当前位置:首页 >> 数学 >> 高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》

高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》


金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 2010 年广东高考热点题型聚焦(五) 广东高考热点题型聚焦( 高考热点题型聚焦

《函数与导数》 函数与导数》
广东课标高考三年来风格特点 “保持以导数为工具研究函数的形态特征” 着眼于函数知识本身: 着眼于函数知识本身:重点关注函数中的有关知识,直接指向于考查分类与整合

的数 学思想方法和运算求解能力 着眼于导数工具作用: 着眼于导数工具作用:将导数作为研究函数单调性和极值(最值)态的工具,突出关 注函数在实际建模中的应用 文科参考题目: 文科参考题目: 2 2 1.已知函数 f ( x ) = x ? 2 ln x, h ( x ) = x ? x + a.
(Ⅱ)设函数 k ( x ) = f ( x ) ? h( x ), 若函数 k ( x ) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值 范围. 解: (Ⅰ)Q f ( x ) = 2 x ?
'

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值;

2 ,令 f ' ( x) = 0,Q x > 0 ∴ x = 1 x
1

x
f ' ( x) f (x)

(0,1) _


(1,+∞) +


0
1

所以 f (x ) 的极小值为 1,无极大值. (Ⅱ)Q k ( x ) = f ( x ) ? h( x ) = ?2 ln x + x ? a ∴ k ( x ) = ?
'

2 + 1 ,若 k ' ( x) = 0, 则 x = 2 x

当 x ∈ [1, 2 ) 时, f

'

( x ) < 0 ;当 x ∈ ( 2,3] 时, f ' ( x ) > 0 .

故 k ( x ) 在 x ∈ [1, 2 ) 上递减,在 x ∈ ( 2,3] 上递增.

?k (1) ≥ 0, ?a ≤ 1, ? ? ∴ ?k (2) < 0, ∴ ?a > 2 ? 2 ln 2, ∴ 2 ? 2 ln 2 < a ≤ 3 ? 2 ln 3. ?k (3) ≥ 0, ?a ≤ 3 ? 2 ln 3, ? ?
所以实数 a 的取值范围是 ( 2 ? 2 ln 2,3 ? 2ln 3] .

2.已知函数 f ( x ) = x 2 + ax + b ln x ( x > 0 ,实数 a , b 为常数). (Ⅰ)若 a = 1, b = ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值;

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源
(Ⅱ)若 a + b = ?2 ,讨论函数 f ( x ) 的单调性. 解:(Ⅰ)函数 f ( x) = x + x ? ln x ,则 f ′( x ) = 2 x + 1 ?
2

1 , x

令 f ′( x ) = 0 ,得 x = ?1 (舍去), x = 当0 < x < 当x>

1 . 2

1 时, f ′( x ) < 0 ,函数单调递减; 2

1 时, f ′( x ) > 0 ,函数单调递增; 2 1 3 ∴ f ( x ) 在 x = 处取得极小值 + ln 2 . 2 4 (Ⅱ)由于 a + b = ?2 ,则 a = ?2 ? b ,从而 f ( x ) = x 2 ? (2 + b) x + b ln x ,则 b (2 x ? b)( x ? 1) f ′( x) = 2 x ? (2 + b) + = x x b 令 f ′( x ) = 0 ,得 x1 = , x2 = 1 . 2 b 当 ≤ 0 ,即 b < 0 时,函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, +∞) ;…8 2
分 ① 当0 <

b < 1 ,即 0 < b < 2 时,列表如下: 2 b b (0, ) ( ,1) x 2 2

(1, +∞)

f ′( x) f ( x)

+

?

+

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, +∞) ,单调递减区间为 ( ,1) ; 当

b 2

b 2

b = 1 ,即 b = 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, +∞) ; 2 b ② 当 > 1 ,即 b > 2 时,列表如下: 2 b b (0,1) (1, ) ( , +∞) x 2 2 f ′( x) f ( x)

+

?

