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对数的运算性质


对数的运算性质

课前练习:

⑴给出四个等式:

1) lg(lg10) ? 0; 2) lg(ln e) ? 0; 3)若lgx=10,则x=10; 4)若lnx=e,则x=e
2

1) ,2) 其中正确的是________ ⑵ ⑶ ⑷

log 3 1 ? log 3 3 ? log 3 27 ?4 ln e ? lg100 ?3 7 lg14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg18 ? ? 3

对数的运算性质

证明: loga MN ? loga M ? loga N
证明:①设 loga M ? p,
p

loga N ? q,
q

由对数的定义可以得:

M ?a , N ?a p q p?q ∴MN= a ? a ? a

? loga MN ? p ? q 即证得 loga MN ? loga M ? loga N

对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga MN ? loga M ? loga N ⑴

M log a ? log a M ? log a N N n loga M ? n loga M (n ? R)
语言表达: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍

M ? log a M ? log a N 证明: log a N
证明:②设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M
p

loga N ? q,

?a , N ?a
p

q

M ? ∴ N
即证得

a p ?q M ?a ? log a ? p?q q N a
M log a ? log a M ? log a N N

证明:
证明:设

loga M ? n loga M
n

loga M ? p,

由对数的定义可以得:M


?a ,
p
n

M ?a
n
n

np

? loga M ? np

即证得

loga M ? nloga M(n ? R)

讲解范例 例1 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) log a

x

2 3

y z

?

log a ( x y ) ? log a z
2
1 2 1 3

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

讲解范例 例2 计算 (1) log2 (25 ? 47 ) 解 : log (25 ? 47 ) 2 (2) lg 5 100
5

? log2 25? log2 47 ? log2 25 ? log2 214
=5+14=19

1 2 ? lg10 解 : lg 100 5 2 ? lg10 5 2 ? 5

log b c log b ? 换底公式: a logc a

(a>0,且

a ? 1 ;c>0,且 c ? 1

;b>0)

证明:设

log b ? x a



则将它化为指数式为: a x ? b
c c

两边取以c为底的对数得: log a x ? log b 则由对数运算性质(3)得: x log c a ? log c b 又因为

x

log a 移到右边则有: 并将 log b c = a
log b c log b ? a log a c

则命题的证。

几个小结论:
log a m n N ? log a N m
n

loga b ? logb a ? 1

a, b ? (0,1) ? (1,??)

a

log a b

?b

a, b ? (0,1) ? (1,??)

log am
证明:

n N ? log a N m
n n x m n

log am N ? x ? ? a a
mx n

?

?N

n

? N ? log a N ? mx

1 n n x ? log a N ? log a N m m

log a b ? log b a ? 1 log c b 证明:log a b ? log c a log c a log b a ? log c b log a b ? log b a ? 1

a, b ? (0,1) ? (1,??)

log 5 ? b 求 lg 2 例:已知log8 9 ? a, 3

解:由题意得: 2 2 lg 3 log8 9 ? log 23 3 ? log 2 3 ? ? a...(1) 3 3lg 2 又 ? lg 2 ? lg 5 ? lg10 ? 1? lg 2 ? 1 ? lg 5
2

lg 5 1 ? lg 2 则 log 3 5 ? ? ? b...................(2) lg 3 lg 3 2 由(1)(2)可得:lg2= 3ab ? 2

课堂小结: 对数的运算性质

如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有: loga MN ? loga M ? loga N ⑴
M log a ? log a M ? log a N ⑵ N
loga M n ? n loga M (n ? R)

log b 换底公式:log b ? c (a>0,且 a ? 1 ;c>0,且 c ? 1 a log a c 几个小结论:log a N n ? n log a N m
m



;b>0)

loga b ? logb a ? 1 a, b ? (0,1) ? (1,??)

a

log a b

?b

a, b ? (0,1) ? (1,??)

