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高中数学必修2知识点总结:第一章


高中数学必修 2 知识点总结
第一章 空间几何体

1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图
1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3 空间几何体的表面积与体积 (一
)空间几何体的表面积

1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2
2 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R 2 3 圆锥的表面积 S ? ?rl ? ?r

5 球的表面积 S ? 4?R

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积 3 台体的体积

V ? S底 ? h
1 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3

2 锥体的体积 4 球体的体积

V ? V ?

1 S底 ? h 3

4 3 ?R 3

第一章 空间几何体 1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是( ) A 三棱柱 四棱台 球 圆锥 B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台 C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 D 圆锥 圆台 球 半球 2、下列说法正确的是( ) A 有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体是棱锥 B 有两个面互相平行,其余各面均为梯形的多面体是棱台 C 有两个面互相平行,其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 D 棱柱的两个底面互相平行,侧面均为平行四边形 3、下面多面体是五面体的是( ) A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱柱 D 五棱锥 4、下列说法错误的是( ) A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成 5、下面多面体中有 12 条棱的是( ) A 四棱柱 B 四棱锥 C 五棱锥 D 五棱柱 6、在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可有几个( ) A 1 个 B 2 个 C 3个 D 4个 二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面,面数最少的棱柱有————————个顶点, 有—————————个棱。 8、一个棱柱有 10 个顶点,所有侧棱长的和为 60,则每条侧棱长为———————————— 9、把等腰三角形绕底边上的高旋转 1800,所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面。 则“祝” “你” “前”分别表示正 祝 方体的————— 你 前 程 似 锦

三、解答题: 11、长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1,由 A 到 C1 在长方体表面上的最短距离为 多少? D1 A1 A D B1 C1 C B

12、说出下列几何体的主要结构特征

(1)

(2)

(3)

1.2 空间几何体的三视图和直观图 一、选择题 1、两条相交直线的平行投影是( ) A 两条相交直线 B 一条直线 C 一条折线 D 两条相交直线或一条直线 2、如图中甲、乙、丙所示,下面是三个几何体的三视图,相应的标号是( ① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②



。 正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图 甲 乙 丙 3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形,则这个几何体可能是( ) A 长方体或圆柱 B 正方体或圆柱 C 长方体或圆台 D 正方体或四棱锥 4、下列说法正确的是( ) A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形 D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 5、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( A



1 倍 2

B

2 倍 4

C2倍

D

2倍


6、如图(1)所示的一个几何体, ,在图中是该几何体的俯视图的是( A B

C

D (1)

二、选择题 7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时,侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。 8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在——————————————投影下画出来的。 9、有下列结论:①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角在直观图中仍然相等③相等的线段在直观图 中仍然相等④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 其中正确的是—————————————— 10、①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体一定是正方体。②如果一个几何体的正视图 和俯视图都是矩形,则这个几何体一定长方体。③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体是长 方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形,则这个几何体一定圆台。其中说法正确的是————
—————

三、解答题 11、根据图中物体的三视图,画出物体的形状

正视图

侧视图

俯视图

12、室内有一面积为 3 平方米的玻璃窗,一个人站在离窗子 4 米的地方向外看,他能看到窗前面一幢楼的 面积有多大?(楼间距为 20 米)

1.3 空间几何体的表面积和体积(1) 一、选择题 1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(

)

1 ? 4? 4? 1 ? 4? C D ? 2? 6 ? 2、已知圆锥的母线长为 8,底面圆周长为 ,则它的体积是(
A B A 9 55? C 3 55? B 9 55 D 3 55

1 ? 2? 2? 1 ? 2?

)

3、若圆台的上下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积的 2 倍,则圆台的母线长是( ) A 2 B 2.5 C5 D 10 0 4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120 ,半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ) A 3:2 B 2 :1 C 4:3 D 5 :3 D1 C1 5、如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点, 且 PB1= A1 P B1

1 A1B1,则多面体 P-BCC1B1 4
) A C4 D B D 16 ) C

的体积为(

8 A 3

16 B 3

6、 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分, 则圆锥被分成的三部分的体积的比是 ( A 1:2:3 B 1:7:19 C 3:4:5 D 1:9:27

二、填空题 7、一个棱长为 4 的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一个直径为 2,深为 1 的圆柱形的孔,则 打孔后几何体的表面积为—————————————— 8、半径为 15 cm ,圆心角为 2160 的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的高是——————————— 9、 在三棱锥 A-BCD 中, P、 Q 分别在棱 AC、 BD 上, 连接 AQ、 CQ、 BP、 PQ, 若三棱锥 A-BPQ、 B-CPQ、 C-DPQ 的体积分别为 6、2、8,则三棱锥 A-BCD 的体积为———— 10、棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体(正四面体)的表面积为——————————体积为————————— 三、解答题 11、直角梯形的一个底角为 450,下底长为上底长的 1.5 倍,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的 旋转体的表面积是 (5 ? 2 )? , 求这个旋转体的体积。