+

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , +∞) ,单调递减区间为 (1, ) ; 综上:当

b 2

b 2

b ≤ 0 ,即 b < 0 时,函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) ,单调递增区间为 (1, +∞) ; 2

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源
当0<

b b < 1 ,即 0 < b < 2 时,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ) , (1, +∞) ,单调递减区间为 2 2

b ( ,1) ; 2 b 当 = 1 ,即 b = 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, +∞ ) ; 2 b b b 当 > 1 ,即 b > 2 时,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) , ( , +∞) ,单调递减区间为 (1, ) . 2 2 2
3.设函数 f ( x ) = x | x ? 1| + m, g ( x ) = ln x. (1)当 m > 1 时,求函数 y = f ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (2)记函数 p ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) ,若函数 p ( x ) 有零点,求 m 的取值范围. 解:(1)当 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = x (1 ? x ) + m = ? x + x + m = ?( x ? ) + m +
2 2

1 2

1 4

∴当 x =

1 1 时, f ( x ) max = m + 2 4

------------------------------------2 分
2

当 x ∈ (1, m] 时, f ( x ) = x ( x ? 1) + m = x ? x + m = ( x ? ) + m ?
2
2

1 2

1 4

∵函数 y = f ( x) 在 (1, m] 上单调递增 ∴ f ( x ) max = f ( m) = m --------------4 分 由m ≥ m+
2

1 1 1+ 2 2 得m ? m ? ≥ 0 又m >1 ? m ≥ 4 4 2

∴当 m ≥

1+ 2 1+ 2 1 2 时, f ( x ) max = m ,当 1 < m < 时, f ( x ) max = m + .----6 分 2 2 4

(2)函数 p ( x ) 有零点即方程 f ( x ) ? g ( x ) = x | x ? 1| ? ln x + m = 0 有解 即 m = ln x ? x | x ? 1| 有解-----------------------------------------------7 分 令 h( x ) = ln x ? x | x ? 1| 当 x ∈ (0,1] 时 h( x) = x 2 ? x + ln x ∵ h '( x) = 2 x +

1 ? 1 ≥ 2 2 ? 1 > 0 ----------------------------------------9 分 x

∴函数 h( x) 在 (0,1] 上是增函数,∴ h( x) ≤ h(1) = 0 ------------------------10 分 当 x ∈ (1, +∞) 时, h( x) = ? x 2 + x + ln x ∵ h '( x) = ?2 x +

1 ?2 x 2 + x + 1 ( x ? 1)(2 x + 1) +1 = =? < 0 -----------------12 分 x x x

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源
∴函数 h( x ) 在 (1, +∞) 上是减函数,∴ h( x ) < h(1) = 0 -----------------------13 分 ∴方程 m = ln x ? x | x ? 1| 有解时 m ≤ 0 , 即函数 p ( x ) 有零点时 m ≤ 0 ---------------------------------------------14 分

理科参考题目: 理科参考题目: 考题目 2 x 1.已知函数 f ( x) = ( x ? 3 x + 3) ? e 定义域为 [? 2, t ] ( t > ?2 ),设 f ( ?2) = m, f (t ) = n . (Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f (x) 在 [? 2, t ] 上为单调函数; (Ⅱ)求证: n > m ; f ′( x0 ) 2 = (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x0 的 (Ⅲ)求证:对于任意的 t > ?2 ,总存在 x0 ∈ ( ?2, t ) ,满足 x0 e 3
个数.
2 x x x 解: (Ⅰ)因为 f ′( x ) = ( x ? 3 x + 3) ? e + (2 x ? 3) ? e = x ( x ? 1) ? e

由 f ′( x) > 0 ? x > 1或x < 0 ; f ′( x ) < 0 ? 0 < x < 1 ,所以 f ( x ) 在 (?∞, 0), (1, +∞ ) 上递增, 由 在 (0,1) 上递减 欲 f (x ) 在 [? 2, t ] 上为单调函数,则 ?2 < t ≤ 0

