方程与一般方程的推导.2、注意圆的一般方 程成立的条件.3、利用待定系数法求圆的方程. 三、典型例题剖析

3

例 1、(1)已知圆心在直线 5x-3y=8 上,又圆与坐标轴相切,求此圆的方程; (2)圆心在 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于(2,-1),求圆的方程. 分析:(1)圆心在 5x-3y=8 上,又与两坐标轴相切,则圆心又在 y=x 或 y=-x 上,这样就能求出圆心 及半径; (2)圆心在 y=-2x 上,与 y=1-x 相切于(2,-1),知圆心在过(2,-1)且垂直于 y=1-x 的直线 上; 解:(1)设所求圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 圆心在 5x-3y=8 上,又与坐标轴相切,

解得



∴圆心坐标为(4,4)或(1,-1),半径为 r=|x0|=4 或 r=|x0|=1. ∴所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16,或(x-1)2+(y+1)2=1. (2)设圆心为(a,-2a),由题意,圆与 y=1-x 相切于点(2,-1),则

. 所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

解得 a=1,所求圆心为(1,-2),半径 r=



例 2、已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;(2)若曲线 C 与直线 x +2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值.分析:要考虑圆的一般方程成立的前 提条件.

解:(1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+y1y2=0.

联立方程组

消去 y 得 5x2-8x+4m-16=0.

4

由韦达定理得 x1+x2=

①,x1x2=

②.又由 x+2y-4=0 得 y=

(4-x),

∴x1x2+y1y2=x1x2+

(4-x1)·

(4-x2)=

x1x2-(x1+x2)+4=0. 将①、②代入得 m=

.

例 3、 已知动点 M 到定点 A(3, 0)与定点 O(0, 0)的距离之比为常数 k(k>0), 求动点 M 的轨迹. 分 析:按直接法求出轨迹方程.为说明轨迹类型,对 k 进行分类讨论.

解:设 M(x,y),由题意得

,即|MA| =k |MO| .
2 2 2

代入坐标得(x-3)2+y2=k2(x2+y2),化简得(k2-1)x2+(k2-1)y2+6x-9=0.①当 k=1 时,方程化为

,轨迹是线段 AO 的垂直平分线.②当 k>0 且 k

1 时,方程化为



轨迹是以

为圆心,

为半径的圆.

例 4、已知曲线 C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中 k (1)求证:曲线 C 都表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上; (2)证明:曲线 C 过定点; (3)若曲线 C 与 x 轴相切,求 k 的值. (1)证明:原方程可化为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2.①

-1.

∵k

-1,∴5(k+1)2>0.故方程表示圆心在(-k,-2k-5)、半径为

|k+1|的圆.

设圆心为(x,y),有

消去 k,得 2x-y-5=0.

∴这些圆的圆心都在直线 2x-y-5=0 上. (2)证明:将原方程变形为 k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0.②

5

上式关于参数 k 是恒等式.

解得 (3)解:∵圆 C 与 x 轴相切,

∴曲线 C 过定点(1,-3).

∴圆心到 x 轴的距离等于半径,

即|-2k-5|=

|k+1|.两边平方,得(2k+5)2=5(k+1)2.



例 5、直线 l 经过点 P(5,5),且和圆 C:x2+y2=25 相交,截得弦长为

,求 l 的方程.

解析:设直线 l 的方程为 y-5=k(x-5),且与圆 C 交于两点 A(x1,y1)、B(x2,y2),

消去 y 得



,解得 k>0.



. 由斜率公式,得



.两边平方,整理得 2k2-5k+2=0.

解得 k= ?

或 k=2 符合题意.故直线 l 的方程为 x-2y+5=0 或 2x-y-5=0.

