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圆锥曲线极坐标方程的不同形式


1

9

8

4

年 第 二 期

圆 锥 曲 线 极 坐 标 方 程 的 不 同 形 式

依 据 圆锥 曲线 的 统 一 定 义 笔 者认 为 由焦 点 与 准 线 的不 同 位 置 关系 从 而 建立 不 同 的 极 坐 标 系
, ,

,




表 中p 表 示 焦 点 ( 极点 ) 到 对 应 准 线
l

的 距


一 般 解 析 几 何 教材 对 I


可 得 到 极 坐 标为 程 的 不 同 形式如 下 表

:

I 两种 情 况 均 有 阐

作 为极 点 的 焦 点与 准 线 城 互位 置


以此焦 点 为 极点 半直 线 为极 轴
,




.



极 坐 标 方 程
p
=

一 r V I 州

! . ,

.

s e

在对应

以 过 焦 点 且垂 直 于 准 线 的 右

_ 1
1

些 几 _
-

一 ee

o s

o

在 对 应 准 线 左方 在 对 应 准 线 !二方
_

e

P

+

e e o 3

0

e

P

1


一 e s in

o

在 对 应 准 线下 方

e

P
e s

1

+

in o

述 点

,

,


=

,

现对 1 W 准导 如 下 (只 推 导 l F 从略 ) 如 图 焦 点 F 在准 线l 的 上方 取 焦 点 F 为 极 经 过 F 作准 线 1 的 平 行 线 取其 右 半 直 线 为 极 建立 极 坐 标 系 设 焦 点F 到 准线 I 的 距 离 1 F N !


,



?

,



l ) 原 方程可化 为 P (
,

1


1 一



c 。、

e

,

,



合 表 中方 程 I





P

,

p

(p

,

0)

为圆 锥
?



>

,

,

故 方 程 表 示 双 曲线 ;
3

曲 线 土 任 意一 点
PF
, , ,

连 结
( 2 ) 原方程可化 为 p
_

作 P Q 上l 与 FX 相 M 于 则 显 然 PM L F X 交
,

=

一里一 一
1
乙 一 下尸 e o s 住

o

由 圆 锥 曲线 定 义 得

护 「 可「
?

} PF }
:

之 e

?

< 一是

,

,

故方程 表 示 椭 圆

;

(3 )
M

}rF I= p = p Q ! { }p
+

该方 程 符合 表 中方 程 1
;

,

_





=

1

,



}

+

蓄 Q { }入



p

s

in o +

} FN

方 程 表 示抛 物 线
( 4 )

=

P3

i o
n

P
p

,

1

.

_

_

原方 程 可 化 为

p



2
+

“ P + P 5 1刀 0

3
二,


5 1 及巴

,。

。二



而 鬓百

.

e 二

3 ) 下 二 1
_
~

,



故 表 示 双 曲线
年 高考



我们 有 了 表 中 四 种 圆锥 曲线 的 极 坐 标 方 程
就可在解题中灵活选用


例2
如图

.

(8 3

理 科数 学 第 七 题 )
:
,



1

.

判 定 下 列 方程表示 什 么 曲线
P


已 知 椭圆 长

(1 )

3

3



4

e o s

o

(2 ) P

=

6

轴 IA
.

:
:

A

:

}
=

=

4



3e o

0

! FI F

{



焦 距 了云 过
,
,

6

,

又3 )

p

2
=

白 不 不蔽花



(4 ) p

1

币 不面 丽

?

椭 圆焦 点F l 作一 直线 Z 交椭 圆 于 M N 两 点 设 乙 F F :


M





(o 镇



二 , 气 )

.

30

.


,








F:



取什么值时

} M N ! 等 于 椭 圆短 轴 的长 ?
,

l 为极 点 ’ 解 以 椭 圆 焦 点f 的 射 线 为极轴 建 立 极 坐 标 系
由 已 知椭 圆 长 半 轴
a

以凡 为 起 点 并 过

MN

!
1

=

P 一 + P:





3 6
e o 马。



2


sZ
a
.

