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必修四三角恒等变换复习


第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? si

n ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

3、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?x ? ? ) ? B 4、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?
5. (1)积化和差公式

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
cos ? · sin ? =

? . ?

1 [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2
sin ? · cos ? = (2)和差化积公式 sin ? +sin ? =

1 [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2
sin ? -sin ? = 2 cos

2 sin

???
2

cos

???
2

???
2

sin

???
2

cos ? +cos ? = 2 cos

???

2 2 1 2 ? tan ? + cot ? = sin ? ? cos ? sin 2?
1+cos ? = 2 cos 1±sin ? =( sin
2

cos

???

cos ? -cos ? = - 2 sin

???
2

sin

???
2

tan ? - cot ? = -2cot2 ? 1-cos ? = 2 sin
2

?

?
2

?
2
2

2

? cos

?
2

)

2

6。 (1)升幂公式 1+cos ? = 2 cos 1±sin ? =( sin sin ? = 2 sin

?
2

1-cos ? = 2 sin

2

?
2

?
2

? cos

?
2

)

2

1=sin

2

? + cos2 ?

?
2

cos

?
2

(2)降幂公式 sin sin
2

??

1 ? cos 2? 2

cos

2

? + cos2 ? =1

1 ? cos 2? 2 1 sin ? · cos ? = sin 2? 2
2

??

7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公 式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差, 倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① 2? 是 ? 的二倍; 4? 是 2? 的二倍; ? 是 ② 15 ? 45 ? 30 ? 60 ? 45 ?
o o o o o

? ? ? 的二倍; 是 的二倍; 2 2 4
; cos

? 30o ? ;问: sin 12 2
?(

?
12

?



③ ? ? (? ? ? ) ? ? ;④

?
4

?? ?

?
2

?
4

??);

⑤ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? (

?
4

??) ? (

?
4

? ? ) ;等等

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常 化切为弦,变异名为同名。 (3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的 代换变形有:

1 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? tan? cot? ? sin 90o ? tan45o
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用 降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式

1 ? cos? 常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:





(5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:

1 ? tan ? 1 ? tan ? ? __________ _____ ; ? __________ ____ ; 1 ? tan ? 1 ? tan ?

tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan? ? __________ _; tan? ? tan ? ? __________ __ ; 1 ? tan? tan ? ? __________ _;
2 tan ? ?
; 1 ? tan ? ?
2

; ; ; = ; (其中

tan20o ? tan40o ? 3 tan20o tan40o ?
sin ? ? cos ? ? a sin ? ? b cos ? ?
=

tan ? ?

; )

1 ? cos ? ?

; 1 ? cos ? ?



(6)三角函数式的化简运算通常从: “角、名、形、幂”四方面入手; 基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊角的三角函数互化。 如: sin 50o (1 ? 3 tan10o ) ? ; 。 ;

tan ? ? cot ? ? ? 2? 4? cos cos cos ? 9 9 9
二、规范解题 1.. 已知 α ? ( 解:∵α- α∈(
? 3?
4 , 4

? 3? ? 3 5 3? ? , ),β ? (0, ), cos (α- )= ,sin( +β)= ,求 sin(α+β)的值. 4 4 4 5 13 4 4

3? 4

? 4

+β=α+β+
1 3

? 2

) β∈(0, ? 1 ? β+

? sin x ? 1 )

∴α-

? ? ∈(0, ) 4 2 ? 4 )= 5 4

3? 3? ∈( ,π) 4 4

∴sin(α-

cos(
? 2

3? 12 ? ? )=- 4 13

∴sin(α+β)=-cos[ =-cos*(α-

+(α+β)+

3? ? 56 )+( ? ? )]= 65 4 4

2..化简 sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? cos2 ? 解

1 cos2 ? · cos2 ? . 2

方法一 (复角→单角,从“角”入手)

原式=sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · cos2 ? =sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · cos2 ? -

1 · (2cos2 ? -1)· (2cos2 ? -1) 2

1 (4cos2 ? · cos2 ? -2cos2 ? -2cos2 ? +1) 2 1 2

=sin2 ? · sin2 ? -cos2 ? · cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =sin2 ? · sin2 ? +cos2 ? · sin2 ? +cos2 ? =sin2 ? +cos2 ? 方法二
1 1 1 =1- = . 2 2 2 1 2

(从“名”入手,异名化同名) 1 原式=sin2 ? · sin2 ? +(1-sin2 ? )· cos2 ? - cos2 ? · cos2 ? 2 =cos2 ? -sin2 ? (cos2 ? -sin2 ? )=cos2 ? -sin2 ? · cos2 ? ? ?

