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2013-2014学年高一数学同步课件:3.2章末复习(新人教A版必修1)


? 章末复习课

? 知识网络

? 要点归纳 ? 1.对于函数y=f(x),x∈D,使f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x),x∈D的零点. ? 2.方程的根与函数的零点的关系:方程f(x) =0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有 交点?函数y=f(x)有零点. ? 3.函数的零点的存在性定理:如果函数y =f(x)在区间[

a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函 数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得f(c)=0.

? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]内若不连续, 则f(a)·f(b)<0与函数y=f(x)在区间(a,b) 内的零点个数没有关系(即:零点存在性定 理仅对连续函数适用). ? (2)连续函数y=f(x)若满足f(a)·f(b)<0, 则在区间(a,b)内至少有一个零点;反过 来函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点不一 定有f(a)·f(b)<0,若y=f(x)为单调函数, 则一定有f(a)·f(b)<0.

? 4.二分法只能求出连续函数变号零点,另 外应注意初始区间的选择,依据给出的精 确度,计算时及时检验. ? 5.解决函数应用题关键在于理解题意,提 高阅读能力.一方面要加强对常见函数模 型的理解,弄清其产生的实际背景,把数 学问题生活化;另一方面,要不断拓宽知 识面.求解函数应用问题的思路和方法, 我们可以用示意图表示为:

? 专题一 函数的零点与方程的根的问题 ? 确定函数零点的个数有两个基本方法:一是 利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个 函数图象的交点个数定性判断.二是利用零点 存在性定理判断,但还需结合函数的图象和单 调性,特别是二重根容易漏掉. ? 函数的零点是一个实数而非一个点,函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的 实数根,也就是函数y=f(x)的图象与y=g(x) 的图象交点的横坐标.

【例1】

?2x,x≥0, ? 设函数f(x)=? ?-x,x<0. ?

(1)f(x)有零点吗? (2)设g(x)=f(x)+k,为了使方程g(x)=0有且只有一个根,k应 该怎样限制? (3)当k=-1时,g(x)有零点吗?如果有,把它求出来,如果没 有,请说明理由; (4)你给k规定一个范围,使得方程g(x)=0总有两个根.

? ? ? ? ?

解 (1)画出f(x)的图象,如图(1),从图象 可以看出,图象与x轴没有交点,f(x)没有 零点. (2)从图(1)可以看出f(x)>0. 对于g(x)=f(x)+k,为了使方程g(x)=0有且 图(1) 只 ? 有一个根,f(x)的图象必须向下移动,但移 动的幅度要小于1,否则g(x)=0就有两个根 了. ? k应该限制为-1<k<0. ? 几何解释如图(2)

? (3)有,x=0,它来源于2x-1=0; ? x=-1,它来源于-x-1=0. ? (4)规定k的范围是{k|k≤-1}.
图(2)

? 专题二 函数模型及应用 ? 应用函数知识解应用题的关键在于深入理 解题意,用变化的观点分析和探求具体问 题中的数量关系,寻求已知量与未知量之 间的内在联系,然后将这些内在联系与数 学知识联系起来,建立函数关系式或列出 方程,利用函数性质或方程观点求解.

【例2】 有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所获得的 利润依次是P和Q(万元),它们与投入资金x(万元)的关系,有 x 3 经验公式:P= ,Q= x .今有3万元资金投入经营甲、乙两 5 5 种商品,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分 别应为多少?能获得最大利润是多少?



设对甲种商品投资x万元,则乙种商品投资为(3-x)万

元,总利润y万元,据题意有: 1 3 y= x+ 5 5 令 3-x(0≤x≤3).

3-x=t,则x=3-t2,0≤t≤ 3,

1 3 1? 3?2 21 2 所以y= (3-t )+ t=- ?t-2? + ,t∈[0, 3]. 5 5 5? 20 ? 3 当t= 时,ymax=1.05,此时x=0.75,3-x=2.25. 2 由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入 应分别为0.75万元和2.25万元,获得总利润为1.05万元.

? 专题三 函数与方程思想的应用 ? 函数与方程有密切的联系,函数的思想是 从变量出发研究的整体性质,而方程则是 从未知数的角度出发研究函数在某一状态 下的性质.函数问题和方程问题可以相互 转化.函数f(x)的零点对应着方程f(x)=0的 根,方程的问题又可利用函数的性质解 决. ? 本章函数与方程思想的应用,主要体现在: 求方程f(x)=0的实数根,就是确定函数y= f(x)的零点,就是求函数y=f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标;其次,在应用题中利用

【例3】 若关于x的方程x2+mx+m-1=0有一个正根和一个 负根,且负根的绝对值较大,求实数m的取值范围. 解 m 令f(x)=x +mx+m-1,其图象的对称轴为x=- .因为 2
2

方程x2+mx+m-1=0有一个正根和一个负根, 则函数f(x)有两个零点x1,x2. 由题意不妨设x1>0,x2<0,且|x2|>|x1|, 画出函数f(x)的图象如图所示. 则函数f(x)满足

则函数f(x)满足 ?f?0?=m-1<0, ? ? m ∴0<m<1. ?- 2 <0, ? 故所求实数m的取值范围为(0,1).

? 专题四 数形结合思想的应用 ? 函数的解析式与函数图象是函数的两种不 同表现形式,因此在解决数学问题时,可 以通过数与形的相互转化达到“以形助数, 以数解形”的目的,数形结合的思想可以 将复杂问题简单化,抽象问题直观化,此 类问题通常是解的个数的判断和解的范围 的确定等.

? 【例4】 设函数f(x)=x-1,g(x)=log6(x+ 3)(x>-3),若f(x)<g(x),求x的整数解. ? 解 在同一坐标系内,作出函数f(x)与g(x) 的图象如图所示, ? 则两函数图象有两个交点,一个交点的横 坐标显然在-3和-2之间,另一个交点设 为P. ? 设φ(x)=g(x)-f(x), ? ∵φ(1)=g(1)-f(1)=log64>0, ? φ(2)=g(2)-f(2)=log65-1<0. ? 因此,1<xP<2, ? 所以f(x)<g(x)时,


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