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立体几何中


立体几何中——
知识点一 求异面直线所成的角

利用向量方法求角

例二:正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a,侧棱长为 2a, 求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角.

例一: 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都是 1, 且∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60° ,

E、F 分别为 A1B1 与 BB1 的中点,求异面直 线 BE 与 CF 所成角的余弦值.

.

练习: 如图所示, 已知直角梯形 ABCD, 其中 AB=BC=2AD, AS⊥平面 ABCD, AD∥BC, AB⊥BC, 且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦.

【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时,首选向量法,利用向 量求解.若能构建空间直角坐标系,求解则更为简捷方便.
练习:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、A1C1 的 点.求:异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 中

知识点三 求二面角 例三:如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.求二面角 A-BE-D 的余弦值.

知识点二 求线面角 直线与平面所成的角,即线面角,是直线 AB 与直线在平面α 内 的射影 OB 所成角∠ABO 计算时,先求平面α 的法向量,再计算直线 AB 与法向量的夹角

A

? AB, n ? ,然后利用 ? AB, n ? 与所求线面角θ 互余,进行转化

B

O

【反思感悟】 几何法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难点,而用 向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量,经过简单运算 即可,从而体现了空间向量的巨大作用.
练习:若 PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2,求二面角 A—PB—C 的余弦值.

3.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 棱 CC1,BC,A1B1 上的点,若∠B1MN=90° ,则∠PMN 的大小是 ( ) A.等于 90° B.小于 90° C.大于 90° D.不确定 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) 1 A. 2 2 B. 3 C. 3 3 D. 2 2

课堂小结: 1.两条异面直线所成角的求法 (1)向量求法:设直线 a、b 的方向向量为 a、b,其夹角为 φ,则有 cosθ=|cosφ|= |a· b| . |a|· |b|

5.若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐二面角的 度数是________. 6.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别是 DD1,B1C1 的中点,P 是棱 AB 上的动点,则 A1M 与 PN 所成的角是________. 7.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2,E、F 分别是线 段 AB、BC 上的点,且 EB=FB=1, (1)求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值.

(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两 方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹角为 φ,则 有 |a· u| sinθ=|cosφ|= 或 cosθ=sinφ. |a||u| 3.二面角的求法 → (1) AB 与CD的夹角(如图①所示). (2)设 n1、 n2 是二面角 α—l—β 的两个面 α、β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补角)就是 二面角的平面角的大小(如图②所示). 课后作业 1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150° ,则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于 ( ) A.30° B.150° C.30° 或 150° D.以上均错 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等于 A.30° B.60° C.150° D.以上均错 8.如图,已知:直角梯形 OABC 中, OA∥BC,∠AOC=90°, SO⊥面 OABC, 且 OS=OC=BC=1,OA=2. 求:(1)异面直线 SA 和 OB 所成的角的余弦值; (2)OS 与面 SAB 所成角的余弦值; A (3)二面角 B-AS-O 的余弦值. O C B S


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