12、如图,一个三棱锥,底面 ABC 为正三角形,侧棱 SA=SB=SC=1, ?ASB ? 30 ,M、N 分别为棱
0

SB 和 SC 上的点,求 ?AMN 的周长的最小值。 S M N A C

B

1.4 空间几何体的表面积和体积(2) 一、选择题 1、若三球的表面积之比为 1:2:3,则其体积之比为(



A 1: 2 : 3 C 1: 2 2 : 2 3

B 1: 2 : 3 D 1: 4 : 7 )

2、 已知长方体一个顶点上三条棱分别是 3、 4、 5, 且它的顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积是 ( A 20 2 C 50? B 25 2? D 200? )

3、木星的体积约是地球体积的 240 30 倍,则它的表面积约是地 60 球表面积的( A C

60 倍 120 倍

B D

60 30 倍 120 30 倍


4、一个四面体的所有棱长为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( A C

3?

B D

4?
6?


3 3?

5、等边圆柱(轴截面是正方形) 、球、正方体的体积相等,它们的表面积的大小关系是( A S正方体 ? S 球 ? S圆柱 C B D

S 球 ? S圆柱 ? S正方体
S 球 ? S正方体 ? S圆柱


S圆柱 ? S 球 ? S正方体
5? 6

6、半球内有一内接正方体, ,则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为( A C B

? 2

5? 12

D 以上答案都不对

二、填空题 7、正方体表面积为 a ,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是———————————— 8、半径为 R 的球放置于倒置的等边圆锥(过轴的截面为正三角形)容器中,再将水注入容器内到水与球 面相切为止,则取出球后水面的高度是—————————————— 9、把一个直径为 40 cm 的大铁球熔化后做成直径是 8 cm 的小球,共可做——————————个(不计损耗) 。 10、三个球的半径之比为1:2:3,则最大的球表面积是其余两个球的表面积的——————————倍。 三、解答题 11、如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋化了,会溢出杯子吗?(半球 半径等于圆锥底面半径)
2

4cm 12 cm

12、有三个球和一个边长为1的正方体,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第 三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比。

必修 2 第 1 章《空间几何体》基础训练题
一、选择题 1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是( ) A.圆锥 B.正四棱锥 C.正三棱锥 D.正三棱台 2.在一个侧置的正三棱锥容器内放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触,过棱锥的一条侧棱和高作 截面,正确的截面图形是( )

A B C D 3.下列几种说法正确的个数是( ) ①相等的角在直观图中对应的角仍然相等 ②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 ③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 ④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 A.1 B.2 C.3 D.4 4.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 正三角形,原三角形的面积为( A.



6 4

B.

3 4

C.

3 2

D.

6 2


5、已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为 V1 和 V2,则 V1:V2=( A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1

6.在△ABC 中, AB ? 2, BC ? 1.5, ?ABC ? 120 0 ,若使绕直线 BC 旋转一周,则所形成的几何体的体积是 ( )

A.

9 ? 2

B.

7 ? 2

C.

5 ? 2

D.

3 ? 2

7、有一个几何体的三视图及其尺寸如下(单位 cm) ,则该几何体的表面积和体积为( ) 2 3 2 3 2 3 A.24π cm ,12π cm B.15π cm ,12π cm C.24π cm ,36π cm D.以上都不正确 6

正视

5

侧视 6

8.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为 5 ,它的对角线的长分别是 9 和 15 ,则这个棱柱的侧 面积是( ) 130 A. B. 140 C. 150 D. 160 9.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )

A. 3 :1

B. 3 : 2

C. 2 : 3 D. 3 : 3

10. 过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面, 若 OA 与该截面所成的角是 60°则该截面的面积是 ( ) A.π 二、填空题: 11、球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 ______ 倍. 12.一个半球的全面积为 Q,一个圆柱与此半球等底等体积,则这个圆柱的全面积是____________. 13.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ,这个长方体的对角线长是 ___________;它的体积为___________. B.2π C. 3π D. 2 3?

C C 14.如图, E、 F 分别为正方体的面 ADD1 A1 、 面B
在该正方体的面上的射影可能是_________.

1 B1

的中心, 则四边形 BFD1 E

15.长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=3,AA1=5,则一只小虫从 A 点沿长方体的表面爬到 C1 点的最短距 离是 .


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