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【数学】:2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(1)(新人教B版必修4)


向量数量积的坐标运算

复习:向量数量积的定义是什么?
如何求向量夹角? 向量的运算律有哪些? 平面向量的数量积有那些性质?
答:

a ? b ? a ? b cos? , cos? ?
1.a ? b ? b ? a

a ?b a?b

运算律有:

r />2.(? a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b)

3.(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

数量积性质: ? ? ? ? ? 设a与b都是非零向量, e是单位向量,θ 0是a与e ? ? 的夹角,θ 是a与b的夹角。
(1)e ? a ? a ? e ? a cos ? 0

( 2)a ? b ? a ? b ? 0

? ? ?2 ? ? ? ?2 (3)a ? a ? a 或 a ? a ? a ? a
(4) cos ? ? a?b ab

( 5) a ? b ? a b

二、新课讲授
问题1:已知 a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 ), 怎样用 a, b 的坐标表示 a ? b 呢?请同学们看下 列问题. ? 设x轴上单位向量为 i ,Y轴上单位向量为 请计算下列式子: ? ? ① i ?i = 1

? j

? ? ③ i?j =

0

? ? ② j? j = 1 ? ? ④ j ?i = 0

? ? 的坐标公式. 问题2:推导出 a ? b
已 知 两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2 a ( )b ( )
设i, 别 为 与 轴 和y轴 方 向 相 同 的 单 位 向 , 则 有 j分 x 量 b ? x2 i ? y2 j a ? x1 i ? y1 j
? a ? b ? x1 i ? y1 j (x2 i ? y2 j ( ) ? )

? x1 x2 i ? x1 y2 i ? j ? x2 y1 j ? i ? y1 y2 j
? i ? 1, j ? 1, i ? j ? j ? i ? 0
2 2

2

2

? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

问题3:写出向量夹角公式的坐标表示式,向量 平行和垂直的坐标表示式. 已 知 两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2 a ( )b ( ) (1)两向量垂直条件的坐标表示

?a ? b ? a ? b ? 0

? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

(2)两平面向量共线条件的坐标表示

a // ( ? 0 ? 存在唯一的 ?使得 a ? ? b bb ) ? ? a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
注意记忆向量垂直与平行的坐标表示区别。

? 2 2 (3)向量的长度(模) a ? x1 ? y1
若 表 示 向 量的 有 向 线 段 的 起 点 和 点 的 坐 标 分 别 a 终 为 (x1,y1 , ( 2,y 2 , 那 么 ) x )

a ? (x2 ? x1 2 ? y2 ? y1 2 (两点距离公式) )( )

(4)两向量的夹角

两 非 零 向 量 ? x1,y1 ,? x2,y2)夹 角 为 a ( )b ( , ? ? ? a ?b x 1 x 2 ? y1 y 2 cos ? ? ? ? ? 2 2 2 2 a b x 1 ? y1 x 1 ? y1

? ? ? ? ? ? (2)已知a = (3,4),= b (2, -1),且( + mb ⊥ a - b a ) ( ), 则实数m为何值?

? ? ?? 例1(1)已知a = (5, -7),= b (-6, -4),求a? b。

? ? ? ? ? ? (3)已知a =(1,2),=(n,1),且( ) b a+2b //(2a- b ),

则实数n为何值?

( ? ? 解(1): a ?b ? 5 ? ? 6)(? 7)(? 4) ? ?30 ? 28 ? ?2

? ? 例(2)已知a ? 3, b ? 2, 1 1 ( 4), ( ? ),且 ? ? ? ? (a ? mb)(a ? b),则实数m为何值? ?
解:2)a ? mb ? 3 ? 2m,? m) a ? b ? 1, ( ( 5 ) ( 4

? a ? mb ? a ? b ? a ? mb (a ? b ? 0 ( )( ) ( ) ? )
即( ? 2m) 1 ? 4 ? m) 5 ? 0 3 ? ( ?
23 ?m ? 3

? ? b 例1 (3)已知a =(1,2),=(n,1),且 ? ? ? ? ( + 2b a )//(2a - b ),则实数n为何值?

解:

? ? (3) a ? 2b ? 1 ? 2n, ( 4)
2a ? b ? 2 ? n, ( 3 )

? a ? 2b // 2a ? b ( )( )

? 1 ? 2n) 3 ? 4 ? 2 ? n) 0 ( ? ( ?
1 ?n ? 2

? ? ? ? ? 变形: .已知 a ? 4, b ? 3, a与b的夹角为90 , ? ? ? ? ? ? ? 且c ? a ? 2b, d ? 2a ? kb,问k为何值时 ? ? ? ? ? ? (1) c ? d (2) c∥d ? ? ? (3)c与d的夹角为锐角?

