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中考数学专题复习课件(第16讲


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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

第 16 讲

二次函数

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考点一 二次函数的定义 2 一般地,如果 y=ax +bx+c(a、b、c 是常数,a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 1.结构特征:①等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式;②x 的最高次数是 2; ③二次项系数 a≠0. 2.二次函数的三种基本形式 y ax bx c(a b c a 0) 一般形式:y=ax2 +bx+c(a、b、c 是常数,且 a≠0); 2 顶点式:y=a(x-h) +k(a≠0),它直接显示二次函数的顶点坐标是(h,k); 交点式:y=a(x-x1 )(x-x2)(a≠0),其中 x1 、x2 是图象与 x 轴交点的横坐标.

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考 点二 二次函数的图象和性质

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考点三

二次函数y=ax2+bx+c的图象特征与 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系

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考点四 二次函数图象的平移 任意抛物线 y=a(x-h)2 +k 可以由抛物线 y=ax2 经过平移得到,具体平移方法如下:

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考点五 二次函数解析式的求法 2 1.设一般式:y=ax +bx+c(a≠0). 若已知条件是图象上三个点的坐标. 则设一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0), 将已知条件代入, 求出 a、b、c 的值. 2.设交点式:y=a(x-x1 )(x-x2)(a≠0). 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1 )(x-x2 )(a≠0), 将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数 a,最后将解析式化为一般式. 3.设顶点式:y=a(x-h)2 +k(a≠0). 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2 + k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式

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考 点 训 练

考点六 二次函数的应用 二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系. ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题),用二次函数的性质求解,同时注意自变量 的取值范围.

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(1)(2010·兰州)二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( A.(-1,8) B.(1,8) C.(-1,2) D.(1,-4)

)

(2)(2010·北京)将二次函数 y=x2-2x+3 化为 y=(x-h) 2+k 的形式,结果为( A.y=(x+1)2+4 B.y=(x-1)2+4 C.y=(x+1) 2+2 D.y=(x-1)2+2

)

(3)(2010·崇文)函数 y=x2-2x-2 的图象如下图所示,根据其中提供的信息,可求得使 y≥1 成立的 x 的取值范围是( )

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A.-1≤x≤3 B.-1<x<3 C.x<-1 或 x>3 D.x≤-1 或 x≥3

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(4)(2010·天津)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正确结论的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

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考 点 训 练

【点拨】本组题主要考查二次函数的图象和性质. 【解答】(1)y=-3x2-6x+5=-3(x2+2x)+5=-3(x2+2x+1)+3+5=-3(x+1)2+8, ∴顶点坐标是(-1,8),故选 A. (2)y=x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x-1)2+2,故选 D. (3)由图可知,当 y=1 时,x=-1 或 x=3,∴当 x≤-1 或 x≥3 时,y≥1.故选 D. (4)由图象知,抛物线与 x 轴有两个交点,则 b2-4ac>0,故①正确;与 y 轴交于负半轴, b 则 c<0.开口向上,则 a>0.对称轴 x=- =1,b=-2a<0,则 abc>0,故②正确;当 x=-2 2a 时,y>0,此时 y=4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,故③正确;x=1 是抛物线的对称 轴,由图象知抛物线与 x 轴的正半轴的交点在 3 与 4 之间,则当 x=3 时,y<0,即 y=9a+ 3b+c<0,④正确,即正确结论有 4 个.故选 D.

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(2010·深圳)为了扩大内需,让惠于农民,丰富农民的业余生活,鼓励送彩电下乡, 国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规定每购买一台彩电,政府补贴若干元,经调查 某商场销售彩电台数 y(台)与补贴款额 x(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系.随着 补贴款额 x 的不断增大,销售量也不断增加,但每台彩电的收益 z(元)会相应降低且 z 与 x 之 间也大致满足如图②所示的一次函数关系.

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(1)在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元? (2)在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 z 与政府 补贴款额 x 之间的函数关系式; (3)要使该商场销售彩电的总收益 w(元)最大,政府应将每台补贴款额 x 定为多少元?并 考 求出总收益 w 的最大值.
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考 点 知 【点拨】本题考查二次函数的应用,解决此类问题时,要审清题意,搞清未知量之间的 识 精 关系是关键. 讲 中 考 典 例 精 析

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【解答】(1)该商场销售彩电的总收益额为: 800×200=160 000(元) (2)依题意可设 y=k1x+800,z=k2x+200,则有 400k1+800=1 200,200k2+200=160, 1 解得 k1=1,k2=- 5 1 ∴y=x+800,z=- x+200. 5 1 (3)w=yz=(x+800)(- x+200) 5 1 =- (x-100)2+162 000 5 故:政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值,其最大值为 162 000 元.