证: (Ⅱ)因为 f ( x ) 在 (?∞, 0), (1, +∞ ) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x ) 在 x = 1 处取得极小值

e , 又 f (?2) =

13 < e ,所以 f ( x) 在 [ ?2, +∞ ) 上的最小值为 f (?2) e2 从而当 t > ?2 时, f ( ?2) < f (t ) ,即 m < n .

f ' ( x0 ) f '(x ) 2 2 = x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 = (t ? 1) 2 即为 x0 2 ? x0 = (t ? 1) 2 , x0 e e 3 3 2 2 2 2 2 2 令 g ( x ) = x ? x ? (t ? 1) ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x ? x ? (t ? 1) =0 3 3 在 ( ?2, t ) 上有解,并讨论解的个数. 2 2 2 因为 g ( ?2) = 6 ? (t ? 1) = ? (t + 2)(t ? 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t ? 1) ? (t ? 1)2 = (t + 2)(t ? 1) ,所以 3 3 ①当 t > 4或 ? 2 < t < 1 时, g ( ?2) ? g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且只有一解 2 2 ②当 1 < t < 4 时, g ( ?2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = ? (t ? 1) < 0 , 3 所以 g ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有解,且有两解
(Ⅲ)证:因为 ③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 ? x = 0 ? x = 0或x = 1 ,所以 g ( x ) = 0 在 ( ?2, t ) 上有且只有一解; 当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 ? x ? 6 = 0 ? x = ?2或x = 3 , 所以 g ( x ) = 0 在 ( ?2, 4) 上也有且只有一解

f ' ( x0 ) 2 综上所述, 对于任意的 t > ?2 ,总存在 x 0 ∈ ( ?2, t ) ,满足 = (t ? 1) 2 , x0 e 3 且当 t ≥ 4或 ? 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 < t < 4 时,有两个 x0 适合题意 2 2 (说明:第(Ⅱ)题也可以令 ? ( x ) = x 2 ? x , x ∈ ( ?2, t ) ,然后分情况证明 (t ? 1) 在其值域内,并讨 3

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源
论直线 y =

2 (t ? 1)2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数) 3

2. 已知函数 f ( x) = x | x ? a |, ( a ∈ R ) (1)若 a > 0 ,解关于 x 的不等式 f ( x ) < x ; (2)若对 ?x ∈ (0,1] 都有 f ( x) < m(m ∈ R, m 是常数),求 a 的取值范围. 解:(1)不等式 f ( x ) < x 即 x | x ? a |< x 显然 x ≠ 0 ,当 x > 0 时原不等式可化为: | x ? a |< 1 ? ?1 < x ? a < 1 ? a ? 1 < x < a + 1 当 a ? 1 ≥ 0 即 a ≥ 1 时得不等式的解为: a ? 1 < x < a + 1 ------------------2 分 当 a ? 1 < 0 即 0 < a < 1 时得不等式的解为: 0 < x < a + 1 当 x < 0 时原不等式可化为: | x ? a |> 1 ? x ? a > 1 或 x ? a < ?1 ? x > a + 1 或 x < a ? 1 当 a ≥ 1 时,得不等式的解为 x < 0 -----------------------------4 分 当 0 < a < 1 时,得不等式的解为: x < a ? 1 综上得:当 a ≥ 1 时,原不等式的解集为 {x | x < 0} U {x | a ? 1 < x < a + 1} 当 0 < a < 1 时,原不等式的解集为 {x | x < a ? 1} U {x | 0 < x < a + 1} -------6 分 (2)∵对 ?x ∈ (0,1] 都有 f ( x ) < m ,显然 m > 0 即 ? m < x( x ? a ) < m ? 对 ?x ∈ (0,1] , ?

m m < x ? a < 恒成立 x x

m m < a < x + --------------------------------------7 分 x x m m 设 g ( x ) = x ? , x ∈ (0,1] , p ( x ) = x + , x ∈ (0,1] x x m m 则对 ?x ∈ (0,1] , x ? < a < x + 恒成立 ? g ( x ) max < a < p ( x ) min , x ∈ (0,1] x x m ∵ g ( x ) ' = 1 + 2 , 当 x ∈ (0,1] 时 g ( x ) ' > 0 x

? 对 ?x ∈ (0,1] , x ?