1 cos2 ? · cos2 ? 2

1 cos2 ? · cos2 ? 2
1 2 ? ?

=cos2 ? -cos2 ? · ? sin 2 ? ? cos 2? ?
1 ? 2 ? 2 · ?sin ? ? 2 (1 ? 2 sin ? )? ? ? 1 ? cos 2 ? 1 1 = - cos2 ? = . 2 2 2

=

1 ? cos 2 ? -cos2 ? 2

方法三 (从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 1 原式= · + · - cos2 ? · cos2 ? 2 2 2 2 2 = (1+cos2 ? · cos2 ? -cos2 ? -cos2 ? )+ 方法四
1 4

1 1 1 (1+cos2 ? · cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? )- · cos2 ? · cos2 ? = . 4 2 2 1 cos2 ? · cos2 ? 2

(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

原式=(sin ? · sin ? -cos ? · cos ? )2+2sin ? · sin ? · cos ? · cos ? =cos2( ? + ? )+ =cos2( ? + ? )=cos2( ? + ? )1 1 sin2 ? · sin2 ? - cos2 ? · cos2 ? 2 2 1 · cos(2 ? +2 ? ) 2 1 1 · [2cos2( ? + ? )-1]= . 2 2

3.已知 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ; (1) 求 f (
25? ) 的值; 6

(2) 设 ? ? (0, ? ), f ( ) ? ?
2

?

1 4

3 ,求 sinα 的值. 2

解: (1)∵ sin

25 1 ? 6 2

cos

25? 3 ? 6 2

∴ f(

25? 25? 25? 25? ) ? ? 3 cos2 ? sin cos ?0 6 6 6 6

(2) f ( x) ? ∴ f( )?
a 2

3 3 1 cos 2 x ? ? sin 2 x 2 2 2

3 1 3 1 3 cos? ? sin ? ? ? ? 2 2 2 4 2
1? 3 5 8

16sin22-4sinα-11=0 解得 sin ? ? ∵ 2 ? (0, ? ) ? sin ? ? 0 故 sin ? ? ?

1? 3 5 8

4.已知 sin2 2α+ sin 2α cosα-cos2α=1,α ? (0, 解:由已知得 sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0 即(sin2α+2cosα) (sin2α-cosα)=0 cos2α(1+sinα) (2sinα-1)=0 ∵α∈(0,
? 2

? ),求 sinα、tanα 的值. 2

)

cosα≠0 sinα=
1 2

sinα≠-1 ∴tanα=
?

∴2sinα=1
?

3 3
? ?

5.设向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,且0 ? ? ? ? ? ? , 若 a ? b ? 【解题思路】先进行向量计算,再找角的关系. 解析:
?

4 4 ,tan ? ? , 求 tan ? 的值。 5 3

a ? b ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

?

4 5

4 5 又 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0 3 ?sin(? -? )=5 3 ? tan(? -? )=4 4 又 tan? = 3 ? cos(? ? ? ) ? 3 4 ? ? tan(? ? ? ) ? tan ? 7 4 3 ? tan ? ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ? ? ? 3 4 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? ( ? ) ? 24 4 3

【导引】三角与向量是近几年高考的热门题型,这类题往往是先进行向量运算,再进行三角变换 6.已知 cos ? ?

? 1 13 , cos( ? ? ?) ? , 且0 < ? < ? < , 2 7 14

(Ⅰ)求 tan 2? 的值.(Ⅱ)求 ? . 【解题思路】由同角关系求出 tan ? 再求 tan 2? ;又 ? ? ? ? ?? ? ? ? 结合角 ? 的范围定角。

[解析](Ⅰ)由 cos ? ?

2 1 ? 1? 4 3 , 0 ? ? ? ,得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? ? 7 2 7 7 ? ?

∴ tan ? ?

sin ? 4 3 7 2 ?4 3 8 3 ? ? ? 4 3 ,于是 tan 2? ? 2 tan ? ? ?? cos ? 7 1 1 ? tan 2 ? 1 ? 4 3 2 47

?

?