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1.二次函数 y=(x-1) 2+2 的最小值是( A.2 B.1 C.-1 D.-2

A )

2.抛物线 y=(x-2) 2+3 的顶点坐标是( A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)

A )

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3.抛物线 y=a(x+1)(x-3)(a≠0)的对称轴是直线( A.x=1 B.x=-1 D.x=3 C.x=-3

A )

考 点 训 练

4.二次函数 y=-2x2+4x+1 的图象如何平移就得到 y=-2x2 的图象( A.向左平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 B.向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位 C.向左平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位 D.向右平移 1 个单位,再向下平移 3 个单位

C )

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1 5.把二次函数 y=- x2-x+3 用配方法化成 y=a(x-h)2+k 的形式( 4 1 1 A.y=- (x-2) 2+2 B.y= (x-2)2+4 4 4 1 1 1 C.y=- (x+2)2+4 D.y= ?2x-2?2+3 4 ? ?

C )

6.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列关系式不正确的是( ...

C )

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A.a<0
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B.abc>0

C.a+b+c>0 D.b2-4ac>0

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考 13 5 1 点 7.若 A(- ,y1)、B(- ,y2)、C( ,y3)为二次函数 y=x2+4x-5 的图象上的三个点, 4 4 4 知 识 则 y1、y2、y3 的大小关系是( B ) 精 A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 讲

C.y3<y1<y2

D.y1<y3<y2

中 考 典 例 精 析

举 一 反 三

8.已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 的左侧),与 y 轴 交于点 C,顶点为 D. (1)求点 A、B、C、D 的坐标,并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象. (2)说出抛物线 y=x2-2x-3 可由抛物线 y=x2 如何平移得到? (3)求四边形 OCDB 的面积.

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答案:(1)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3)、D(1,-4) 个单位,再向下平移 4 个单位可得到抛物线 y=x2-2x-3

图略

(2)抛物线 y=x2 向右平移 1 15 (3) 2

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考点训练 16

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二次函数 (训练时间:60分钟 分值:100分)

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1.(2010·金华)已知抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛 物线有( ) A.最小值-3 B.最大值-3 中 考 C.最小值 2 D.最大值 2
典 例 【解析】∵y=ax2+bx+c 开口向下,∴抛物线有最大值,顶点(2,-3)的纵坐标即为最 精 析 值.

考 点 知 识 精 讲

一、选择题(每小题 3 分,共 36 分)

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【答案】B

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2.(2010·济南)在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2-1 与 x 轴的交点的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0

)

【解析】令 x2-1=0 解得 x1=1,x2=1,∴抛物线与 x 轴的交点个数为 2 个,分别为(- 1,0)、(1,0).
【答案】B

(

3 (2010· 3.(2010·安徽)若二次函数 y=x2+bx+5 配方后为 y=(x-2) 2+k,则 b、k 的值分别为 ) y x bx 5 y (x 2) k b k ) A.0,5 B.0,1 C.-4,5 D.-4,1

举 一 反 三

?-4=b, ?b=-4, 【解析】∵y=(x-2) +k=x -4x+k+4=x +bx+5,∴? 解得 ? ?k+4=5, ?k=1.
2 2 2

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【答案】D

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考 4.(2010·兰州)抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位, 点 所得图象的解析式为 y=x2-2x-3,则 b、c 的值为( ) 知 A.b=2,c=2 B.b=2,c=0 识 精 C.b=-2,c=-1 D.b=-3,c=2 讲

【解析】抛物线 y=x -2x-3 的顶点坐标是(1,-4),把顶点向左平移 2 个单位,再向 中 2 2 考 上平移 3 个单位,得到的坐标为(-1,-1),所得图象的解析式为 y=(x+1) -1=x +2x, 典 ∴b=2,c=0. 例 精 析 【答案】B
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2

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考 点 知 识 精 讲 中 5.(2010·河北)如图,已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为 x=2,点 A、B 均在抛物线 考 典 上,且 AB 与 x 轴平行,其中点 A 的坐标为(0,3),则点 B 的坐标为( ) 例 B.(3,2) A.(2,3) 精 C.(3,3) D.(4,3) 析

【解析】∵AB 平行于 x 轴,所以 A、B 两点的纵坐标相同,B 点的纵坐标是 3,∵对称 举 轴为 x=2,A、B 两点关于对称轴对称,所以 AB=4,所以 B 点的坐标为(4,3).
一 反 三

