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必修四三角恒等变换复习


第三章 三角恒等变换 一、知识点总结 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? si

n ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2 ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?
?
,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2
⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2
? (后两个不用判断符号,更加好用)

3、 半角公式 :
α 1 ? cos α α 1 ? cos α cos ? ? ; sin ? ? 2 2 2 2 α 1 ? cos α sinα 1 ? cos α t an ? ? ? ? 2 1 ? cos α 1 ? cos α sinα

?x ? ? ) ? B 4、 合一变形 ? 把两个三角函数的和或差化为 “一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 y ? A sin(
形式。 ? sin ? ? ? cos ? ?
5. (1)积化和差公式

?2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?
cos ? · sin ? =

? . ?

1 [sin( ? + ? )+sin( ? - ? )] 2 1 cos ? · cos ? = [cos( ? + ? )+cos( ? - ? )] 2
sin ? · cos ? = (2)和差化积公式 sin ? +sin ? =

1 [sin( ? + ? )-sin( ? - ? )] 2 1 sin ? · sin ? = - [cos( ? + ? )-cos( ? - ? )] 2
sin ? -sin ? = 2 cos

2 sin

???
2

cos

???
2

???
2

sin

???
2

cos ? ]' href="" target="_blas? ?p8l?
2

??磎ages si cos
= 2 co? sin ? ;⑷2?
1f="" target="_角豪= 2 cos(???
2

???
2

??? · sin? - cos
- ? cos2

???
2
cos2

???
2
?磎age- si cos
-? ?t2

?1? - cos
? cos22 2 coos

?os



? sin ??
2

? si)
? si6in 褪 1 ? cosf="" target="_角豪= 2 cos(???
=

? . ? cos2

? si1? - cos
? cos2s

?os

oos

?o ??
2

? si)
? si1=cos2
sin s si1 ? 2

? si??
2

? si筒罨 cos 2 = 2 cos22 2 sin( ? sin 2 t

???
2
sin s si1 ? =1in( ? sin 2 t
?
· cos ? = (2) ? sin



?s? ?7、数的习_笆窃怂慊虻墓讨性擞媒隙嗟南癬埃岣呤南癬澳芰σ岳Щ岽瓷杼跫24蚤活运用数的公 c莆赵怂悴欢虻姆椒ê图寄埽S玫倪中剿枷敕椒记扇缦耤os拖摇⑾癬埃涸三浇嵌蚴毙笾脑闹っ髦校泶锸街型鱿纸隙嗟南嘁旎次房筛萁怯 :之间差化差畏奖栋氩欢ゲ共欢ビ嗟墓叵脑脑擞媒摇⑾癬埃低ㄌ跫 崧o o o o osin 2 t的的正; 是 的的正; p8l4
; ??
2

30o t;问cos ? s1 tan?(2

?12 2 co tan 2 t(n 2 t4、 sin 2 c4
?s?? 2

? si c4
?s?) tan 2sin ?(n 2 t4、 (n 2 t4、 ( 2 c4
?s?4、 (2

?4
?s t4。坏鹊萢n ?罨突蛎葡癬埃菏南靶沃校3P枰浠突蛎莆突颉H缭三浇腔突蛑姓惺腔。ǔ 化切为弦,变异名为同名in 3)常数代_埃涸三浇腔突蛟怂悴恍笾脑闹っ髦校信叮枰J一庚浇腔突蛑脑睦绯J1” A 代_跋靶斡校篿n( ? ? ? cos2 ? ? 2 sin ?磎? sitn 2 ? ? 90o t?磎45on ?4)幂、习_埃菏 c是数的习_笆背S梅椒ǎ源问细叩愕缺浠突蚺 c话悴捎媒 c处理的方法。常用 式 cos 2有:。 。式 c并非绝对,有哦h要式 1阅剁对无理 ? ?( ? sin? 常用式 1耙桓有理 ?,常用式 1in ?有:in tan tan (5)in ?习形:数的in ?誓习_暗囊谰1阅应熟练掌握数的in ?的顺3、嬗眉跋靶斡τ胕n 如co ?( ? ?磎age( ? ?磎age? __________ _____。 ? __________ ____。 ( ? ?磎age( ? ?磎ag? ? tn ? ? 1 ? ta__________ __。 ( ? ?磎? ?磎n ? __________ _; ? tn ? ? 1 ? ta__________ __。 ( ? ?磎? ?磎、 s__________ _; ? . 1 ??
; ( ? ?磎age?


