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辽宁省2016


2016——2017 学年度下学期高二期中考试 数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 1 2 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求.) 1.复数

1? i ( i 是虚数单位)的虚部为( 1? i
B. ? 2i

) D. ?2

A. ?i

C. ?1

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0或0 ? x ? 3}

1? x ? 0} ,则 A ? B ? ( x

)

B. {x | ?1 ? x ? 3} D. {x | ?1 ? x ? 0或1 ? x ? 3}

3.若点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 2 x ? y ? 0 上,则 cos 2? ? A. ?1 B. ?

1 2

C.

7 5

1 sin 2? ? ( 2 7 D. 2

)

4.已知数列 ?an ? ,若点 (n, an )(n ? N? )在经过点 (8, 4) 的定直线 l 上, 则数 列 ?an ? 的前 15 项和 S15 ? ( A. 12 ) B. 32 C. 60 D. 120 )

5.设 ? , ? , ? 表示平面, l 表示直线,则下列命题中,错误的是( A. 如果 ? ? ? ,那么 ? 内一定存在直线平行于 ? B. 如果 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? C.如果 ? 不垂直于 ? ,那么 ? 内一定不存在直线垂直于 ? D.如果 ? ? ? ,那么 ? 内所有直线都垂直于 ?

6.已知平面向量 a , b 满足 a ? a ? b ? 3 ,且 a ? 2 , b ? 1 ,则向量 a 与 b 夹角的正弦 值为( A. ? )

?

?

? ? ?

?

?

?

?

?

?

1 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2
)

7. 甲、 乙、 丙、 丁、 戊五人站成一排, 要求甲、 乙均不与丙相邻, 则不同的排法种数为(

1

A. 72 种 D. 24 种

B.52 种

C.36 种

8.某空间几何体的三视图如图所示,图中主视图和侧视图是两 个全等的等腰直角三角形,腰长为 4,俯视图中的四边形为正方 形,则这个几何体的体积是( A. ) D. 32
第8题图 主视图 侧视图

32 3

B.

64 3

C.16

9.设抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F ,倾斜角为钝角的直线 l 过 F 且与 C 交于 A, B 两点,若 | AB |? A. ?1 B. ? 3 C. ?

俯视图

16 ,则 l 的斜率为( 3
D. ?

)

2 2

3 3

开始

10. 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽, 是最早提出用逻辑推理的 方式来论证数学命题的人,他创立了“割圆术”,得到了著名的 “徽率”,即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14.如右图 就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图, 则输出的求 n 的 值为(参考数据: sin15? ? 0.2588 , sin7.5? ? 0.1305 )( A. 12 B. 24 C.36
2

n?6
1 360? S ? ? n ? sin 2 n
S ? 3.10 是


n ? 2? n

)

D. 48

输出n
结束

11.实系数一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 的一个根在 (0,1) 上,另 一个根在 (1, 2) 上,则 A. (0, )

2 3

2?b 的取值范围是 ( ) 2?a 2 2 2 B. (??, ) C. ( , 2) D. ( , ??) 3 3 3
1 a 2 ? 的最小值为 e 为自然对数的底数,则 ? ? e ? ln ? 2b ?? ? ? a ? b ? ?2 ?
2
2

12.已知 a ? R, b ? R? ,

(

)

A.

?1 ? ln2 ?

B. 2 ?1 ? ln2 ?

2

C. 1 ? ln2

D.

2 ?1 ? ln2 ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知随机变量 X 服从正态分布 N (6, ) ,则 X 的数学期望 E ( X ) ? ____________. 14.若 ( x ? a) 展开式中 x 的系数为 160,则
6
3

1 3

?

a

1

xa dx 的值为____________.

2

15.三角形 ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,已知

sin 2 B ? cos2 A ? cos2 C ? 3 sin B sin C ,且三角形 ABC 外接圆 面积为 4? ,则
a ? ________.
16. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? lg ? ? x ? , x ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4, x ? 0
2

,若关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ?1 ? 0 有 8 个不

同根,则实数 b 的取值范围是_________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已 知向量 a ? ( 3sin 2x ? 3,cos x), b ? (1, 2cos x) ,设函数 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和其图像的对称中心; (2)当 x ? [

?

?

? ?

, ] 时,求函数 f ( x) 的值域. 12 12

? 7?

