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2014版高中数学复习方略配套课件:6.5合情推理与演绎推理(北师大版 理 通用)


第五节

合情推理与演绎推理

1.推理
(1)定义:推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新 思维过程 的判断的_________. 合情推理 与_________ 演绎推理 两类. (2)分类:推理一般分为_________

2.合情推理 归纳推理 由某类事物的部分事物具 有某种属性,推断该类事 每一个事物都有这种 物中__________________ 属性 的推理 _____ 类比推理 由于两类不同对象具有某些 类似 特征,在此基础上, _____ 其他特征 , 根据一类对象的________ 推断另一类对象也具有类似 ____ 的其他特征的推理

定义

特点

部分 到_____ 整体 、由_____ 个别 由_____ 特殊 到_____ 特殊 的推理 由 _____ 一般 的推理 到_____

一般 步骤

归纳推理 个别 情况发 (1)通过观察_____ 相同性质 现某些_________

类比推理

相 (1)找出两类事物之间的___ 似性 或_______ 一致性 _____ (2)从已知的相同性质中推 (2)用一类事物的性质去推 一般性命题 测另一类事物的性质,得出 出一个明确的__________ (猜想) 一个明确的命题(猜想)

3.演绎推理 已知的事实和正确的结论 ,按照 (1)定义:演绎推理是根据_______________________ 严格的逻辑法则得到新结论的推理过程. 一般 到_____ 特殊 的推理. (2)特点:由_____

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论 一定正确.( )

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质,这是一种 合情推理.( )

(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为 类比对象较为合适.( )

(4)“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是 9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( )

(5)在演绎推理中,只要符合演绎推理的形式,结论就一定正 确.( )

【解析】(1)错误.归纳推理和类比推理所得到的结论都不一 定正确. (2)正确.这是类比推理,属于合情推理. (3)错误.平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较 为合适,而平面中的平行四边形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适.

(4)正确.这是三段论推理,但其大前提错误,所以结论也是错
误的. (5)错误.在演绎推理中,结论是否正确,不仅要看是否符合三 段论的形式,还要看大前提、小前提等是否正确. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×

1.下列推理是归纳推理的是(

)

(A)A,B为定点,动点P满足||PA|-|PB||=2a<|AB|(a>0), 则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线 (B)由a1=2,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n 项和Sn的表达式 (C)由圆x2+y2=r2的面积S=π S=π ab r2,猜想出椭圆
x 2 y2 ? 2 ? 1 的面积 2 a b

(D)科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
【解析】选B.A为演绎推理,C,D为类比推理.

2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为 复数集) ①“若a,b∈R,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,b∈C, 则a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d”类 比推出“若a,b,c,d∈Q,则 a+b 2=c+d 2 ?a=c,b=d”; ③“若a,b∈R,则a-b>0?a>b”类比推出“若a,b∈C, 则a-b>0?a>b”.

其中类比得到的结论正确的个数是( (A )0 (B )1 (C )2

) (D )3

【解析】选C.由复数以及实数的性质可知①②是正确的类比, 其结果是正确的,而类比③得到的结论是错误的,例如: a=2+i,b=1+i,有a-b=1>0,但不能有2+i>1+i,因为虚数不能 比较大小.

3.设 f ? x ? ? 1 ? x , 记f1(x)=f(x),若fn+1(x)=f(fn(x)),
1? x

则f 2 (A)0

012(0)=(

) (C)-1 (D)不存在
1?

(B)1

1? x 【解析】选A. f1 ? x ? ? 1 ? x , f x ? 1 ? x ? ? 1 , 2? ? 1? x 1? x x 1? 1? x 1 x ?1 1? ( ? ) 1? x ?1 x x ? 1 ? x, f3 ? x ? ? ? ,f 4 ? x ? ? 1 x ?1 1?( ? ) x ?1 1? x x ?1

所以f5(x)=f1(x),f6(x)=f2(x),?,
f2
012(x)=f4(x)=x,故f2 012(0)=0.

4.已知a0≠0,a1≠0,a2≠0,a3≠0,设方程a0x+a1=0的一个
根是x1,则 x1 ? ? a1 ; 方程a0x2+a1x+a2=0的两个根是x1,x2,则
x1 ? x 2 ? ? a1 由此类推方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的三个根是 , a0

a0

x1,x2,x3,则x1+x2+x3=(

)

?A? ?

a1 a0

? B? ?

a2 a1

? C? ?

a3 a2

? D? ?

a3 a0

【解析】选A.由给出的一次方程、二次方程的根之和与系数 的关系可得.

考向 1

归纳推理

【典例1】(1)(2012·江西高考)观察下列各式:a+b=1, a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则a10+b10 =( (A)28 ) (B)76 (C)123 (D)199

(2)设 f ? x ? ?