?; ; ; = ; (an ?? ? t20o t?磎40o t3 ? t20o ?磎40o · cos? ? 2 cos a
= 2 co? s=" cos ?
sin? tan ?
?; 半s ? ? 2 cos
?; s ? ? 2 cos
?;an ?6)等变煌或 下辕简运算通常从: 敖恰⒚鹖⑿巍⒚荨彼姆矫嫒胧郑 基本规则是:见切化弦,异淮化同淮畏复淮化单淮畏异名化同名畏高次化低次,无理化有理,特殊值 与特殊揭、等变煌或互化in 如co
= 2 50o (s ? 3 ? t10o 4、 ; 。 tan? tan ? si cococosin4 t" co" co" co? 9 9 9
二、规范解题 1.. 已知? co ( 解:∵α-? c∈(

3
?4 ,4


3
? 3 5 3
? 畏),βo (0畏),o" co(α-?)= 畏 - ? +β)= 畏求形式ˇ粒)的帜援 4 4 4 5 13 4 4

3
4


4

+β=α+β+
1 3


si) β∈(0,age( ? β+


= 2 ) ? 1 )
?∴α-
?s t∈(0,a) 4 2

?4?)= 5 4

3
3
∈( ,π) 4 4

∴问健α-
? - ?

si3
1 ts t4=-?4 13

∴问健α+β)=- - [ =- - *(α-

+ˇ粒)+si3
? 56t4+? )+ 1 c= 65 4 4

2..辕简 = 2 ts ? =

ts f="" ts ="" ts 解半s ="" ts ? = ts . si方法一 (复淮→单淮畏从“角”入手 半 原式=cos ts ? =

ts f="" ts ? = ts =cos ts ? =

ts f="" ts ? = ts -半s ? (? ?1 ? 1-1) ? (? ?1 ? 1-1) si1 (4="" ts ? = ts -? ? ts -? ? ts +1 cos?
2

=cos ts ? =

ts ? - ts ? - ts f="" ts f="" ts =cos ts ? =

ts f="" ts ? =

ts f="" ts =cos ts f="" ts 方法二i1 1 1 =1- = . ?
2

(从“名i比胧郑芬烀 ?
原式=cos ts ? =

ts f(1 = 2 ts ) ? ? ts - ="" ts ? = ts 2 = ? ts -= 2 ts ( ? ts -= 2 ts )= ? ts -= 2 ts ? ? ts ?? 2
s ="" ts ? = ts si1 - ts ? - ts 2i1 ts

= ? ts - - ts ? ? ? ? cos2 ? ?
2 tanin 2 n 2 n ? ?= 2 co? 2 (s ? ? cos? ?)cococo( ? sin 2oco( 1 =e- si ts = .

=in( ? sin 2ts -si ts si方法三 (从“幂”入手7享文式 cos 2先降次) ?
? sin 2 t?
? sin 2 t?
? sin 2 t?
? sin 2 t?
原式=n ? +n ? - si ts ? ? ts 2 α 1 ?2 = (sf="" ts ? ? ts - ? ts - - ts )+ 方法四nin4

1 1 1 (sf="" ts ? ? ts f="" ts f="" ts )-s ? = ts ? - ts = . 4 2
s ? · ts ? - ts 2

(从“形”入手7享文配方法,先对二
ts -si ts ? " cos )2+ cos ? ? =

? ? " cos ? = (2) ? ? )+cos( ? = ? ? )+cos( = ? ? )+cos( 1 1 cos ts ? =

ts - si ts ? ? ts 2 αs ? - ? ts f ts )
s ? s ? [? ? ? )+cos( -1]= . si3.已知?f ( x4、 s3 ? ? co) ? = 2 ) " cox ; (1 c求衒 (
25s )
的帜曰 6

(2) 设、 s(0,age),of ( 4、 22 2 coin4

3 畏求形式 co的帜援 2

解:s汀 cos2
25 1、 6t

???
2
5s 3、 6t

? ∴ f(2
25s 25s 25s 25s 4、 s3 ? ts = 2 " cos0 6t6t6t6an ?罨?f ( x4、 ∴ f( )?
a si3 3? · c2 ) ? ? ? ? cox si3 1 3 1 3 · ? ? ? ? cococo? ? p8l4 s1? 3 5 8