【答案】D

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a 考 6. (2010·芜湖)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示, 反比例函数 y= 与正比例函数 点 x 知 y=(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( ) 识 精 讲
中 考 典 例 精 析

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考 点 知 【解析】由二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上知,a>0,由抛物线交 y 轴负半轴上 识 精 一点知,c<0,由对称轴在 y 轴的右侧(左同右异)知,b<0,因为 a>0,由反比例函数的性质知, 讲 图象的两个分支分别位于第一、三象限,选项 A、B 符合,排除 C、D;因为 b<0,c<0,所 中 考 典 例 精 析

以 b+c<0,由一次函数的性质知,图象位于第二、四象限,故选择 B.
【答案】B

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7.(2010·哈尔滨)在抛物线 y=x2-4 上的一个点是( A.(4,4) B.(1,-4) C.(2,0) D.(0,4)

)

【解析】把点的坐标代入函数关系式 y=x2-4,看是否成立,显然只有 C 成立. 【答案】C

则下列结论正确的是( 8. (2010·福州)已知二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象如图所示, A.a>0 B.c<0 2 C.b 4ac<0 C b -4ac<0 D.a+b+c>0 D a b c>0

)

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【解析】由图象可知,当 x=1 时,二次函数值大于 0,即把 x=1 代入解析式得 a+b+ 考 点 c>0. 训 练 【答案】D
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k 考 9.(2010·龙岩)对于反比例函数 y= ,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,则二次函数 y= x 点 知 kx2+kx 的大致图象是( ) 识 精 讲
中 考 典 例 精 析

【解析】由题意知,k<0,则 y=kx2+kx 的图象大致为 C. 【答案】C

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考 点 知 识 精 ( 讲 中 考 典 例 精 析

1 10.(2009 中考变式题)二次函数 y=- (x-4)2+5 的图象的开口方向、顶点坐标分别是 2 ) A.向上、(4,5) B.向上、(-4,5) C.向下、(4,5) D.向下、(-4,5)
1 1 【解析】∵y=- (x-4)2+5,∴a=- <0,∴开口向下,顶点坐标是(4,5). 2 2

【答案】C

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考 点 ( 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

11.(2011 中考预测题)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是 )

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A.y=x2-x-2 1 1 B.y=- x2+ x+1 2 2 1 1 C.y=- x2- x+1 2 2 D.y=-x2+x+2

【解析】因抛物线开口向下,排除 A;把(-1,0)、(2,0)代入被选项易得 D 正确.
【答案】D

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12.(2011 中考预测题)在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4 cm,BC=6 cm,动点 P 从点 C 沿 CA 以 1 cm/s 的速度向点 A 运动, 同时动点 Q 从点 C 沿 CB 以 2 cm/s 的速度向点 B 运动, 中 其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动.则运动过程中所构成的△CPQ 的面积 2 ) 考 y(cm )与运动时间 x(s)之间的函数图象大致是(
典 例 精 析

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【解析】由题意得 y=x2,当运动到 3 秒时运动停止. 【答案】C

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二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

13.(2010·金华)若二次函数 y=-x2+2x+k 的部分图象如图所示,则关于 x 的一元二次 方程-x2+2x+k=0 的一个解 x1=3,另一个解 x2=________.

举 【解析】方程-x2+2x+k=0 的解,即为 y=-x2+2x+k 与 x 轴交点的横坐标,由图象 一 反 知抛物线的对称轴为 x=1,其中一个交点坐标为(3,0),所以另一个交点坐标为(-1,0),即 x2 三 =-1.

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【答案】-1

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考 点 知 识 精 讲

14.(2009 中考变式题)函数 y=(x-2)(3-x)取得最大值时,x=________.
5 1 5 1 【解析】y=(x-2)(3-x)=-x2+5x-6=-(x- )2+ ,∴x= 时,y 最大 = . 2 4 2 4 【答案】 5 2

中 考 15.(2011 中考预测题)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),其中 a、b、c 满足 a+b+c 典 例 =0 和 9a-3b+c=0,则该二次函数图象的对称轴是直线________. 精 析

【解析】∵当 x=1 时,y=a+b+c=0,当 x=-3 时,y=9a-3b+c=0,∴抛物线经 过(1,0)、(-3,0),∴对称轴是直线 x=-1.
【答案】x=-1

