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高一上学期期末质量检测数学试题-北师大版


高一期末质量检测数学试题
试卷说明:本试卷分选择题和非选择题两部分,试卷总分 150 分 考试用时 120 分钟 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 1.设U ? ?1, 2,3? , A ? ?1, 2? , B ? ?1,3? , 那么 (C A) ? C B ? 等于( )
U

>
n 14

o 15

p 16

q 17

r 18

s 19

t 20

u 21

v 22

w 23

x 24

y 25

z 26

现给出一个变换公式:

A.

?2,3?
A.l∥ a

B. ?1,3? B. l 与 a 异面
2

C.

?

D.

?3?

U

3.若直线 l∥平面 ? ,直线 a ? ?

,则 l 与 a 的位置关系是 ( C. l 与 a 相交 )



D. l 与 a 平行或异面

? x ?1 将明文转换成密文,如 ( x ? N ? , x ? 26, x不能被2整除) ? ? x' ? ? 2 ? x ? 13 ( x ? N ? , x ? 26, x能被2整除) ? ?2 8 5 ?1 8 ? ? 13 ? 17 , ? 3, 即 h 变成 q ; 5 ? 即 e 变成 c . 按上述规定, 若将明文译成的密文是 shxc, 2 2

9 4.函数 y= 1 ? x ? 是( 1? x
A.奇函数
a b

那么原来的明文是( ) A. lhho B. eovl C.ohhl D.love 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上) 13.函数 f ( x) ?

B.偶函数
a b
a b

C.既是奇函数又是偶函数
a

D.非奇非偶函数
a a b

5. 已知 a ? b ? 0 ,则 2 , 2 ,3 的大小关系是(
a a b a


a

A. 2 ? 2 ? 3 B. 2 ? 3 ? 2 C. 2 ? 2 ? 3 D. 2 ? 3 ? 2 7. 若 m ,n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? A.

1 的定义域是 log2 ( x ? 1)
2 1 1? k





? ? m ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ?
B.若 ? )
主视图 1 2 左视图

14.幂函数 y ? (k ? 2k ? 2) x

在(0,+ ? )上是减函数,则 k=__________。

8.函数 f ? x ? ? log3 x ? 8 ? 2x 的零点一定位于区间(

15. 如图正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,若 ?A?B ?C ? 的面积为 3 ,那么△ABC 的面积 为_______________。 16.关于函数 f ?x ? ? lg

? 5,6?

B.

? 3, 4?

C.

? 2,3?

D. ?1, 2 ?

x2 ?1 ( x ? 0, x ? R) 有下列命题: x

9.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是 A. (2 ? 5)? B. 4? C. (2 ? 2 2)?
x

①函数 y ? f ( x ) 的图象关于 y 轴对称; ②在区间 ( ?? ,0) 上,函数 y ? f ( x ) 是减函数; ③函数 f ( x ) 的最小值为 lg 2 ;

2 俯视图

D.

6?

10.若函数 y ? a ? b ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象经过二、三、四象限,一定有(



A. 0 ? a ? 1且b ? 0 B. a ? 1且b ? 0 0 ? a ? 1 且 b ? 0 C. D. a ? 1且b ? 0 11.如图,动点 P 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的对角线 BD1 上.过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线, 与正方体表面相交于 M ,N .设 BP ? x , MN ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( D1 A1 D M B1 P N C1 y y y y )

(1, ? ) ④在区间 上,函数 f ( x ) 是增函数.其中正确命题序号为_______________. 15 题图 三、解答题(本大题 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 已知集合 P ? x a ? 1 ? x ? 2a ? 1 , Q ? x ? 2 ? x ? 5
(1)若 a ? 3 ,求 P ? Q . (2)若 P ? Q, 求 a 的取值范围.

?

?

?

?

x D. A B 12 现代社会对破译密码的难度要求越来越高.有一种密码把英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文 的 a, b, c,?, z 的 26 个字母(不论大小写)依次对应 1,2,3,…,26 这 26 个自然数(见下表): A. B. C. a 1 b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 g 7 h 8 i 9 j 10 k 11 l 12 m 13
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C

O

x

O

x

O

x

O

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC=2,E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. P (1)证明 PA//平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求 VB ? EFD .
E F

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ,当 x, y ? R 时,恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . (1). 求证: f ( x) ? f (? x) ? 0; (2). 若 f (?3) ? a, 试用 a 表示 f (24); (3). 如果 x ? 0 时, f ( x) ? 0, 且 f (1) ? ?

1 ,试求 f ( x ) 在区间 [?2, 6] 上的最大值和最小值. 2

D

C

O A B

20. (本小题满分 12 分) 某 种 商 品 在 近 30 天 每 件 销 售 价 格 P( 元 ) 与 时 间 t( 天 ) 之 间 的 函 数 关 系 是 :

22. (本小题满分 14 分) 已知正实数 x , y 满足等式 ?

?t ? 20 (0 ? t ? 25 且 t ? N ) 设 商 品 日 销 售 量 ? ( 件 ) 与 时 间 t( 天 ) 之 间 函 数 的 关 系 是 ? p?? ? ? ??t ? 100 (25 ? t ? 30 且 t ? N ) ? ? ?t ? 40(0 ? t ? 30 且 t ? N ? ) ,求这种商品的日销售金额的最大值,并指出哪天的销售额最大?
?