注 : a ? b ? 0不能保证向量 与b的夹角为锐角 a .

还要考虑向量 与b同向的情况 a !

? ()若a ? 1 3),? 3 ? 1,3 ? 1) 1 (, b ( ? ? ? 则a与b的夹角为 4

练习 ?

? ? (2)若a ? 1 2),? 3, 1) (, b ( ? 2 ? ? 则a与b的夹角的余弦值为 10

? ? (3)、若 a ? (?3,4),b ? (5,12), ? ? 则 a 与 b 夹角的余弦值为 (
63 A. 65 33 B. 65 33 C.? 65

B )

63 D.? 65

(4)、已知向量 a


? (2, x),b ? (3,4),

3 (-?,- ) 围是 . 2

a, b

的夹角为钝角,则x的取值范

? 例2:求与向量 a ? ( 3 ? 1, 3 ? 1) 的夹角为45o的
单位向量.
2 2

待定系数法

分析: 可设x=(m, n),只需求m, n. 易知 m ? n ?1 ? ? ? ? 再利用 a ? x (定义) ? a ? x (数量积的 坐标法)即可! ? 解:设所求向量为 x ? (m, n) ,由定义知:
2 ? ? ? ? a ? x ? a ? x ? cos 45 ? 8 ? ?2 2 另一方面 ? ? a ? x ? ( 3 ? 1) ? m ? ( 3 ? 1) ? n

……①
……②

∴由①,②知
( 3 ? 1) ? m ? ( 3 ? 1) ? n ? 2

m ? n ?1
2 2

3 解得: m1 ? ? 2

1 n1 ? 2



1 m2 ? ? 2
3 n2 ? 2



? x ? (?

3 1 , ) 2 2

? 1 3 ) 或 x ? (? , 2 2

例3:已知A(1, 2),B(2,3),C(-2,5), 求证:△ABC是直角三角形.

证明: ? (2 ? 1,3 ? 2) ? (1,1) AB
BC ? (?2 ? 2,5 ? 3) ? (?4,2)
AC ? (?2 ? 1,5 ? 2) ? (?3,3) ? AB ? AC ? 1? (?3) ? 1? 3 ? 0

△ABC是直角三角形

??? ? ??? ? 变形:在?ABC中,设 AB ? (2,3), AC ? (1, k ), 且 ?ABC是直角三角形,求k的值。 ??? ??? ??? ? ? ?
解 : BC ? AC ? AB ? (?1, k ? 3) ?

要注意

又?ABC是直角三角形 分类讨论! ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 当 1) ?ABC ? 90?, BA ? BC , BA?BC ? 0 即(?2, ?3)? ?1, k ? 3) ? 0 ( ? 2 ? 3( k ? 3) ? 0 11 k? 3

K还有其他情 况吗?若有, 算出来。

例4、已知ΔABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2),
y B A x

C(-3, 1),BC边上的高为AD,求: ()D点 的 坐 标 以 及 1 AD ()判断 ABC的形状,并说明理由 2 ?

解: D点的坐标为? x, y ? 设
? AD是BC边上的高

C

? AD ? BC

? BC // BD ???? ? AD ? ( x ? 2, y ? 1), ??? ? ??? ? BC ? (?6, ?3), BD ? ( x ? 3, y ? 2)

又? B、D、C三点共线

例4、已知ΔABC的顶点分别为A(2,1),B(3,2), C(-3, -1),BC边上的高为AD,求:
()D点 的 坐 标 以 及 1 AD
y
B A C x

?( x ? 2) ? ( ?6) ? ( y ? 1) ? ( ?3) ? 0 ?? ?( y ? 2) ? ( ?6) ? ( x ? 3) ? ( ?3) ? 0

9 ? x ? 2 ? 1 2 2 2 5 ? 5 ? AD ? ? 1 ,) ( 解得: ( ? 5 5 ? AD ? (? 5) ? 5) ? 5 ?y ? 7 ? 5 ?

9 7 5 ? D点 的 坐 标 为 (,) , ? AD 5 5 5

例4、已知ΔABC的顶点分别为A(2, By(3,), 1), 2 C(-3,),BC边上的高为AD,求: -1
A x B

()判断 ABC的形状,并说明理由 2 ?

解:) ? AC ? ? 5, 2 AB ? 1, (2 ( ? ), ( 1 )
? AC ? AB ? ? 5 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ?7 ( ) ( )
AC ? ( ?5) 2 ? 1 ? 26

C

AB ? 2

?7 ?cos A ? ? AC AB 52
AC ? AB

?0

? ?A为钝角 ? ?ABC为钝角三角形

例5:已知

,且存在实 ? ? ?? ? ? ? 数k和t,使得 x ? a ? (t 2 ? 3)b, y ? ?ka ? tb

1 3 a ? ( 3 ,?1),b ? ( , ) 2 2

k ?t 且 x ? y ,试求 Z ? t

2

的最小值.

