当前位置:首页 >> 数学 >> 第一讲 整数的整除性1

第一讲 整数的整除性1


第一讲
一、整除的概念·带余除法

整数的整除性

我们知道两个整数的和、差、积仍然是整数,但是用一不等于零的整数去除另一个 整数所得的商却不一定是整数,因此我们引入整除的概念: 定义 1 设 a,b 是整数,b? 0,如果存在整数 q,使得 a = bq 成立,则称 b 整除 a(或 a 能被 b 整除) ,记作 a?b。此时,

称 a 是 b 的倍数,b 是 a 的约数 (或因数) 。如果上述 q 不存在,我们就说 b 不整除 a 或 a 不能被 b 整除,记作 b ? | a。 显然每个非零整数 a 都有约数 ?1,?a,称这四个数为 a 的平凡约数,a 的另外的约数 称为非平凡约数。 下面我们来讨论关于整除的基本性质. 定理 1(传递性) 如果 a,b 和 c 是整数,且 a?b,b?c,则 a|c. 证明 从而得到 a|c. 例如,11|66 而 66|198,由上述定理可知 11|198. 定理 2 证明 如果 a, b, c,m,n 为整数且 c?a,c?b,则 c?(ma+nb) 因为 c?a,c?b,所以存在整数 e 和 f,使得 a=ce,b=cf.因此 因为 a?b,b?c,所以存在整数 e 和 f,使得 b=ae,c=bf.因此 c=bf=(ae)f=a(ef),

ma+nb=m(ce)+n(cf)=c(me+nf),从而得到 c?(ma+nb) 定理 3 如果 a|b,c|d, 则 ac|bd.

下面的定理是关于整除性的一个重要结论. 定理 4(带余除法)如果 a、b 是整数且 b≠0,则存在唯一的整数 q 和 r,使得 a=bq+r, ( 0 ? r ?| b | ). 证明 (存在性)

(i)当 b>0 时,作整数序列 …,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b, … 若 a 与上面序列中的某一项相等,则 a=bq,即 a=bq+r,r=0. 若 a 与上面序列中的任一项都不相等, 则 a 必在此序列的某相邻两项之间, 即有确定的 整数 q,使 bq<a<b(q+1).令 r ? a ? bq ,则 0 ? r ? b

( ii)若 b ? 0 ,则 | b |? 0 . 由 (i)知,存在整数 s,t 满足 a ?| b | s ? t 且 0 ? t ?| b | . 又因

| b |? ?b ,所以 a ? ?bs ? t .取 q ? ? s , r ? t ,则有 a ? bq ? r 且 0 ? r ?| b | .
(惟一性)假设有两对整数 q ?、r ?与 q ??、r ??满足 a = q ??b ? r ?? = q ?b ? r ?,0 ? r ?, r ?? < |b|, 则 (q?? ? q ?)b = r ? ? r ??, 因 0 ? r ?, r ?? < |b|,所以|r ? ? r ??| < |b|, 从而| (q?? ? q ?)b|= |q?? ? q ?||b|< |b|, |q?? ? q ?|<1,故|q?? ? q ?|=0 即 q?? = q ? 从而 r ? = r ??。 即 ■

在带余除法给出的公式中,我们称 q 是 a 被 b 除的商,r 是 a 被 b 除的余数,同时称 a 为被除数,b 为除数.显然,b|a 的充要条件是 r=0. 例1 例2 若 n>1,(n-1)|(n+11), 求 n.. 证明:设 A ? an an?1

a1a0 (这里 anan?1

a1a0 表示由 an , an?1 ,

a1 , a0 十个数

字组成的十进制的自然数),则 3(或 9)整除整数 A 充分必要条件是 3(或 9)整除

?a 。
i ?0 i

n

例3

若 n 是整数,k 是正整数,则

n(n ? 1)

(n ? k ? 1) 的值是整数. k!

例 3 告诉我们:k 个连续整数的积一定能被 k!整除 例4 已知 n 是正整数,求证:当 4 | n 时, 1 ? 2 ? 3 ? 4 能被 5 整除。 (匈牙利
n n n n

1901 数学竞赛题) 带余除法的例题没有

二、 整数的奇偶性
定义 2 能被 2 整除的整数称为偶数,不能被 2 整除的整数称为奇数. 奇数与偶数有下列性质: 性质 1 两个偶数之和为偶数,两个奇数之和为偶数,一个偶数与一个奇数之和为奇数.

推论 任意几个偶数之和还是偶数 ,正偶数个奇数之和为偶数 ,正奇数个奇数之和为奇 数. 性质 2 性质 3 任意几个奇数之积是奇数,任意一个整数与偶数的积是偶数. 设 a 为整数,n 为正整数,则 a 与 a 奇偶性相同.
n

例 5 7 个茶杯,杯口全朝上,每次同时翻转 4 个茶杯称为一次运动。可否经若干次运 动,使杯口全朝下?