16cos 2-4cosα-11=0 解得
= 2 co? ∵ ts (0,age) ? ? ? co? 0 故
= 2 co? 2
s? 3 5 8

4.已知?cos t2α+ ? ? c co· α- ? α=1,o (0畏浇猓河梢阎
= 222α+= 22α· α-? ? α=0 即? co2α+? ?&) ? co2α- ?&)=0 ? α(1+= 2α) ? cosα-1)=0 ∵α∈(0,

si t47求形式α、? t co的帜援 2

)
? ?&痢0
= 2α=i1
· α≠-1 ∴? t c=i 2
∴ cosα=1i 2
3 3?s

5.设向量 ao (" cos , cots ),obo (" cos , cots ) 畏且0 ? ? ? ? ? ? , 若 ao bo 【解题思路】先进行向量计算,再找揭、关夏.浇馕:i 2
4 4 ,? tan ? 畏角笮? tan 的帜。5 3

a bo " cos " cos ? sin ? ;⑵ c 2

?
4 5?
4 5 又 0 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 0 3、问健s -s )=5 3 ? ? t -s )=4 4 又 ? tn = 3 ? - ?? ? ? 4、 3 4 ? ? ? t ? ? 4、 ? tan 7 4 3 ? ? t ? ? ? t[(n 2 t4、 s] ? ? ? 3 4 ( ? ?磎(n 2 t4?磎age( ? ? )+4、 max4 32
【导引】等变与向量是近几年高考、荡免题型,您苦题往往是先进行向量运算,再进行数的习_ 6.已知?" cos ?si t? s3 , - ? ? ? ?4、 , 且0 <、 <、 <, t7 14

(Ⅰ)求? ta2 t的值.(Ⅱ)求衧 . 【解题思路】由同淮关夏求出? tan 再求? ta2 t;又 ? ? ? ? ?? ? ? ? 结合角 ? 的范围定角。半 [解析](Ⅰ)由?" cos ?sicos αs? 4 3 , 0 ? ? ? ,得
= 2 co? ( ? sin 2ococo( ? ? ? ? ? 7 t7 7 ? ?2
∴ ?
cos ? · cos4 3 7 t?4 3 8 3 ? ? ? 4 3 阅于是 ?

2 ta t? tan ? ?? " cos 7 1 ( ? ?磎a2

?1 ? 4 3 l47 2 coos
(Ⅱ)由?0 ? ? ? ? ? 又∵ " cos? ? ? ? ?2

? si,得
0 ? ? ? ? ?
?os



?s3 3 3 13 阅∴ cots? ? ? ? ? ( ? sin 2oc? ? ? ? ? ( ? ? ? ? ? 14 (4 ? (4 ?

由?? ? ? ? ?? ? ? ? 得:s" cos ? " cos ?? ? ?? ? ? ? ? ?si t? s3 4 3 3 3? ? " c? " cos? ? ? ? ? cots cots? ? ? ? ? ? ? ? ? ,所以?? ? 3 7 (4 7 (4 2
【导引】本题考察等变换 一⌒蔚闹饕竟n ?、数的煌或值的伏加好已知数的煌或值求角以及计算能力。7.已知煌或?f (t+4、2
s? t 17 , g ( x4、 " cox ??f (= 2 )4、 = 2 ) ? f (" cox ),ox ??(n ,a).羢? t 12

(Ⅰ)将煌或?g ( x4≡虺(
形式? ) ? ? 4、 合 ? A、 0 畏? ? 0 畏? ? [0,a2 t4。┑ ? s; (Ⅱ)求煌或?g ( x4〉闹涤. 本小题主要考查和或差定义域点椎域和数的和或差性质等基本总结畏考查等变换 一、帧⒋蚺 下辕简变 形和运算能力.浇猓簊Ⅰ) g ( x4、 " coxin( ? ? ? x ?
? sin ) ? = 2 ) ( ? ? ? x ?
? sin )sin ??
xin ??
xi
(s ? = 2 )42