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考 点 知 识 精 讲 中 考 16.(2010·日照)如图,是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴为直线 x=1, 典 例 若其与 x 轴一交点为 A(3,0),则由图象可知,不等式 ax2+bx+c<0 的解集是________. 精 析

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【解析】由图象知抛物线与 x 轴的另一个交点为(-1,0),ax2+bx+c<0 即为 x 轴下方图 象所对应的 x 的取值,即-1<x<3.
【答案】-1<x<3

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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 17.(2010·兰州)如图,小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一 例 个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是 2.5 米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高 1 米的 精 析 小明距较近的那棵树 0.5 米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为

________米.
举 【解析】求出绳子自然下垂是抛物线状的二次函数解析式,写出顶点坐标即可确定绳子 一 的最低点距地面的距离. 反 三

【答案】0.5
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三、解答题(共 44 分)
18.(15 分)(2010·广州)已知抛物线 y=-x +2x+2. (1)该抛物线的对称轴是________,顶点坐标________. (2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象;
2

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(3)若该抛物线上两点 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )的横坐标满足 x1 >x2>1,试比较 y1 与 y2 的大 小.
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考 点 知 识 精 讲 中 考 典 例 精 析

解:(1)直线 x=1 (2)

(1,3)

画图略 (3)因为在对称轴 x=1 右侧,y 随 x 的增大而减小,又 x1 >x2 >1,所以 y1 <y2 .

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考 1 点 19.(14 分)(2010·宁波)如图,已知二次函数 y=- x2+bx+c 的图象经过 A(2,0)、B(0, 2 知 识 -6)两点. 精 (1)求这个二次函数的解析式; 讲

(2)设该二次函数的对称轴与 x 轴交于点 C,连结 BA、BC,求△ABC 的面积.

中 考 典 例 精 析

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1 解:(1)把 A(2,0)、B(0,-6)代入 y=- x2+bx+c 得 2

?-2+2b+c=0, ?b=4, 解得? ? c=-6, ? ?c=-6.
1 ∴这个二次函数的解析式为 y=- x2+4x-6. 2 4 (2)∵该抛物线对称轴为直线 x=- =4. 1 2×(- ) 2 ∴点 C 的坐标为(4,0). ∴AC=OC-OA=4-2=2. 1 1 S△ABC= ×AC×OB= ×2×6=6. 2 2

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小,并求出此时点 M 的坐标; (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=1 上的一动点,求使∠PCB=90°的点 P 的坐标. 中
考 典 例 精 析

考 20.(15 分)(2010·聊城)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为 x=1,且抛物 点 知 线经过 A(-1,0)、C(0,-3)两点,与 x 轴交于另一点 B. 识 (1)求这条抛物线所对应的函数解析式; 精 (2)在抛物线的对称轴 x=1 上求一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最 讲

举 一 反 三

考 点 训 练

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考 点 知 识 精 讲

解:(1)根据题意,y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1,且过 A(-1,0),C(0,-3),可得

? ? ?a-b+c=0, ?c=-3 ?
b - =1 2a

?a=1, ? 解得?b=-2, ?c=-3. ?
2

∴抛物线所对应的函数解析式为 y=x -2x-3. 中 考 (2)由 y=x2-2x-3 可得,抛物线与 x 轴的另一交点 B(3,0)如图①,连结 BC,交对称轴 典 x=1 于点 M.因为点 M 在对称轴上,MA=MB.所以直线 BC 与对称轴 x=1 的交点即为所求 例 精 的 M 点. 析
举 一 反 三

考 设直线 BC 的函数关系式为 y=kx+b,由 B(3,0),C(0,-3),解得 y=x-3,由 x=1, 点 训 解得 y=-2. 练 故当点 M 的坐标为(1,-2)时,点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小.

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(3)如图②,设此时点 P 的坐标为(1,m),抛物线的对称轴交 x 轴于点 F(1,0).连结 PC、 考 点 PB,作 PD 垂直 y 轴于点 D,则 D(0,m). 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析

举 一 反 三

考 点 训 练

在 Rt△CDP 中, CD=|m-(-3)|=|m+3|,DP=1, ∴CP 2=CD 2+DP 2=(m+3) 2+1. 在 Rt△PFB 中,PF=|m|,FB=3-1=2, ∴PB2=PF2+FB2=m2+4. 在 Rt△COB 中,CB2=OB2+OC2=32+32=18. 当∠PCB=90°时,有 CP2+CB2=PB2. 即(m+3) 2+1+18=m2+4.解得 m=-4. ∴使∠PCB=90°的点 P 的坐标为(1,-4).

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