∴函数 g ( x ) 在 (0,1] 上单调递增,∴ g ( x ) max = 1 ? m ------------------------9 分 又∵ p ( x ) ' = 1 ?

m ( x ? m )( x + m ) = , x2 x2

当 m ≥ 1 即 m ≥ 1 时,对于 x ∈ (0,1] , p ( x ) ' < 0 ∴函数 p ( x ) 在 (0,1] 上为减函数,

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源
∴ p ( x) min = p (1) = 1 + m -----------------------------------------------11 分 当 m < 1 ,即 0 < m < 1 时,当 x ∈ (0, m ] , p ( x ) ' ≤ 0 当 x ∈ ( m ,1] , p ( x ) ' > 0 ∴在 (0,1] 上, p ( x) min = p ( m ) = 2 m --------------------------------12 分 (或当 0 < m < 1 时,在 (0,1] 上, p ( x ) = x +

m m ≥ 2 x ? = 2 m ,当 x = m 时取等号) x x

又∵当 0 < m < 1 时,要 g ( x ) max < a < p ( x ) min 即 1 ? m < a < 2 m 还需满足

2 m > 1 ? m 解得 3 ? 2 2 < m < 1
∴当 3 ? 2 2 < m < 1 时, 1 ? m < a < 2 m ;--------------------------------------13 分 当 m ≥ 1 时, 1 ? m < a < 1 + m .------------------------------------------------------14 分

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com


更多相关文档:

高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》

金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 2010 年广东高考热点题型聚焦(五) 广东高考热点题型聚焦( 高考热点题型聚焦 《函数与导数》 函数...

2010年广东高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》

〔内部资料,请勿外传〕 2011 高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》 市教研室 黄开明 高考三年来风格特点 “保持以导数为工具研究函数的形态特征” 着眼于函数知识本...

2010年广东高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》

2010年广东高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》 2010年广东高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》2010年广东高考热点题型聚焦(五)《函数与导数》隐藏>> 〔内部资料,...

2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)

2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)_数学_高中教育_教育专区。2015 专题五:函数与导数在解题中常用的有关结论(需要熟记) : (1)曲线 y ? f ( x) 在 ...

高考热点题型聚焦1

高考热点题型聚焦《三角 高考热点题型聚焦《三角 聚焦高考三年来风格特点 保持...α 2 4 π , 0 < α < ,求 cos α 的值. 5 3 2.已知函数 f ( ...

高考热点题型聚焦《三角》

高考热点题型聚焦《三角 高考热点题型聚焦《三角 聚焦高考三年来风格特点 “...| PN | 17 5 . 已知函数 f ( x) = sin(ω x + ? )(ω > 0, 0...

函数与导数典型题型归纳

《中学课程辅导高考版· 学生版》2013 年第 09 期 导数(导函数的简称)是一...笔者对导数在 研究函数问题中的热点作用归纳如下: 题型 1 利用导数研究函数的...

高考热点题型聚焦(四)《解析几何》

年广东高考热点题型聚焦()《解析几何》 广东高考...(5)能力上要求:图形探究能力、逆向探究能力、运算...8 分 抛物线方程为 y = 1 2 1 x , 求导得y...

2016高考一轮复习函数与导数综合题型

2016高考一轮复习函数与导数综合题型_数学_高中教育_教育专区。函数与导数综合...(4)(2014· 全国)已知点 P 在曲线 y= 值范围是___. (5)已 知直线 y=...
更多相关标签:
高考导数压轴题型归类 | 导数高考题型 | 高中数学导数题型 | 导数大题题型归纳 | 导数题型总结 | 导数压轴题型归类总结 | 导数的五大类题型 | 导数题型 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com