? ? ? ? ? ? 1 3 解:由题意有: a ? 2, b ? 1, a ? b ? 3 ? ? 1? ? 0 ? a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ?
?a ? ?t 2 ? 3? b ? ? ?ka ? tb ? 0 又 ? x ? y,? x ? y ? ? ?

?

?

t 3 ? 3t ?k ? 4

k ? t2 1 2 1 7 2 ? ? ? t ? 4t ? 3? ? ? t ? 2 ? ? t 4 4 4 2 k ?t 7 当t ? ?2时, 有最小值 ? . t 4

说明:本题考查平面的数量积及相关知识,与函数联 系在一起,具有综合性。要注意观察揭示题中的隐含 条件,然后根据垂直条件列出方程得出k与t的关系, 利用二次函数求最值。

? ? 1 3 变形 1:已知平面向量 a ? ( 3, ?1) , b =( , ),若存在
2
2

不 为 零 的 实 数 k 和 角 ? , 使 向 量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 试求实数 k c ? a ? (sin ? ? 3)b , d ? ?ka ? (sin ? )b ,且 c ? d , 的取值范围. ? ? ?

? ? ? 解: ∵ c ? d ,∴ c ? d =0, ? ? ? ? 即 ?a ? (sin ? ? 3)b? ? ??ka ? (sin ? )b ? ? 0 ? ?? ? ?2 ? ? 也即 ?ka ? a ? b ? sin ? ?? ?2 ?k (sin ? ? 3)a ? b + sin ? (sin ? ? 3)b ? 0 ,

?2 ? 2 ? ? 1 3 ? ? 又∵ a ? ( 3, ?1) , b =( , ),∴ a ? b =0,且 a = a = 4, 2 2 ?2 ?2 ? 2 ∴ a ? 4 , b ? b ? 1 , ∴-4k+ sin ? (sin ? ? 3) =0,

1 32 9 ∴k= (sin ? ? ) ? , ∵-1≤ sin ? ≤1, 4 2 16

1 ∴当 sin ? ? ?1 时, 取最大值 1;当 sin ? ? 1 时, 取最小值 ? . k k 2 ? 1 ? 所以所求 k 的取值范围为 ?? ,0 ? ? ? 0,1? ? 2 ?

变 形 2 : 平 面 直 角 坐 标 系 有 点 P(1, cos x ) , Q(cos x,1) , ? ? x ?[ ? , ] 4 4 ? ??? ??? ? ⑴求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x); ⑵求 ? 的最值.

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?OP ? OQ ? 2cos x , OP ? OQ ? 1 ? cos2 x , 解: (Ⅰ)
???? ??? ? 2cos x ? ? ?? OP ? OQ 2cos x f ( x) ? ( x ? ? ? , ?) ? cos? ? ???? ??? ? ? 2 2 ,∴ 1 ? cos x ? 4 4 ? OP ? OQ 1 ? cos x

变形 2:平面直角坐标系有点 P(1, cos x ) , Q(cos x,1) ,
x ?[ ?
? ?
4 4 ,

]

??? ? ??? ? ⑴求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x);

⑵求 f(x)的最值.

2cos x ? ? ?? ( x ? ? ? , ?) , 解:⑵ cos ? ? f ( x) ? 2 1 ? cos x ? 4 4?

? 2 ? 2t ? 2 ? (t ? ? ,1?) , ? 令t ? cos x ? ? ,1? ,∴ cos ? ? ? (t ) ? 2 1? t ?2 ? ?2 ?

2 2 2t ? 2 ? ≤ cos? ≤1 ∴ ? (t ) ? 2 在 ? ,1? 上是增函数. ∴ 1? t ? 2 ? 3

课堂小结:
这节课我们主要学习了平面向量数量积 的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐 标表示解决有关垂直、平行、长度、角度等几 ? ? 何问题。 设a ? x1,y1),? x2,y2) ( b( (1)两向量垂直条件的坐标表示

? a ? b ? x1 x 2 ? y1 y2

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
(2)两向量平行条件的坐标表示 ? ?

a / /b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

? ? 设a ? x1,y1),? x2,y2) ( b(
(3)向量的长度(模)

a ? a ? x1 ? y1
2

2

2

2

或 a ? x 1 ? y1
2

2

(4)两向量的夹角

cos ? ?

a?b ab

=

x1x 2 + y1y 2
2 2 x12 + y1 x 2 2 + y 2


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