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2.4平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其 含义
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角

一般地,实数λ与向量a 的积是一个向 量,记作λa,它的长度和方向规定如下: (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa 的方向与a方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a方向相反;

特别地,当λ=0

或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量,λ,μ为 任意实数,则有: ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa

③ λ(a+b)=λa+λb

已知两个非零向量a和b,作OA=a, OB=b,则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) 叫做向量a与b的夹角。
B

θ
O

A

当θ=0°时,a与b同向;

O

A
B

B

当θ=180°时,a与b反向; A 当θ=90°时,称a与b垂直,
记为a⊥b.

O

B

b O a A

我们学过功的概念,即一个物体在力F 的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角

从力所做的功出发,我们引入向量 “数量积”的概念。

已知两个非零向量a与b,它们的 夹角为θ,我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积(或内积),记作a· b

a· b=|a| |b| cosθ

|a| cosθ(|b| cosθ)叫 做向量a在b方向上(向 量b在a方向上)的投影。 规定:零向量与任一向量的数量积为0。

向量的数量积是一个数量,那么它什 么时候为正,什么时候为负?

a· b=|a| |b| cosθ
当0°≤θ < 90°时a· b为正; 当90°<θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。

? ? ? ? 是非零向量, e 是与b 方向相同的 设 a、b ? ? 单位向量, ?是a与e 的夹角,则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 1 ) e ? a ? a ? e ? | a | cos ? a ? b ?| a || b | cos ?
? ? ? ? ? ? B (3)当a与b 同向时,a ? b ?| a || b |; b θ A ? ? ? O ? ? ? B1 a 当a与b 反向时,a ? b ? ? | a || b |; ? ? ?2 ?2 ? ? ? 特别地 a ? a ?| a | 或 | a |? a ? a ? a ? ? ? ? ? a ?b ? (4) cos? ? ? ? ( 5 ) | a ? b | ? | a || b | | a || b |
? ? ? ? (2)a ? b ? a ? b ? 0

例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角 θ=120°,求a·b。
解:a· b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120°
=5×4×(-1/2)= -10

例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a· b。

解: |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a· b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2

b
O

B

θ |b|cosθ B1 a

A

? 的长度 ? ? ? ? ? | a |与 b 在a方向上的投影 a ? b 等于 a
? | b | cos? 的乘积。

练习: 1.若a =0,则对任一向量b ,有a · b=0. √
2.若a ≠0,则对任一非零向量b ,有a ·b≠0. × 3.若a ≠0,a · b =0,则b=0 × × 4.若a · b=0,则a · b中至少有一个为0. 5.若a≠0,a ·b= b ·c,则a=c × 6.若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 × 时成立. 2 2 7.对任意向量 a 有 a ?| a | √

二、平面向量的数量积的运算律:

数量积的运算律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2)(?a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ? ? ? ? ? ? ? (3)( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c ? ? ? 其中, a、b 、c是任意三个向量, ??R
? ? ? ? ? ? 注: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

证明运算律(3)

向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a· c + b· c.

N c

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2.
证明:(1)(a+b)2=(a+b)· (a+b) =(a+b)· a+(a+b)· b =a· a+b· a+a· b+b· b =a2+2a· b+b2.

例 3:求证: (1)(a+b)2=a2+2a· b+b2; (2)(a+b)· (a-b)=a2-b2. 证明:(2)(a+b)· (a-b)=(a+b)· a-(a+b)· b =a· a+b· a-a· b-

b· b
=a2-b2.

? ? 例4、 已知 | a |? 6, | b |? 4,a 与b 的夹角为 ?
? ? 60 ,
o

?

求(a ? 2b ) ? (a ? 3b ) 。

?

?

?

?

解:

? ? 例5.已知 | a |? 3,| b |? 4,当且仅当k为何值时, ? ? ? ? 向量a ? kb与a ? kb 互相垂直?

作业:

? ? ? ? ? ? ? ? 1、若 | a |?| b |? 1, a ? b 且2a ? 3b 与ka ? 4b 也 互相垂直,求k的值。 ? ? ? 2、设a是非零向量,且b ? c , 求证: ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? c ? a ? (b ? c )

3、用向量方法证明:直径所对的圆周 角为直角。
如图所示,已知⊙O,AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A 分析:要证∠ °,只须证向 ??? ??? ??? ?? ? ACB=90 量AC ? CB ,即AC ? CB ? 0 。 ??? ? ??? ? AO ? a,OC ? b 解:设 ??? ? ? ??? ? ? 则 AC ? a ? b ,CB ? a ? b ,

C
B

O

由此可得: AC

???

? CB ? a ? b ? a ? b

?? ?

?2 ?2 ? ? 2 ? a ? b ?| a | ? | b |2

?

?

?

? ?

?

?

?

? r2 ? r2 ? 0

即 AC ? CB ? 0 ,∠ACB=90°


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