(2)是否存在实数 m ,使得函数 g ( x) ? mf ?x? ? 不存在,请说明理由。

? 1? ? ?log y ?1 ? x ? ? 1? ? ?log ( x ?3) y ? ? ?1 ? ? ? ? (1)试将 y 表示为 x 的函数 y ? f ?x ? ,并求出定义域和值域。

f ?x? ? 1 有零点?若存在,求出 m 的取职范围;若

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数学答案 一、选择题 CCDBC ACBAA 二、填空题 BD

13. ?1,2? ? ?2,??? 14、3 15、 2 6 16、 (1) (3) (4) 三、解答题 17.解: (1) P Q ? {x ?2 ? x ? 7} 。……4 分 (2)当 P

? ? 时: a ? 0.……7 分
? ?2a ? 1 ? 5. ?2a ? 1 ? a ? 1. ?
解得: 0 ? a ? 2.……10 分

当 P ? ? 时: ?a ? 1 ? 2.

?a ? 2. ……12 分 18.解: (1) 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ……6 分
(2) S ?ABC ? 11 ……12 分

19.解: (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O.连结 EO.∵ 底面 ABCD 是正方形,∴ 点 O 是 AC 的中 点.在△PAC 中,EO 是中位线,∴ PA//EO.而 EO ? 平面 EDB,且 PA ? 平面 EDB,所以,PA//平面 EDB.……4 分 (2)证明:∵ PD⊥底面 ABCD,且 DC ? 底面 ABCD, ∴ PD⊥DC. ∵ 底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC, ∴ BC⊥平面 PDC. 而 DE ? 平面 PDC,∴ BC⊥DE.又∵ PD=DC,E 是 PC 的中点,∴ DE⊥PC. ∴ DE⊥平面 PBC. 而 PB ? 平面 PBC,∴ DE⊥PB.又 EF⊥PB,且 DE EF ? E ,所以 PB⊥平面 EFD.……8 分 (3) VB ? EFD =

又 x2 ? x1 ? 0,? f ( x2 ? x1 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) , ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x) 在 R 上是减函数……9 分 f ( x) max ? f (?2) ? ? f (2) ? ?2 f (1) ? 1 1 f ( x) min ? f (6) ? 6 f (1) ? 6 ? (? ) ? ?3 ……12 分 2 ? 1? ? 1? 22. 解: (1)由等式的 log y y?1 ? ? ? log y ?x ? 3? ,则 y?1 ? ? ? x ? 3 ? x? ? x? x ? x ? 3? 即y? ……2 分 x ?1 ? ?x ? 0 ? x ? x ? 3? 由题意知 ? y ? 0且y ? 1, 解得x ? 1 ,? f ( x ) ? 的定义域是 ?1,??? ……4 分 x ? 1 ? 1 ?1 ? ? 0 ? x 令 x ? 1 ? t , 则 x ? t ? 1, 且 t ? 0 ?t ? 1??t ? 4? ? t ? 4 ? 5 易得函数 f ?x ? 的值域是 ?9,??? ……7 分 y? t t (2)若存在满足题意的实数 m ,则关于 x 的方程 ?1,??? 上 有 实 mf ?x? ? f ?x? ? 1 ? 0 在 区 间
解 令

问题转化为关于 u 的方程 m u ? u ? 1 ? 0 在区间 ?3,??? 上有实解,……10 分
2

f ?x? ? u ,则由(1)知 u ? ?3,???
2

……8 分

4 ……12 分 9

20. 解:设日销售金额为 y 元,则 y ? p ? ? ? ? 即y??

? (t ? 20) ? (?t ? 40) ?(?t ? 100) ? (?t ? 40)

? ? t 2 ? 20t ? 800 2 ?t ? 140 t ? 4000

(0 <t< 25, t ? N * ) ……6 分 (25 ? t ? 30, t ? N *)

1 1 ? 1 1 ? 1 1 ? 1? 化为: m ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? 又 ? ? 0, ? u 4 u ? 3? u ?u 2? ? 2? 所以 m ? ? 0, ? ? 9? ? 2? 即存在满足题意的实数 m ,其取值范围是 ? 0, ? ? 9?

……14 分

<t< 25 时, y1 ? ?(t ? 10) 2 ? 900 ①当 0
当 t ? 10 时, y1max ? 900元……8 分
2 ②当 25 ? t ? 30 时, y2 ? (t ? 70) ? 900

当 t ? 25 时, y2 max ? 1125元……10 分 综上所述,当 t ? 25 时, y max ? 1125……12 分 21. 解:(1)令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f (? x) ? ? f ( x), ? f (? x) ? f ( x) ? 0. ……3 分 2)由 f (?3) ? a f (3) ? ?a, ? f (24) ? f (3 ? 3 ? ??? ? 3) ? 8 f (3) ? ?8a .……6 分 (3)设 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f [ x1 ? ( x2 ? x1 )] = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 )
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