2

e o s a



3
=

.

半 焦距
2

c

=

2



2

.

3 +

2

短半轴 应 准线
x

b

=

1

,

离 心率


e

=




3

2

,

焦 点F l 到 对



记2 f匕 一
o s




9



se o

=
a

:

,

日 一 se


。 o 解得 s






,

.



户苍

; 的 距离P
9

丫2

:

一誉




一譬


?

由 于 焦 点 F : 在 对 应准 线

:

了2 厂 } 勺右 力
,

以 上 解 方 程 过 程 中每 一 步 都是 可 逆 的 故

本 题 也 可 以 按 右 图 所示 求 解



故 椭 圆 的 极 坐 标 方程 符 合 表 中 的
e

(

! )

\





票或
O

=


U




P

尸 二

气二
l



,e C

了下 下 石,
O 匕0



p

=

3



2



2

e o s

o

}M

N

I 等 于 短 轴的 长



}F


I

M

}
.

=

p x

=

3

,



2


一-

2
1

e o s



(作 者 单 位 : 上 海 市 宝
山 县 教 师 进 修 学校 )
a


,

!

r

l 去 、

{

=

p

Z



-



-



+

2



2



e o s

极 坐 标 系 中 有 关 点 和 曲线 的 几 个 判定 方 法

在 直 角 坐 标 系中 坐 标 平 面 上 的 点 和 它 的坐 标 之 间 是 一 一 对 应 关 系 而 在 极 坐 标 系 中 如 果 对 极 径 p 和 极 角0 不 作 限 制 点 和 其
, ,




, ( 2 、万


n

?

Zn



2了百 ) 和 ‘






+

,

,

Zn

坐 标 之 间就 不 是一 一 对 应 而 是 一 对 无 穷 多 这 样 在 极 坐标 系 中 讨 论 点 和 曲 线 时
,


动 其 中k
,



是任 意 整 数

,

,

如 果 学 生 求 得两 个 交 点 的 坐 标 没 有 写 出 一 般表 达式
‘2 了 ‘
,

就和 在 直 角 坐标 系 中 不 尽 相 同 学 生 在 这 方 面 也 最 容 易产 生 错 误 本文 拟 对 几 个常 见 的
,


而 只 写 出 ‘” 侧
)
, ( 一 2 、‘




二)


)



问题

,

提 出 几 个处 理 方 法


,

供 同 志 们 参考



,





关 于点 的坐标
,

含或
~

在 直角 坐 标 系 中
,


点 的 坐 标 是唯 一 的





而 在 极坐 标 系 中 点 的 坐 标 有 无 穷 多 个 表达 。 。 , 方 式 如 果 ( 户 8 ) 是 点 的坐 标 那 么
,

(一 2 了 2

,

3



丁汀 )
:

等等
> O

,

也 都是 正 确 的
,





(尸

。,

0



+

Z k 二 )或

(一





.

8



+

(Z k


+ 1 ) 二)
,

如 进 一 步 要求 另外
,

p

O

镇0<


2二

,

则交
,

(k 是 任 意 整 数 ) 也 都 是 该 点 的 坐 标

在 求 点 的 极 坐标 时 但 只 要 它们 具 有 上 面 的 形 式
,

所以 往 往得 出不 同的结果
,
,

点 的极 坐 标 表达 式 是 唯 一 的

如 果 给 出 了 点 的 两 个坐 标
,

怎样

就 都 是 正 确
p
=





判断 它 们 是否 表 示 同一 个 点 呢 ? 若 p 的 绝 对 值不 同 , 则 首 先 看极 径 p

直线 交 点 坐 为 的 标
,

例如

尸 e o so = 2

和圆

4Co so

肯 定 不 是 同 一 个 点 ; 若 p 的 绝 对 值相 同 看0 可 以 按 下 例 中 的 方 法进 行 判 断
, 。

,




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