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2.2.3独立重复试验与二项分布(1)


高二数学 选修2-3

2.2.3独立重复试验与二 项分布(1)

复 习 引 入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P( A ? B) ? P( A) ? P( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B | A) ? P ( A) ⑶ P( AB) ? P( A) P( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴投掷一个硬币投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次 ; (3)一个盒子中装有 5 个球(3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; 它们共同特点: (4)生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 1). 每次试验是在同样的条件下重复进行的 ; 生产这种零件 4 件. 2).各次试验中的事件是相互独立的; 3).每次试验都只有两种结果:发生与不发生; 4).每次试验某事件发生的概率是相同的.

基 本 概 念
1、 n 次独立重复试验: n 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 为 n 次独立重复试验.
在 n 次独立重复试验中, 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 )

P( An )

独立重复试验的特点: ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 1 )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 他试验的影响 , ∴ 上面等式成立 . 2 )任何一次试验中, A事件发生的概率相同,即相互 独立,互不影响试验的结果。

判断下列试验是不是独立重复试验: 1).依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上 ; × 2).某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射 击了10次,其中6次击中; √ 3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球;×





投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖向 下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖 向上的概率是多少?那么恰好出现0次、2次、3次的概 率是多少?你能给出一个统一的公式吗?

B1 ? A 1A 2A 3 ? A 1A 2A 3 ? A 1A 2A 3 P ?B1 ? ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3

用Ai(i=1,2,3)表示第i次命中的事件 B1表示“恰好命中1次”的事件

?

?

? ? ? ?
2

? ? ? ?
2

? ?

   = q p ? q p ? q p ? 3q p
2 2

恰好命中k(0≦k ≦3)次的概率是多少?

对于k=0,1,2,3分别讨论
P?B0 ? ? P A1 A2 A3 ? q

?

?

3

Cpq

0 0 3 ?0 3

P?B1 ? ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? 3q2 p C1 p1q3?1 3
2 P A A A ? P A A A ? P A A A ? 3 qp P?B2 ? ? 1 2 3 2 2 3 1 2 3

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

Cpq
Cpq
3 3 3

2 2 3 ?2 3
3 ?3

P?B3 ? ? P? A1 A2 A3 ? ? p

3

恰好命中k(0≦k ≦3)次的概率是多少?

P?Bk ? ? C p q

k k 3?k 3

, k ? 0,1,2,3

2、n次独立重复试验的概率公式及结构特 点:
在n次试验中,A恰好出现 k 次的概率为: 事件 A 发生的概率
k n k

如果在1次试验中,事件A出现的概率为p, 则

事件 A发生的概率
n? k

Pn ( k ) ? C ? p ? (1 ? p)
实验总次数
事件 A 发生的次数

(其中k = 0,1,2,· · · ,n )

是(p+q)n展 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数是 说说与两点分布 开式第k+1X,且 的区别和联系 在每次试验中事件A发生的概率是p,那么事件 项吗A ? 恰好发生 k次的概率是为

3、二项分布

P ( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n? k

, k ? 0,1, 2,..., n
… … n
n n 0 Cn pq

于是得到随机变量X的概率分布如下:(q=1-p) X p 0 1 … k
k k n ?k Cn pq

0 0 n 1 1 n ?1 Cn p q Cn pq …

此时我们称随机变量X服从二项分布,
记作:

X ~ B( n, p) 其中p为成功概率.

运用n次独立重复试验模型解题

例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8.
手在10次射击中。
(1)恰有8次击中目标的概率;

求这名射

(2)至少有8次击中目标的概率。
(结果保留两个有效数字)

设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8)
(1)在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为

P? X ? 8? ? C ? 0.8 ? ?1 ? 0.8?
8 10 8

10?8

? 0.30

(2)在10次射击中,至少8次击中目标的概率为

P? X ? 8? ? P? X ? 8? ? P? X ? 9? ? P? X ? 10?
8 ? C10 ? 0.88 ? ?1 ? 0.8? 10 ?8 9 ? C10 ? 0.89 ? ?1 ? 0.8? 10 ?9 10 ? C10 ? 0.810 ? ?1 ? 0.8? 10 ?10

? 0.68

小结:
1、 n 次独立重复试验: n 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 为 n 次独立重复试验. 在 n 次独立重复试验中, 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, P( A1 A2 An ) = P( A1 ) P( A2 ) P( An )
独立重复试验的特点: ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 1 )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; 他试验的影响 , ∴ 上面等式成立 . 2 )任何一次试验中, A事件发生的概率相同,即相互 独立,互不影响试验的结果。

小结:
2、二项分布: 一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的

次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么
在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。

练习
3 已知一个射手每次击中目标的概率为 p ? , 5 求他在三次射击中下列事件发生的概率。
(1)命中一次; (2)恰在第三次命中目标; (3)命中两次; (4)刚好在第二、第三两次击中目标。

运用n次独立重复试验模型解题

例2 在图书室中只存放技术书和数学书,任一
读者借技术书的概率为0.2,而借数学书的概率 为0.8,设每人只借一本,有5名读者依次借书, 求至多有2人借数学书的概率。

变式练习
甲投篮的命中率为0.8 ,乙投篮的命中率为 0.7 ,每人各投篮3次,每人恰好都投中2次的 概率是多少?

运用n次独立重复试验模型解题

例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜

出并停止比赛).
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 的概率 P1 ? C 4 ? ( ) ? ( ) ? ? . 2 2 2 16
(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2


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