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2016届湖北省钟祥市第一中学高三5月适应性考试(一)数学(文)试题


2016 届湖北省钟祥市第一中学高三 5 月适应性考试(一)数学(文) 试题
考试时间:2016 年 5 月 10 日 15:00—17:00

★祝考试顺利★
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时, 用 0.5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内,将答 案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? ? x |

? ?

1 ? ? 1? , N ? y | y ? 1 ? x 2 ,则 M ? N ? ( x ?
D.

?

?



A. (0,1) B.[0,1] C. ?0,1? 2.一个几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为 A. 28 ? 4 5 C. 18 ? 4 5 B. 24 ? 2 5 D.

? 0,1?

1 8? 2 5
2 2 2

3.已知正项数列{an}中,a1=l,a2=2, 2an ? an ?1 ? an?1 (n≥2) 则 a6= A.16 4.若复数 z 满足 B.4 C. 2 2 D.45

z ? i 2015 ? i2016 ( i 为虚数单位) ,则复数 z= 1? i
D.2i

A.1 B.2 C.I 5.下列命题中假命题的是 A. ? x0∈R,lnx0 <0 B. ? x∈(-∞,0),ex>x+1 C. ? x>0,5x>3x D. ? x0∈(0,+∞) ,x0<sinx0 6.如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的 T 是

A.1

B.2

C.3

D.4
共5页

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 1 页

7.将向量 a1 =(x1,y1), a2 =(x2,y2),… an =(xn,yn)组成的系列称为向量列{ an },并定义向

u u r u u r u u r u u r uu r u r u u r u u r 量列{ an }的前 n 项和 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an . 如果一个向量列从第二项起,每一项与前一 u u r 项的差都等于同一个向量,那么称这样的向量列为等差向量列。若向量列 { an }是等差 向量 列,那么下述四个向量中,与 s 21 一定平行的向量是 uu r uu r uu r uu r A. a10 B. a11 C. a20 D. a 21
ur

8.双曲线 M:

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点为 F1,F2,抛物线 N:y2=2px( p>0)的 a 2 b2

焦点为 F2,点 P 为双曲线 M 与抛物线 N 的一个交点,若线段 PF1 的中点在 y 轴上,则 该双曲线的离心率为 A. 3 +1 B. 2 +1 C.

3 ?1 2

D.

2 ?1 2

?3 x ? 4 y ? 10 ? 0 ? , 表示区域 D,过区域 D 中任意一点 P 作圆 x2+ y2 =1 的 9.已知不等式组 ? x ? 4 ?y ? 3 ?
两条切线且切点分别为 A,B,当∠PAB 最大时,cos∠PAB= A.

4 5
3

B.
2

1 2

C.

1 5

D

3 5

10.若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx(a, b ? R ) 的图象与 x 轴相切于一点 A(m,0)(m ? 0) ,且

f ( x) 的极大值为
A. ?

2 3

1 ,则 m 的值为( 2 3 B. ? 2

) C.

2 3

D.

3 2

11.如图,点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的表面上运动,且 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等。如果将正方体在平面内展开,那么动点 P 的 轨迹在展开图中的形状是

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 2 页

共5页

12.定义在区间(0,+∞)上的函数 f(x)使不等式 2f(x)< xf ?( x) <3f(x)恒成立,其中 f ?( x) 为 f(x) 的导数,则 A.8<

f (2) <16 f (1)

B.4<

f (2) <8 f (1)

C.3<

f (2) <4 f (1)

D.2<

f (2) <3 f (1)

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.如图所示,分别以 A,B,C 为圆心,在△ ABC 内作半径 为 2 的扇形 (图中的阴影部分) , 在△ ABC 内任取一点 P, 如果点 P 落在阴影内的概率为 是 .

1 ,那么△ ABC 的面积 3

14.已知数列{an}是递增的等比数列,且 a1+a4=9,a2a3=8. an+1 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,bn= ,则数列{bn}的前 n 项和 Tn 为 SnSn+1 15.已知函数 f(x) =ln(x+ x ?1 ) ,若正实数 a,b 满足 f(2a)+f(b-l)=0,则
2



1 1 ? 的最小值 a b

是____。 16.如图,在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a2=b2 +c2 +bc,a= 3 ,S 为△ ABC 的面积,圆 O 是△ ABC 的外接圆,P 是 圆 O 上一动点,当 S+ 3 cosBcosC 取得最大值时,PA ? PB 的最大值 为____. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) =2cosx(sinx-cosx)+m(m∈R),将 y=f(x)的图像向左平 移

uu r uur

? ? 个单位后得到 y=g(x)的图像,且 y=g(x)在区间[0, ]内的最大值为 2 . 4 4
3 B)=l,且 a+c=2,求△ ABC 4

(Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,若 g( 的周长 l 的取值范围.
高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 3 页 共5页