例 6 设 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, a,b 为整数,c 为奇数.若存在奇数 m,使 f ( m) 为奇数,则方 程 f ( x) ? 0 无奇数根. 例题解答?

习题 1 增加带余除法练习题。

1. 如果 a 和 b 是非零整数,且 a|b,b|a,你能得到什么结论? 2. 证明:如果 a 和 b 是正整数且 a|b,则 a ? b . 3. 是否有整数 a,b 和 c,使得 a|bc,但是 a | b, 且a | c ? 4. 求带余除法中的商和余数: (1) 被除数为 100,除数为 17, (2) 被除数为-100,除数为 17。 (3) 被除数为 289,除数为 1, (4) 被除数为 100,除数为-17,

r 0 ? r ? b) ,则-a 被 b 除时, (5) 若整数 a 被正整数 b 除的带余除式是 a ? bq ? (
带余除法给出的商和余数分别是多少? 5. 设 n>4,且(n-4)|(3n+24),求 n.。 6. 若 n 是奇数,则 8?n2 ? 1。 7. 设整数 A ? an an?1

a1a0 ,证明:

(1)2(或 5)整除 A 的充分必要条件是 2(或 5)整除 a0 ; (2)4(或 25)整除 A 的充分必要条件是 4(或 25)整除 a1a0 ; (3)8(或 125)整除 A 的充分必要条件是 8(或 125)整除 a2 a1a0 ; (4)11|A 的充分必要条件是 11|

? ? ?1? ai .
i ?0

n

n

8. 若 3| 38a75b且 11|38a75b ,求 38a75b .

9. 若 2x9 y ? 2 x9 y ,求 xy . 10. 若 m+n+23 是偶数,是判定(m-1) (n-1)+2003 是奇数还是偶数. 11. 若整系数二次三项式 f ( x) ? x2 ? bx ? c, 当 x ? 0, x ? 1 时的值均为奇数,求证:方程

f ( x) ? 0 没有整数根.
12. 三个相邻偶数之积是四位数,且其末位数是 8,求这三个偶数. 13. 设 a,b,x,y 是整数,k 和 m 是正整数,并且 a = a1m ? r1,0 ? r1 < m, b = b1m ? r2,0 ? r2 < m, 则 ax ? by 和 ab 被 m 除的余数分别与 r1x ? r2y 和 r1r2 被 m 除的余数相同。特别地,ak 与 r1 被 m 除的余数相同。


更多相关文档:

1、数的整除

第一讲、数的整除 教学目标: 1、 知道数的整除性、奇数和偶数、素数和合数、因数和倍数、公倍数和公因数、互素等的 意义;知道能被 2、5 整除的正整数的...

数论专题第一讲 数的整除(4份)

数论专题第一讲 1、 五年级数论问题:数的整除 难度:中难度/高难度 数的整除性 已知三个连续的自然数,它们都小于 2006,其中最小的自然数能被 13 整除,中间的...

第一讲--整数与同余理论

第一讲--整数与同余理论_工学_高等教育_教育专区。第一讲 整数与同余理论 本...§1. 2 整数的奇偶性 奇偶数的定义:能被 2 整除的整数称为偶数;不能被 2...

数的整除1+E1

第二讲 数的整除1 2页 2下载券 第一张:数的整除(1) 9页 1下载券 数的...另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上,这个对于学生的 ...

四年级奥数第一讲 数的整除问题

四年级奥数第一讲 数的整除问题_学科竞赛_小学教育_教育专区。第一讲 数的...2 二、数的整除性: 1、能被 2 整除的数的特征:个位数一定是 0,2,4,6 ...

五年级第一讲数的奇偶性

第一讲: 第一讲:数的奇偶性所有的整数可以分成两大类:那就是奇数和偶数,能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除 的数叫做奇数。 性质:数的奇偶性具有如...

数的整除问题

Fibonacci数的整除性 暂无评价 3页 2.00元 数的整除问题 1页 免费 第一讲 数的整除问题 2页 免费 数的整除(一) 4页 1财富值 预初。数的整除 8页 2财...

数的整除

一、数的整除第一讲 一、学法指导: 1、 熟记能被 2、3、5 整除的数的特征...(a-b)也能 c 被整除,这叫和、差的整除性 2、 如果数 a 能被 b 整除,...

数论.第1讲.数的整除

初等数论第一第1节 数... 14页 1下载券 2讲数论问题能力进阶——... 暂无评价 8页 免费 初等数论(1)数的整除 5页 2下载券 数论初步数的整除性 5页...

五年级第二讲数的整除性

例题选讲 例1. 四位数 3AA1 能被 9 整除,求 A。 例2. 五位数 48A1B 能同时被 2,3,5 整除,求这个五位数。 例3. 将 1996 加上一个整数,使和能...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com