18.(12 分)在数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n , (1)设 bn ?

an ,证明:数列 {bn } 是等差数列; 2 n ?1

(2)求数列 {an } 的前 n 项和. 19.(12 分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间,随机抽取了高三男 生和女生各 50 名进行问卷调查,其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3 小时的学生 称为“古文迷”,否则为“非古文迷”,调查结果如表: 古文迷 男生 女生 合计 26 30 56 非古文迷 24 20 44 合计 50 50 100

(1)根据表中数据判断能否有 60% 的把握认为“古文迷”与性别有关? (2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行中国古典文学学习时间的调查,求所 抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数; (3)现从(2)中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行体育锻炼时间的调查, 记这 3 人中“古文 迷”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

3

参考数据:

P K 2 ? k0

?

?

0.5 0

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.455

0.708

1.321

3.841

5.024

6.635

参考公 式: K ?
2

? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

n ? ad ? bc ?

2

,其中 n ? a ? b ? c ? d .

20. (12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD ? 底面 ABCD ,

PD ? DC ? 1 , E 是 PC 的中点,作 EF ? PB 交 PB 于点 F .
(1)求证: PA // 平面 EDB ; (2)求二面角 F ? DE ? B 的正弦值.

P E F D C

A

B

x2 y 2 21.(12 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与 y 轴的正半轴相交于点 M ,点 F1 , F2 为 a b
椭圆的焦点, 且三角形 MF1F2 是边长为 2 的等边三角形, 若直线 l : y ? kx ? 2 3 与椭圆 E 交 于不同的两点 A, B . (1)直线 MA, MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由; (2)求三角形 ABM 的面积的最大值.

4

22.(12 分)设函数 f ? x ? =lnx ? e

1? x

2 , g ? x? ? a x ?1 ?

?

?

1 . x

(1)判断函数 y ? f ? x ? 零点的个数,并说明理由;

e x ? ex (2)记 h ? x ? ? g ? x ? ? f ? x ? ? ,讨论 h ? x ? 的单调性; xe x
(3)若 f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

高二数学(理)参考答案 一、选择题 1.C 2.D 二、填空题 13.6 3.A 4.C 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B 10.B 11.A 12.B

14.

7 3

15.2

16. ? 2,

? 17 ? ? ? 4?

三、解答题 17.解:(1) f ( x) ? 2sin(2 x ?

p ) ? 4 ,- ---------------(2 分) 6

则 f ( x ) 的周期 T ? p ,----------------(3 分)

kp p ? , 4), k ? Z .----------------(5 分)(不写 k ? Z 扣 1 分) 2 12 p p 7p p p 4p ] ,2 x ? ? [ , ] , (2) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 4 ,x ? [ , ----------------(7 分) 6 12 12 6 3 3
图象的对称中心为 (

? f ( x) ?[4 ? 3,6] ----------------(10 分)
18.解:(1)证明 由已知 an?1 ? 2an ? 2n , 得 bn ?1 ?

an ?1 2an ? 2n a ? ? nn ? 1 ? bn ? 1 . n n 2 2 2 ?1

?bn?1 ? bn ? 1 ,又 b1 ? a1 ? 1 .
∴ {b n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列.----------------(6 分) (2)解 由(1)知, b n ? n ,

an ? bn ? n .∴ an ? n ? 2n?1. n ?1 2

∴ Sn ? 1 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ?? (n ?1)2n?2 ? n ? 2n?1 两边乘以 2 得: 2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n , 两式相减得: ?Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 2n?1 ? n ? 22

? 2n ?1 ? n ? 2n ? (1 ? n) ? 2n ?1 ,
∴ Sn ? (n ?1) ? 2 ? 1.----------------(12 分)
n

19.解: (1)由列联表得 K ?
2

100 ? 26 ? 20 ? 30 ? 34 ? 56 ? 44 ? 50 ? 50

2

? 0.6494 ? 0.708 ,

所以没有 60% 的把握认为“古文迷”与性别有关.----------------(4 分)
6

(2)调查的 50 名女生中“古文迷”有 30 人, “非古文迷”有 20 人,按分层抽 样的方法抽出 5 人,则“古文迷”的人数为 5 ?