18. (本小题满分 12 分)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究,针对篮球运动员 在投篮命中时,运动员在篮筐中心的水平距离这项指标,对某运动员进行了若干场次的 统计,依据统计结果绘制如下频率分布直方图: 频率/组距

0.40

0.20 0.10 0.05 1 2 3 4 5 6 距篮筐中心的水 平距离(单位:米)

(Ⅰ)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离的中位数; (Ⅱ)若从该运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离为 2 到 5 米的这三组中,用分层 抽样的方法抽取 7 次成绩(单位:米,运动员投篮命中时,他到篮筐中心的水平距离 越远越好) ,并从抽到的这 7 次成绩中随机抽取 2 次.规定:这 2 次成绩均来自到篮 筐中心的水平距离为 4 到 5 米的这一组,记 1 分,否则记 0 分.求该运动员得 1 分的 概率.

19. (本小题满分 12 分)在平面四边形 ACBD (图①)中, ?ABC 与 ?ABD 均为直角三角 形且有公共斜边 AB ,设 AB ? 2 , ?BAD ? 30? , ?BAC ? 45? ,将 ?ABC 沿 AB 折 起,构成如图②所示的三棱锥 C '? ABD . (Ⅰ)当 C ' D ?

2 时,求证:平面 C ' AB ? 平面 DAB ;
C'

(Ⅱ)当 AC ' ? BD 时,求三棱锥 C '? ABD 的高.

C

A

B

A

B



D



D

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 4 页

共5页

20. (本小题满分 12 分)如图,已知点 F1,F2 是椭圆 Cl:

x2 2 +y =1 的两个焦点,椭圆 C2: 2

x2 2 +y = ? 经过点 F1, F2, 点 P 是椭圆 C2 上异于 F1, 2
F2 的任意一点,直线 PF1 和 PF2 与椭圆 C1 的交点分 别是 A,B 和 C,D.设 AB、CD 的斜率分别为 k, k'. (Ⅰ)求证 kk'为定值; (Ⅱ)求|AB|· |CD|的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) =lnx-mx+m. (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,对任意的 0<a<b,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? 。 b?a a(a ? 1)

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:平面几何选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂 直 BA 的延长线于点 F. 求证: (Ⅰ)∠DE A=∠DFA; (Ⅱ)AB2= BE· BD-AE· AC

23. (本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,曲线 C 的极坐标方程 为? ?

sin ? cos 2 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)作斜率为 l 直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,试求

1 1 ? 的值. | PA | | PB |

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|ax-1|+|x+2|,a>0. (Ⅰ)若 a=1,解不等式 f(x)≤5; (Ⅱ)若 f(x)≥2,求 a 的最小值.

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 5 页

共5页

钟祥一中 2016 届高三五月适应性考试(一)答案
一、选择题:A卷 1 B B卷: 1 D 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 B 9 C 10 D 11 B 12 B 2 A 3 D 4 D 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B 11 B 12 B

二、填空题 1 13. 6 ? 。 14. 1- n+1 . 2 -1 15. 3+2 2 16.

17.解: (Ⅰ)由题设得 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4

3 ? 3 2 ?

? g ( x) ? 2 sin[2( x ?
因 为 当 x ?[ 0 ,

?
4

) ? ] ? 1 ? m ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? m , 4 4
4

?

?

?
4

] 时 , 2 x ? ? ? [?

? ? ? 3? ,所以由已知得 2x ? ? , 即 x ? 时 , , ] 8 4 2 4 4

g ( x)m a x?
4
4

m ? 1; 2? m ? 1 ? ,所以 2
2 4
2

………6 分

(Ⅱ)由已知 g ( 3 B) ? 2 sin( 3 B ? ? ) ? 1 ,因为三角形中 0 ? 3 B ? 3? ,所以 ? ? 3 B ? ? ? 7? ,
2

4

2

4

4

所以 3 B ? ? ? 3? ,即 B ? ? ,又因为 a ? c ? 2 ,由余弦定理得:
2 4
3

3(a ? c)2 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c) ? 3ac ? (a ? c) ? ? 1, 4
2 2 2 2 2 2 2