1 先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2) , x 3 ? 3

+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. 【思路点拨】(1)分析从第三个式子开始,其值与前两个式子 的值的和,发现其中的规律. (2)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2), f(-2)+f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x)的值.

【规范解答】(1)选C.利用归纳法,a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1, a4+b4=7=4+3,a5+b5=11=7+4,a6+b6=18=11+7,a7+b7=29=18+11, a8+b8=47=29+18,a9+b9=76=47+29,规律为从第三组开始,其结 果为前两组结果的和,故a10+b10=76+47=123. (2) f ? 0 ? ? f ?1? ?
1 1 1 1 ? ? ? 30 ? 3 31 ? 3 1 ? 3 3(1 ? 3)

3 ? ? ? , 3 3 1? 3 3 1? 3

?

3

?

?

1

?

3 3 ,f ? ?2 ? ? f ? 3? ? . 3 3 3 由此猜想f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? . 3 同理可得:f ? ?1? ? f ? 2 ? ?

证明:f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 1 3x ? x ? 3 ? 3 3 ? 3? 3x

1 1 ? 3x ? 3 31? x ? 3

1 3x 3 ? 3x 3 ? x ? ? ? . x x 3 3 ? 3 3 3 ?3 3 3 ?3

?

?

?

?

【互动探究】利用本例第(2)题中的结论计算f(-2 012)+ f(-2 011)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 013)的值. 【解析】由本例第(2)题中的结论f(x)+f(1-x)=
3 得 3

方法一:f(-2 012)+f(2 013)=
f(-2 011)+f(2 012)=
3 , 3

3 , 3

故f(-2 012)+f(-2 011)+?+f(-1)+f(0)+f(1)+?+f(2 013)
= 2 013 ? 3 ? 671 3.
3

方法二:令S=f(-2 012)+f(-2 011)+?+f(2 013)
则S=f(2 013)+f(2 012)+ ?+f(-2 012), ∴2S=4 026[f(-2 012)+f(2 013)]=4 026× 3 ,
3
?S ? 2 013 ? 3 ? 671 3. 3

【拓展提升】归纳推理的步骤与技巧 (1)归纳推理的一般步骤: ①通过观察个别情况发现某些相同性质;

②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.
(2)归纳推理是一种重要的思维方法,但结果的正确性还需进

一步证明,一般地,考察的个体越多,归纳的结论可靠性越
大.因此在进行归纳推理时,当规律不明显时,要尽可能多地

分析特殊情况,由此发现其中的规律,从而获得一般结论 .

【变式备选】(1)(2013·鹰潭模拟)观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-44=-10 ? 由以上等式推测到一个一般的结论,对于n∈N*,12-22+3242+?+(-1)n+1n2=_______.

【解析】由上述已知等式的特点,可得12-22+32-42+?+
n(n ? 1) . 2 ) n ?1 n(n ? 1 答案: ( ? 1) ? 2
n ?1 (-1)n+1n2= ( ? 1) ?

(2)(2012·长沙模拟)下列一组不等式:
? 3 3 2 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 , ? ? 4 4 3 3 将上述不等式在左右两端仍为两项和 ?2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 , ? 5 5 1 1 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5 , ?

的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特 例,则推广的不等式为_________. 【解析】观察所给的三个不等式中不等号左右两边的各项的 次数之间的关系可得. 答案:am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)

考向 2

类比推理

【典例2】(1)(2013·西安模拟)按照下面三种化合物的结

构式及分子式规律,写出后一种化合物的分子式是(

)

(A)C4H7

(B)C4H8

(C)C4H9

(D)C4H10

(2)(2013·太原模拟)若等差数列{an}的首项为a1,公差
为d,前n项的和为Sn,则数列 {Sn } 为等差数列,且通项为
n Sn d =a1+? n- 1?? , 类似地,请完成下列命题:若各项均为正数 n 2

的等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,前n项的积为Tn,则 __________.

【思路点拨】(1)观察C,H的变化特点,类比出后一个化合

物的分子式.
(2)“除”与“开方”相类比,即 n T 类比 Sn , q类比 d , n
n 2

“加”与“乘”相类比,即b

1

? ?
q

n ?1

d 类比a1 ? ? n ? 1? . 2

【规范解答】(1)选D.由前三种化合物的结构式及分子式规
律可知,后一种化合物比前一种化合物多一个 C和两个H,故后

一种化合物的分子式为C4H10.
n (2)因为Tn=b1·b2·b3·?·bn= b1 ·q1+2+3+?+(n-1)

? b ?q
n 1

n ? n ?1? 2

,所以

n

Tn ? b1q

n ?1 2

? b1

? q?

n ?1

n 所以数列 { Tn } 是首 ,

项为b1,公比为 q 的等比数列,其通项为 n Tn=b1 答案:数列 {n Tn } 为等比数列,且通项为 n
n 1

? q? T =b ? q ?

n-1

.

n-1

【拓展提升】 1.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性. (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明 确的命题(猜想).