判断直线 l 与圆 C 位置关系的两种方法:

6

①判断直线 l 与圆 C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解,直线 l 与圆 C 有公共点.有两组 实数解时,直线 l 与圆相交;有一组实数解时,直线 l 与圆相切;无实数解时,直线 l 与圆 C 相离. ②判断圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径长 r 的关系.如果 d<r,直线与圆相交;如果 d=r, 直线 l 与圆相切;如果 d>r,直线 l 与圆 C 相离. ? 圆与圆的位置关系

设圆 C1 的半径为 R,圆 C2 的半径是 r,圆心距为 d,则 ①当 d>R+r 时,两圆相离;②当 d=R+r 时,两圆外切; ③当|R-r|<d<R+r 时,两圆相交;④当 d=|R-r|时,两圆内切;⑤当 d<|R-r|时,两圆内含. ? 空间直角坐标系

空间直角坐标系三要素:原点、坐标轴方向、单位长.常用对称点坐标: 点 P(x,y,z)关于 x 轴对称:点 P1(x,-y,-z); 点 P(x,y,z)关于 y 轴对称:点 P2(-x,y,-z); 点 P(x,y,z)关于 z 轴对称:点 P3(-x,-y,z); 点 P(x,y,z)关于平面 xOy 对称:点 P4(x,y,-z); 点 P(x,y,z)关于平面 yOz 对称:点 P5(-x,y,z); 点 P(x,y,z)关于平面 xOz 对称:点 P6(x,-y,z); 点 P(x,y,z)关于原点成中心对称:点 P7(-x,-y,-z). ? 空间两点间的距离公式

空间点 典型例题剖析



间的距离是



例 1、(1)求圆心在 C(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为

的圆的方程;

7

(2)求圆 x2+y2=4 上与直线 4x+3y-12=0 距离最小的点的坐标. 分析:(1)应用圆的标准方程,只需借助几何图形,用勾股定理求出 r; (2)借助图形转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系,可求出过圆心与 4x+3y-12=0 垂直的 直线方程. 解:(1)设圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=r2,由题设圆心到直线 y=x-1 的距离

.又直线 y=x-1 被圆截得弦长为 求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.







(2)过圆心(0,0)作直线 4x+3y-12=0 的垂线,垂线方程为

.①

直线①与圆 x2+y2=4 的靠近直线 4x+3y-12=0 的交点就是所要求的点.

解方程组

解得





是与直线 4x+3y-12=0 距离最远的点,而点

是与直线 4x+3y-12=0 距离最短

的点. 故所求点的坐标为

.

例 2、设 P 在 x 轴上,它到点

的距离为到点

的距离的两倍,求点 P 的坐标.解

析:因为点 P 在 x 轴上,设点 P 的坐标为(x,0,0)





故点 P 的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).

8

例 3、求与两平行直线 x+3y-5=0 和 x+3y-3=0 相切,圆心在 2x+y+3=0 上的圆的方程.

解析:设所求圆的方程是(x-a) +(y-b) =r .
2 2 2

由已知,两平行线之间的距离是 .



所以,所求圆的半径长是

由于圆心(a,b)到直线 x+3y-5=0 和 x+3y-3=0 的距离都是

,于是

,且

.即|a+3b-5|=1,且|a+3b-3|=1.

又圆心在 2x+y+3=0 上,于是有 2a+b+3=0.

解方程组

,得





时,不满足|a+3b-3|=1,所以,

所以,所求圆的方程为



例 4、求半径为 4,与圆 x2+y2-4x-2y-4=0 相切且和直线 y=0 相切的圆的方程.、解析:依

题意,所求圆与直线 y=0 相切且半径为 4,则圆心的坐标为 圆心坐标为 ,半径 r=3,若两圆相切,则 或

或 .

,又已知圆的

(1)当圆心为 所求圆的方程为

时,有(a-2)2+(4-1)2=72,解得 或

,或(a-2)2+(4-1)2=12,无解.故 .

9

(2)当圆心为

时,有(a-2)2+(-4-1)2=72,解得 或

,或(a-2)2+(-4-1)2=12,无 .

解.故所求的圆的方程为

综合(1)(2)可知所求圆的方程为 或





例 5、由一点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 C:x2+y2-4x -4y+7=0 相切,求光线 l 所在直线的方程. 解析:因为点 A(-3,3)关于 x 轴的对称点为 ,设直线 l1 的斜率为 k,则过点 的直线 l

的方程为 y+3=-k(x+3),将 y=-k(x+3)-3 代入圆的方程,整理得 (1+k2)x2+2(3k2+5k-2)x+(9k2+30k+8)=0, 若直线 l1 与圆相切,则 ,即 12k2+25k+12=0,

解之得

,或



所以,所求直线 l 的方程为 y-3=

(x+3),或 y-3=

(x+3),

即 3x+4y-3=0,或 4x+3y+3=0

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