当且仅当 a ? c ? 1 时等号成立,又? b ? a ? c ? 2 ,?1 ? b ? 2 ,所以 ?ABC 的周长

l ? a ? b ? c ?[3, 4) ,故△ABC 的周长 l 的取值范围是 [3, 4) .
18. 【解析】 (Ⅰ)设该运动员到篮筐的水平距离的中位数为 x,

………12 分

∵ 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.5 ,且 (0.40 ? 0.20) ? 1 ? 0.6 ? 0.5 ,∴ x ? [4,5] 由 0.40 ? (5 ? x) ? 0.20 ? 1 ? 0.5 ,解得 x = 4.25 ∴该运动员到篮筐的水平距离的中位数是 4.25 (米) . …………………4 分

2分

(II)由题意知,抽到的 7 次成绩中,有 1 次来自到篮筐的水平距离为 2 到 3 米的这一组, 记作 A1;有 2 次来自到篮筐的水平距离为 3 到 4 米的这一组,记作 B1,B2;有 4 次 来自到篮筐的水平距离为 4 到 5 米的这一组,记作 C1,C2,C3,C4 . 从 7 次成绩中随机抽取 2 次的所有可能抽法如下: (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A1,C2) , (A1,C3) , (A1,C4) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B1,C2) , (B1,C3) , (B1,C4) , (B2,C1) , (B2,C2) , (B2,C3) , (B2,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4)共 21 个基本事件. ……… 7 分 其中两次成绩均来自到篮筐的水平距离为 4 到 5 米的这一组的基本事件有 6 个.…10 分
高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 6 页 共5页

所以该运动员得 1 分的概率 P= 6 ? 2 .
21 7

……………… 12 分

C'

19. 解 (1) 当 C ?D ?

取 AB 的中点 O , 连 C ?O, DO , 在 Rt ?ACB , 2 时,

Rt ?ADB , AB ? 2 , 则 C ?O ? DO ? 1 , 又 ? C ?D ? 2 , A
? C ?O 2 ? DO 2 ? C ?D 2 ,即 C ?O ? OD ,…2 分
又 ? C ?O ? AB , AB ? OD ? O , AB, OD ? 平 面 ABD ,

O D

B

? C ?O ? 平面 ABD ,……………………4 分
…………………5 分 ? 平面 C ?AB ? 平面 DAB . ? ? ? ? (2)当 AC ? BD 时,由已知 AC ? BC ,∴ AC ? 平面 BDC ? ,…………………7 分 又? C ?D ? 平面 BDC ? ,∴ AC ? ? C ?D ,△ AC ?D 为直角三角形, 由勾股定理, C ?D ? AD 2 ? AC 2 ? 3 ? 2 ? 1 ……………………9 分 而△ BDC ? 中,BD=1, BC ? ? 2 ,∴△ BDC ? 为直角三角形, S? BDC? ? 1 ? 1? 1 ? 1 …10 分
2 2

又? C ?O ? 平面 ABC ?

1 3 三棱锥 C ? ? ABD 的体积 V ? 1 ? S ? ? AC ? ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 . S? ABD ? ? 1? 3 ? , ? BDC 2 2 3 3 2 6
设三棱锥 C ? ? ABD 的高为 h,则由 ? h ?

1 3

3 2 ? 2 6

解得 h ?

6 .……12 分 3

20.解: (Ⅰ)因为点 F1 , F2 是椭圆 C1 的两个焦点,故 F1 , F2 的坐标是 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) ; 而点 F1 , F2 是椭圆 C2 上的点,将 F1 , F2 的坐标带入 C2 的方程得, ? ?

1 2

设点 P 的坐标是: P( x0 , y0 ) ,直线 PF1 和 PF2 分别是 k , k ?(k ? 0, k ? ? 0) .

kk ? ?

y0 y0 ? ( x0 ? 1) ( x0 ? 1)
2

(1)

又点 P 是椭圆 C2 上的点,故 x0 ? y 2 ? 1 (2) 0
2 2

联合(1) (2)两式得 kk ? ? ?

1 2

(3)…….…… 4 分 (k ? 0)
? y ? k ( x ? 1) ? x2 2 ? ? y ?1 ?2

(Ⅱ)直线 PF1 的方程可表示为: y ? k ( x ? 1)

(4) (5)……. 5 分

结合方程(4)和椭圆 C1 的方程,得到方程组 ?