?= 2 ) " c2 )i
(s ? ??
x42
? ? c )i
( ? ? ? x ?
? sin )

?= 2 ) . " cox = 2 )i
( ? ? ? x ?
? sin )

?17 g ( x+4、 " cox ??= 2 ) ) ? ? ?, ,a " cox ?? " cox lFl 2 ) ?
?= 2 ) ,a " cox ??l 2 ) ? 1 ts

= 2 ) ? " cox ??2

= ? cos? ?) ? (Ⅱ)由??<) ?
?s
?s?? ? ?2. 42
s7 ? 5s ? 5s 畏剑) ? ? . 得
1 tax4 32
? 5s 3
? s 3
5s ? l 2 t 在 ? ,a 上为减和或里, ? ,a 上为增和或里 ? 4 2 ? ?2 3
?又 cos2
5s 5s 3
? 5s ? s7 ? s 渭l 2 ,? sin ? ;( x+ t4<l 2 (当 ) ? ? ?, 里 ?) 3 4 tax4 ts

即1 ? 2s问健 x+ t4< ?
?s 42 cos s 畏絪?? n 2 n? ? cos x+ t4n? ?< s 3畏絣4


g(x)的帜域桓 ? ?2 ?2,a3 . 三、基础训练 1援 下列各式中畏街滴 2 co1 的是 2

A、问15 " co15?
B、" c2
sin?12 2
? ? csin?12 2C、an? ta22.5 1、 ? ta2a22.5

D、an( ? sin 30 2

(答:C
⑹ tan2.已知?cos? ? ? ? )" cos ? " c? ? ? ? )
= 2 co? 3.2
3 7 畏那么 · c2 t的值为____(答:

⑹ t 5 25

1 3 的值是______(答:4)。 ? 问10
= 2 80
0 0?
4.已知?? t110
? ao7求? ta50o的帜渊用 a 表示)甲求得的结果是 甲、乙求得的结果、余确化c的号,是______(答:甲、乙都对) 1)已知?? t ? ? 4、an( ? a2 a? 3 好乙求得的结果是 ,对 2a 1、 3acos s s ? 3 畏? t■ ? ?4、 7那么 ? t ? )
的帜是_____(答:

⑹ t 5 4 4 4 2 ts ts ? ? 490 6)已知?0 ? ? ? ? ? ? ? 畏且 - ? ? ? 4、 si? ? ! ? ?4、 7求 - ? ? ? ? )
的帜渊答:

⑹p8l9?2 3 729 7.畜帜 ? 50o(s ? 3 ? t10t4。ù穑函和。 cots " cos cos αset: t ? ? 4、 7求? t■ ? ?2 t4〉闹脑ù穑

⑹8)已知??
? sin 2 t3 8 l9)已知?A、B 桓淮畏且满足? taA? taB、 ? taA、 ? taB、 1 7则 - ? A、 B4。絖____(答:、 M。 2 2
1 1 1 ( ? ? " co2 t为_____(答:
l 2 ) ? p8l鋚8l5 3 x+ tRt4〉牡サ鞯菰銮湮猒__________(答: 11.煌或?f ( x+4、 5Fl 2 )" cox ??5 3 " co2 x+ t s10.若 ? ? ■ ?,age) 7辕简2
3 2

[ ks
?s?12 2,ks
?5s ]( kageZt4。 12

1 t渊答:
? · c2 ) ) 12.辕简:
? ?2 t? t■ ?x)? ? c ■ ?x) 4 4 13.若方程Fl 2 ) ? 3 " cox+ tc 有诺数解,则 〉娜≈捣段莀__________.(答:[-2,2]M。 3?4.当煌或?sin(2 ? ? x+ t3 ? ? x 分厦最大帜可以 ? tax 的值是______(答:
t4; 2o15.如果?f ? ) ? ? cots ) ? ? ?in(2 - ? ) ? ?)t是奇和或里rt? tan = (答:-24; 2o? ? 4 x+ t " co2 x+
16.畜帜co ?3? ? 64
? ? c 20? ________(答:32) 2
? ? c0? " co20os

???
? ? " co? ? " co? ? 0 畏17. 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2 t且 cos ? l 2 s ? l 2 s ? 0 畏角笮s s s 的帜t渊答:cos M. 32
>

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