20 30 “非古文迷”有 5 ? ? 2 人. ? 3 人, 50 50

即抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为 3 人和 2 人.----------------(6 分) (3)因为 ? 为所抽取的 3 人中“古文迷”的人数,所以 ? 的所有取值为 1,2,3.
3 1 1 2 C3 C32C2 C3 C2 1 3 3 , , P ? ? 3 ? P ?? ? 1? ? ? P ?? ? 2 ? ? ? ? ? 3? . 3 3 C5 10 C5 5 C5 10

所以随机变量 ? 的分布列为

?
P

1

2

3

3 10

3 5

1 10

于是 E? ? 1?

3 3 1 9 ? 2 ? ? 3 ? ? .----------------(12 分) 10 5 10 5

20. (1)证明: 连结 AC, AC 交 BD 于点 G , 连结 EG .以 D 为原点, 分别以 DA, DC, DP 的 方 向 为 x 轴 , y 轴 , z 轴 的 正 方 向 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , 依 题 意 得

??? ? ???? ??? ?

1 1 A(1,0,0), P (0,0,1), E (0, , ) . 2 2 因为底面 ABCD 是正方形,所以点 G 是此正方形的中心, ??? ? ??? ? 1 1 1 1 故点 G 的坐标为 ( , ,0) ,且 PA ? (1, 0, ?1), EG ? ( , 0, ? ) . 2 2 2 2 ??? ? ??? ? 所以 PA ? 2 EG ,即 PA // EG ,而 EG ? 平面 EDB ,且 PA ? 平面 EDB ,

// 平面 EDB .----------------(6 分) ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 1 (2) B(1,1,0), PB ? (1,1, ?1) , 又 DE ? (0, , ) , 故 PB ? DE ? 0 , 所 以
因此 PA

2 2

PB ? DE . ? D ?E , E 由 已 知 EF ? PB , 且 E F 所 以 PB ? 平 面 EFD .---------- ------(7 分) EFD 所 以 平 面 的 一 个 法 向 量 为 ??? ? ???? ??? ? 1 1 ? (0, PB ? ( 1 ? ., DE1 , , ), 1 DB ) ? (1,1, 0) , 2 2
不妨设平面 DEB 的法向量为 a ? ( x, y, z)

P E F D G A B C

?

1 ? ?a ? DE ? ( y ? z ) ? 0 2 则? ?a ? DB ? x ? y ? 0 ?
不妨取 x ? 1 则 y ? ?1, z ? 1 ,即 a ? (1, ?1,1) ----------------(10 分)

?

7

设所求二面角 F ? DE ? B 的平面角为 ?

? ??? ? 2 2 a ? PB 1 . ? ? 因为 ? ? [0, ? ] ,所以 sin ? ? cos q ? ? ? ??? 3 | a || PB | 3
二面角 F ? DE ? B 的正弦值大小为

2 2 .----------------(12 分) 3

21.解:(1)因为三角形 MF1F2 是边长为 2 的等边三角形, 所以 2c ? 2 , b ? 3c , a ? 2 ,所以 a ? 2, b ? 3 , 所以椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,----------------(2 分) 4 3

所以点 M (0, 3) . 将直线 l : y ? kx ? 2 3 代入椭圆 E 的方程, 整理得: (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16 3kx ? 36 ? 0 ,(*) 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ) ,则由(*)式可得:

D ? (16 3k )2 ? 4(3 ? 4k 2 ) ? 36 ? 48(4k 2 ? 9) ? 0 ,
所以, k ? (??, ? ) ? ( , ??) ,----------------(4 分)

3 2

3 2

x1?x 2 ? ?

16 3k 36 , x 1?x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

, 所 以 直 线

MA, MB 的 斜 率 之 积

kMA ? kMB ?

y1 ? 3 y2 ? 3 ? x1 x2
3k ( ?16 3k )?3 3 ? 4k 2 36 3 ? 4k 2

?

(kx 1 ? 3)(kx 2 ? 3) 3k ( x1 ? x2 ) ? 3 ? k2 ? ? k2 ? x 1?x2 x 1?x2
9 ? 36k 2 1 ? 36 4

? k2 ?

所以直线 MA, MB 的斜率之积是定值 (2) 记 直 线

1 .----------------(6 分) 4
与 3

l: ? y

? k 2x

y

轴 的 交 点 为

则) N ( 0 , 2, 3

SD ABM ?| SD ANM ? SD BNM |?