由方程组(5)得

( 1? 2 k2 x )2 ? 4 k 2 x? 2 k2 ? 2 ? 0 (6)

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 7 页

共5页

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 依韦达定理知,方程(6)的两根满足
x1 ? x2 ? ? 4k 2 2k 2 ? 2 ; x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
(7)……. 6 分

2 依(7)式得 AB ? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 2(1 ? k ) .(8)…8 分 2

1 ? 2k

同理可求得 CD ? 2(1 ? 4k ) 2
2

1 ? 2k

(9)

……. 10 分

由(8) (9)两式得

AB ? CD ?

4[4k 4 ? 5k 2 ? 1] 1 9 ? 4(1 ? )? 1 (1 ? 2k 2 ) 2 2 2 ? 4k ? 4 k2

当且仅当 k ? ?

2 9 时等号成立.故 AB ? CD 的最大值等于 . 2 2
x x

…….12 分

21. 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? 1 ? m ? 1 ? mx ( x ? (0, ??)) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,则函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,
'

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ,无单调递减区间; 当 m ? 0 时,由 f ' ( x) ? 1 ? m ? 1 ? mx ? 0 ,得 x ? (0,
x x
' 由 f ( x) ?

1 ), m

]

1 1 1 ? mx ?m ? ? 0 ,得 x ? ( , ?? ) , m x x 1 1 此时 f ( x ) 的单调递增区间为 x ? (0, ) ,单调递减区间为 ( , ?? ) …………… 4 分 m m
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:当 m≤0 时,f(x)在 (0, ??) 上递增,f(1)=0,显然不成立; 当 m>0 时, f ( x) max ? f ( 1 ) ? ln 1 ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1
m m

只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可,令 得函数 g ( x) 在(0,1)上单

g ( x) ? x ? ln x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 1 ? 1 ? x ? 1 , x ? (0, ??)
x x

调递减,在 (1, ??) 上单调递增.∴ g ( x)min ? g (1) ? 0

g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m ? (0, ??) 恒成立,
∴ m ? ln m ? 1 ? 0 ,解 m ? 1 ,∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,则 m ? 1 …8 分
b ln ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 , ? ? ?1 ? a ? ?1 b b?a b?a a ?1 a

(Ⅲ)证明: f (b) ? f (a)
b?a

) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立, 由 (Ⅱ) 得 f (x 即 ln x ? x ? 1 , 当且仅当 x ? 1 时去等号,
高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 8 页 共5页

又由 0 ? a ? b 得

b b b ? 1 ,所以有 0 ? ln ? ? 1 ,即 ln b a a a a b
a

?1



?1

则 ln a 1

, 1 1 ? a 1 ? a2 1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? b a a a a (1 ? a ) a ( a ? 1) ?1 a

b

则原不等式

f (b) ? f (a) 1 ? 成立 …………… 12 分 b?a a(a ? 1)

22.证明:(1)连结 AD,因为 AB 为圆的直径,所以∠ADB=90° , 又 EF⊥AB, ∠EFA=90° , 则 A、 D、 E、 F 四点共圆, ∴∠DEA= ∠DFA;……5 分 (2)由(1)知,BD· BE=BA· BF, 又△ABC∽△AEF,∴ AB· AF=AE· AC, ∴BE· BD-AE· AC=BA· BF-AB· AF=AB(BF-AF)=AB2。……10 分 23. (1)令 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , 代入得 y ? x2
?

,即

……5 分
2

x? t (2)设 A,B 两点对应参数为 t1,t2,直线 l 方程 ? ? 2

? ?y ? 2? 2 t ? ? 2

,代入 y ? x2 得

t 2 ? 2t ? 4 ? 0, t1t2 ? ?4, t1 ? t2 ? 2 ,
(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 3 2 ……10 分 1 1 1 1 ? ? ? ? ? PA PB t1 t2 t1t2 4

24 解:

? ?-2x-1,x<-2, -2≤x≤1, (Ⅰ)若 a=1,f (x)=?3, ? 2 x + 1 , x>1. ?
由 f (x)的单调性及 f (-3)=f (2)=5,得 f (x)≤5 的解集为{x|-3≤x≤2}.…5 分

? ?(1-a)x+3, (Ⅱ)f (x)=? ? ?(a+1)x+1,

-(a+1)x-1,x≤-2, 1 -2<x< , a 1 x≥ . a

当 x∈(-∞,-2]时,f (x)单调递减;当 x∈

[1 ,+∞)时,f (x)单调递增, a
1 1 (a )= a +2≥2,

又 f (x)的图象连续不断,所以 f (x)≥2 当且仅当 f (-1)=2a+1≥2,且 f 1 得 a≥ , 2 1 故 a 的最小值为 . 2 …10 分

高三五月适应性考试(一)数学(文)B 第 9 页

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