(Ⅱ)由 0 ? ? ? ? ? 又∵ cos ?? ? ? ? ?

?
2

,得 0 ? ? ? ? ?

?
2
2

13 ? 3 3 13 ,∴ sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos 2 ?? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 14 14 ? 14 ?

由 ? ? ? ? ?? ? ? ? 得: cos ? ? cos ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?

? 1 13 4 3 3 3 1 ? cos? cos ?? ? ? ? ? sin ? sin ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以 ? ? 3 7 14 7 14 2
【导引】本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力。 7.已知函数 f (t ) ?

1? t 17? , g ( x) ? cos x ? f (sin x) ? sin x ? f (cos x ), x ? (? , ). 1? t 12

(Ⅰ)将函数 g ( x) 化简成 A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? [0, 2? ) )的形式; (Ⅱ)求函数 g ( x) 的值域. 本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识,考查三角恒等变换、代数式的化简变 形和运算能力. 解: (Ⅰ) g ( x) ? cos x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x 1 ? sin x 1 ? cos x

? cos x
? cos x

(1 ? sin x)2 ? sin x cos2 x

(1 ? cos x)2 sin 2 x

1 ? sin x 1 ? cos x ? sin x . cos x sin x

1 ? sin x 1 ? cos x ? 17? ? ? g ( x ) ? cos x ? sin x x ? ? ?, , ? cos x ? ? cos x , sin x ? ? sin x , ? cos x ? sin x ? 12 ? ?
? sin x ? cos x ? 2

= 2 sin ? x ? (Ⅱ)由 ?<x ?

? ?

?? ? ? 2. 4?

17 ? 5? ? 5? , <x ? ? . 得 12 4 4 3

? 5? 3? ? ? 3? 5? ? sin t 在 ? , ? 上为减函数,在 ? , ? 上为增函数, ? 4 2? ? 2 3?
又 sin

5? 5? 3? ? 5? ? 17 ? ? <sin ,? sin ? sin( x ? )<sin (当 x ? ? ?, , ?) 3 4 2 4 4 2 ? ?

即 ?1 ? sin( x ? )< ?

? 4
?

2 ? , ?? 2 ? 2 ? 2 sin( x ? ) ? 2< ? 3, 2 4

故 g(x)的值域为 ? ? 2 ? 2, ?3 . 三、基础训练 1. 下列各式中, 值为

?

1 的是 2

A、sin15 cos 15

B、cos

2

?
12

? sin 2

?
12

C、

tan 22.5 1 ? tan 2 22.5

D、

1 ? cos 30 2

(答:C) ;

2.已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? 3.

3 7 ,那么 cos 2 ? 的值为____(答: ) ; 5 25

1 3 的值是______(答:4) ; ? sin10 sin 80
0 0

4.已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对) 5.已知 tan(? ? ? ) ?

1 ? a2 a? 3 ,乙求得的结果是 ,对 2a 1 ? 3a

2 ? 1 ? 3 , tan( ? ? ) ? ,那么 tan(? ? ) 的值是_____(答: ) ; 5 4 4 4 22 ? ? 1 ? 2 490 6.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos( ? ? ) ? ? , sin( ? ? ) ? ,求 cos( ? ? ? ) 的值(答: ) 2 2 9 2 3 729 7.求值 sin50 (1 ? 3 tan10 ) (答:1) ; sin ? cos ? 2 1 ? 1, tan(? ? ? ) ? ? ,求 tan( ? ? 2? ) 的值(答: ) 8.已知 1 ? cos 2? 3 8 2 9.已知 A、B 为锐角,且满足 tan A tan B ? tan A ? tan B ? 1 ,则 cos( A ? B) =_____(答: ? ) ; 2

? 1 1 1 1 ? ? cos 2? 为_____(答: sin ) 2 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为___________(答: 11.函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2
10.若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

3 2

[ k? ?

?
12

,k? ?

5? ]( k ? Z ) ) 12

1 2 (答: 1 cos 2 x ) 12.化简: ? ? 2 2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4 13.若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________.(答:[-2,2]) ; 3 14.当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是______(答: ? ); 2 15.如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (答:-2); 2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
16.求值:

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? ________(答:32) 2 sin 20? cos 20?
2

cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 , 17. 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin? ? sin ? ? sin ? ? 0 , 求 ? ? ? 的值 (答:

2? ) . 3


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