1 3 | MN || x2 ? x |? ( x ? x1 ) 2 ? 42 xx 1 2 2

1

2

8

3 ?16 3k 2 36 6 4k 2 ? 9 6 ? ( ) ? 4? ? ? 2 2 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 4k 2 ? 9 ?

12 4k 2 ? 9

?

3 2

当且仅当 4k ?9 ? 12 ,即 k ? ?
2

21 3 3 ? (??, ? ) ? ( , ??) 时等号成立. 2 2 2 3 .----------------(12 分) 2

所以三角形 ABM 的面积的最大值为

22.解(1)由题意知 x ? 0 ,∴ f ? ? x ? ?

1 e ? ?0 x ex
e ? 0, ee

故 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递增,又 f ?1? ? ?1 , f ? e ? ? 1 ? e1?e ? 1 ?

因此函数 y ? f ? x ? 在 ?1, e ? 内存在零点.所以 y ? f ? x ? 的零点的个数为 1. ----------------(3 分) (2) h ? x ? ? a x 2 ? 1 ?

?

?

1 1 e ? lnx ? e1? x ? ? x ? ax 2 ? a ? lnx , x x e

h? ? x ? ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0) , x x

当 a ? 0 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递减; 当 a ? 0 时,由 h? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?

1 (舍去负值) , 2a

所以 x ? ? 0,

? ?

1 ? ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减, 2a ?

? 1 ? x ?? , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. ? 2a ?
综上 a ? 0 时, h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减,

h ? x ? 在 ? 0, a ? 0 时,
?
(3)由题意: lnx ?

?

1 2a

? ? 1 ? 在? , ?? ? 单调递增. ----------------(6 分) ? 单调递减, ? ? 2a ?

e 1 ? a x2 ?1 ? , x e x 1 e 问题等价于 a x 2 ? 1 ? lnx ? ? x 在 ?1, ?? ? 恒成立, x e

?

?

?

?

9

设 k ? x? ?

1 e e x ? ex , ? ? x ex xe x

若记 k1 ? x ? ? e x ? ex ,则 k1? ? x ? ? e x ? e ,当 x ? 1 时, k1? ( x) ? 0 ,

k1 ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, k1 ? x ? ? k1 ?1? ? 0 ,即 k ? x ? ? 0 ,
若 a ? 0 ,由于 x ? 1 ,故 a x 2 ? 1 ? lnx ? 0 ,故

?

?

f ? x? ? g ? x? ,

即当 f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 恒成立时,必有 a ? 0 . 当 a ? 0 时,设 h ? x ? ? a x 2 ? 1 ? lnx , ①若

?

?

1 1 ? 1 ,则 0 ? a ? 时, 2 2a
? ? 1 2a
? 1 ? ? , ?? ? , h ? x ? 单调递增, ? , h ? x ? 单调递减, x ? ? ? 2a ? ?

由(2)知 x ? ?1,

因此 h ?

? 1 ? 2a

1 ? ? 1 ? ? 1 ,使 f ? x ? ? g ? x ? , ? ? h ?1? ? 0 ,而 k ? ? ? 0 ,即存在 x ? 2a ? ? 2a ?
1 时, f ? x ? ? g ? x ? 不恒成立. 2

故当 0 ? a ? ②若

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, 2 2a

1 e 1 1 e ? x , s? ? x ? ? 2ax ? ? 2 ? x , x e x x e e 1 e 1 由于 2ax ? x 且 k1 ? x ? ? e x ? ex ? 0 ,即 x ? ,故 ? x ? ? , e x e x
设 s ? x ? ? a x 2 ? 1 ? lnx ?

?

?

因此

1 1 1 x3 ? 2 x ? 1 x 2 ? 2 x ? 1 ? x ? 1? s? ? x ? ? x ? ? 2 ? ? ? ? ?0 x x x x2 x2 x2
2

, 故 s ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增.所以 s ? x ? ? s ?1? ? 0 时, 即a ?

1 时, f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 恒成立. 2
?1 ? ? 2 , ?? ? , f ? x ? ? g ? x ? 在 ?1, ?? ? 恒成立. ----------------(12 分) ? ?

综上: a ?

10


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