2.熟悉常见的类比对象 (1)平面与空间的类比 平面 点 线 空间 线 面


三角形 角 面积 周长 …


三棱锥 二面角 体积 表面积 …

(2)等差数列与等比数列的类比

等差数列 两项之和 两项之差
前n项之和

等比数列 两项之积 两项之比
前n项之积





【变式训练】(1)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正

四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为_______.
S1 h1 1 1 【解析】 V∶ V = S h ∶ ( S h ) = ? = 18. ∶ 1 2 1 1 2 2 3 3 S2 h2

答案:1∶8

(2)(2013·宁德模拟)若{an}是等差数列,m,n,p是互不相
等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an=0,类比上述性 质,相应地,对等比数列{bn},m,n,p是互不相等的正整数, 有________. 【解析】由等差数列与等比数列的性质易得结论.
?n n ?p p?m 答案:b m ? b ? b ?1 p m n

【易错误区】归纳推理不当致误 【典例】(2012·陕西高考)观察下列不等式:
1 3 ? , 2 2 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 4 ??, 1?

照此规律,第五个不等式为__________.

【误区警示】本题在解答中容易出现以下错误:(1)对于给
定的式子,只观察其结果,而不去继续探究下面几个式子,从 而找不到正确的规律而误解.(2)错误地以为:第几个式子, 其左边的最后一项的分母就是几的平方,从而,错误地得到第 五个不等式为 1 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 9 .
2 3 4 5 5

【规范解答】左边的式子的通项是 1 ? 12 ? 12 ???
2 3

1

? n ? 1?

2

右边 ,

的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发现右边分母与左 边最后一项分母的关系,所以第五个不等式为
1 1 1 1 1 11 ? 2? 2? 2? 2? . 2 2 3 4 5 6 6 答案:1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 11 22 32 42 52 62 6 1?

【思考点评】多角度分析规律
通过归纳推理,得到一般规律时,要仔细观察不等式两边式子 的特点,从各个不同的角度分析规律,总结不等式中指数、项 数、分子、分母之间的数量关系,由此得到一般规律 .

1.(2013·南昌模拟)为保证信息安全传输,有一种秘密密 码加密系统,其加密、解密的原理如图.

现在加密密钥为y=loga(x+2),如上所示,明文“6”通过加 密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到 明文“6”,问:若接受方接到密文“4”,则解密后的明文为 ( )

(A)12

(B)13

(C)14

(D)15

【解析】选C.∵加密密钥为y=loga(x+2),
由其加密解密原理可知, 当x=6时,y=3,∴a=2, 不妨设接受方接到密文为“4”的明文为b, 则有4=log2(b+2), ∴b+2=24=16,∴b=14.

2.(2013·合肥模拟)给出下列三个类比结论: ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α +β )类比,则有sin(α + β )=sin α sin β ; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比,则有(a+b)2=a2+ 2 a · b+ b2 . 其中结论正确的个数是( )

(A )0

(B )1

(C )2

(D )3

n 1 n ?1 n n 【解析】选B.根据所学知识知 ? a ? b ?n ? C0 a ? C a b ? … ? C n n nb ,

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,故①与②都是错误 的,只有③正确.

3.(2013·赣州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,
S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:设等比 数列{bn}的前n项和为Tn,则T4,_______,_______, T16 成等
T12

比数列. 【解析】由等差数列中的“差”,类比等比数列中的“商”,
T T T ? T4, 8 ,12 ,16 成等比数列. T4 T8 T12

答案:T8
T4

T12 T8

1.已知21×1=2,22×1×3=3×4,23×1×3×5=4×5×6,?,以
此类推,第5个等式为( )

(A)24×1×3×5×7=5×6×7×8
(B)25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9 (C)24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 (D)25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10 【解析】选D.由已给出的规律,第4个等式为24×1×3×5×7 =5×6×7×8,第5个等式为:25×1×3×5×7×9=6×7×8× 9×10,选D.

2.在等差数列{an}中,若an>0,公差d>0,则有a4·a6>
a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,公比q>1, 则b4,b5,b7,b8的一个不等关系是( (A)b4+b8>b5+b7 (C)b4+b7>b5+b8 )

(B)b4+b8<b5+b7 (D)b5·b8<b4·b7

【解析】选A.在等差数列{an}中,由4+6=3+7时有a4·a6>
a3·a7,得在等比数列{bn}中,由4+8=5+7,应有b4+b8>b5+b7, 证明:b4+b8-b5-b7=b1q3+b1q7-b1q4-b1q6 =b1q3(1+q4-q-q3)=b1q3[q3(q-1)-(q-1)] =b1q3(q3-1)(q-1)>0, ∴b4+b8>b5+b7.


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