说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”……
2) 有时可逆向运用公式 3)真数的取值必须是(0,+∞) 4)注意

loga (MN ) ≠ loga M ? loga N loga (M ? N ) ≠ loga M ? loga N

巩固练习:
提高练习:

p751.2.3
lg x ? lg a ? 2lg b ? 3lg c, 则 x

1 ⑴ 若

? ______ c3

2 ab

⑵ ⑶

1 log 6 12 ? log 6 2
2 _____________

1 2 2 的值为______

log 2 8 ? 4 3 ? log 2 8 ? 4 3 ?

;

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学,然后再请省城的大戏班子来唱三天贺台大戏,最后,咱们再热热闹闹办喜事!姥爷这身子骨儿还行,肯定能看到这一天!”耿老爹说: “小学堂和大戏台赶今年儿秋后肯定都能盖起来,到时候一定给他们把婚事办了,办婚事的时候就可以唱贺台大戏。只是这开学的时间还不好 定哇,需要准备的事情很多呢!”老爷子说:“那就先办了喜事,贺了戏台。然后哇,你们再准备小学堂开学的事情!”又转向耿正和耿英: “咱可说和了,小学堂和大戏台一盖起来就办喜事啊!”耿正说:“姥爷放心,到时候俺们一定办!”耿英说:“最好是同一天办得了,省得 大家伙儿麻烦两次!”郭氏笑着说:“瞧俺们英子这性子,就是习惯了什么事儿都是先替别人考虑。可这一天办俩喜事的事儿,能成吗?”耿 老爹也笑着说:“俺看能成,这叫喜上加喜呢!”老爷子说:“依俺看,也没有什么。倘若要讲究嘛,就得相隔一百天了。那样一来,岂不把 下一个喜事拖得太久!”见大家都笑着点头,郭氏也笑着说:“那俺也同意了,到时候就给他们一天操办了!”尚武说:“爹,到那个时候, 您种的水稻也该成熟了呢!”耿老爹说:“哪怕晚几天给你哥和你姐操办喜事,爹也一定要在他们的喜宴上加上这一道鲜见的香米饭!”妻弟 问:“姐夫要在咱们镇上种水稻啊?”老爷子说:“稻种都带回来了。你姐夫想试着种种,俺觉得这个主意挺不错呢!”妻弟说:“那敢情好。 把咱们家的那三亩水田也都让姐夫试种去哇!俺本来也没有时间种这些地呢。”老爷子笑着点头。妻弟妹笑着说:“姐夫快去种了哇,两块地 离得不远,好照应呢!”耿老爹高兴地说:“好啊,那俺的试种田可就大多了哇!”郭栋看看大饼已经晾凉了,就全部装在一个干净带大袋子 里,对耿正说:“大哥,你走的时候别忘了扛上啊!”耿直说:“忘不了,二哥记着呢!”又拉呱一会儿,看看两个小娃娃有些个困乏了,于 是大家准备起身告辞。耿英这才打开礼物包,说:“路途太远了,俺们也没有多带东西回来。这几块丝绸料子色泽质地还可以,舅母看着给大 家做几件衣服穿哇。这枚戒指是给舅母买的,银镯子和银锁子给表妹和小表弟戴着玩儿!”妻弟妹说:“哎呀,这远路风尘的,不用带的。还 有这金戒指,舅母一天起来干粗活儿,哪里带得了这么金贵的东西啊!”耿英说:“舅母一年到头的辛苦,怎么就带不了金贵一点儿的东西 了!”这边,耿直和尚武已经将一大袋大饼合提起来了。于是大家告辞,妻弟夫妇和郭栋送出门来。不紧不慢走了不消一刻钟就返回来了。郭 氏掏钥匙开门,耿正说:“天儿有些晚了,明儿个再给董伯伯送小推车哇!”耿老爹说:“不急,先搁在咱家门道里哇!”开门后,郭氏走头 里去屋子里点灯,耿老爹走在最后摸黑关上插


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