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《例谈数学思想在2011高考解析几何中的应用》


湖北省孝感高级中学高中数学 《例谈数学思想在 2011 高考解析几何中 的应用》论文
在数学的知识和技能中,蕴含着具有普遍性的数学思想,它是数学的精髓和灵魂,是知识 转化为能力的桥梁,是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识,是数学 知识和方法产生的根本源泉,是解决数学问题过程中的指路明灯.对数学思想的应用,是数学 学习走向更深层次的一个标志,它能指导我们

有效的应用数学知识探寻解题方向.本文就数学 思想在解析几何中的应用作一些探讨.

例 1 湖北理 20) ( 平面内与两定点 A1 ? ? a, 0 ? , A2 ? a, 0 ?? a ? 0 ? 连线的斜率之积等于非零常数 m 的点的轨迹,加上 A1 , A2 两点所成的曲线 C 可以是圆,椭圆或双曲线.(1)求曲线 C 的方程, 并 讨 论 C 的 形 状 与 m 值 的 关 系 . ( 2 ) 当 m ? ?1 时 , 对 应 的 曲 线 为 C1 ; 对 给 定 的

m ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? , 对应的曲线为 C2 , 设 F1 , F2 是 C2 的两个焦点.试问:在 C1 上,是否存
在点 N , 使得 ?F1 NF2 的面积 S ? m a ? 若存在, tan ?F1 NF2 的值; 求 若不存在, 请说明理由.
2

分析(1)问先用直接法求轨迹方程,再根据曲线的概念进行分类讨论; (2)问是探索性问题, 根据是否存在及绝对值的运算性质分类. 解析(1)设 M ? x, y ? , 当 x ? ? a 时,由条件可得 k MA1 ? k MA2

y y y2 ? ? ? ? m, 即 x ? a x ? a x2 ? a2

mx 2 ? y 2 ? ma 2 ? x ? ? a ? . 又 A1 ? ?a, 0 ? , A2 ? a, 0 ? 的坐标满足 mx 2 ? y 2 ? ma 2 , 故曲线 C 的
方程为

x2 y2 ? ? 1, ①当 m ? ?1 时,C 是圆心在原点的圆; ②当 m ? ?1 时,C 是焦点在 y a 2 ?ma 2

轴上的椭圆; ③当 ?1 ? m ? 0 时,C 是焦点在 x 轴上的椭圆; ④当 m ? 0 时,C 是焦点在 y 轴 上 的 双 曲 线 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 , 当 m ? ?1 时 , C1 的 方 程 为 x ? y ? a ; 当
2 2 2

m ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? , C2 的 两 个 焦 点 为 F1 ?a 1 ? m , 0 , F2 a 1 ? m , 0 . 对 给 定 的

?

? ?

?

m ? ? ?1, 0 ? ? ? 0, ?? ? , C1 上 存 在 点 N ? x0 , y0 ?? y0 ? 0 ? 使 得 S ? m a 2 的 充 要 条 件 是
-1-

2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, am 1? 5 5 ?1 ? ? a, 解得 故 0 ? y0 ? 且 m ? 0, 故当 ?m? ?1 2 2 2 1? m ? ? 2 a 1 ? m y0 ? m a . ?2

?1 ? 5 ? ? 5 ? 1? m?? , 0 ? ? ? 0, ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?











N,

使

S ? m a2 ;



? 1? 5 ? ? 5 ?1 ? m ? ? ?1, , ?? ? 时 , 不 存 在 点 N , 使 S ? m a 2 . ??? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ???? ???? ? ???? ???? ? NF1 ? ?a 1 ? m ? x0 , ? y0 , NF2 ? a 1 ? m ? x0 , ? y0 , 可得 NF1 ? NF2 ?



?

?

?

?

x0 2 ? ?1 ? m ? a 2 ? y0 2 ? ?ma 2 .



???? ???? ? NF1 ? r1 , NF2 ? r2 , ?F1 NF2 ? ? ,






???? ???? ? 2 NF ? NF ? r r cos? ? ? ma 1 2 1 2
S?



r1r2 ?

?ma 2 , cos ?





2m 1 ?ma 2 sin ? 1 r1r2 sin ? ? ? ? ma 2 tan ? ? m a 2 , 故 tan ? ? ? . 综上可得:当 2 2 cos ? 2 m

?1 ? 5 ? ? 1? 5 ? m?? , 0 ? 时,在 C1 上存在点 N , 使得 S ? m a 2 , 且 tan F1 NF2 ? 2; 当 m ? ? 0, ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
时 , 在

C1









N,

使



S ? m a2 ,



tan F1 NF2 ? ?2;



? 1? 5 ? ? 5 ?1 ? m ? ? ?1, , ?? ? 时,在 C1 上不存在点 N , 使得 S ? m a 2 . ??? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ?
点评本题具有课本背景,利用分类讨论思想引领可以准确快速解决此问题. 2 数形结合思想 解析几何的基本思想就是数形结合,在解题中要善于将数形结合的数学思想运用于对圆锥 曲线和平面几何的性质以及相互关系的研究. 例 2 ( 广 东 理 19 ) 设 圆 C 与 两 圆

?x ? 5?

2

? y 2 ? 4, x ? 5

?

?

2

另一个外 ? y 2 ? 4 中的一个内切,

切.(1)求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程; 2)已知点 (

?3 5 4 5 ? M? ? 5 , 5 ?, F ? ? ?
的 最 大 值

?


5, 0 , 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP
此 时 点

?

P







.

解析(1)由定义法求得轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1.(过程略).(2) 4

由图 1 知, MP ? FP ? MF , 故 当 M , P, F 三 点共线 ,且点 P 在 MF 延长 线上时,
-2-

?3 5 ? ?4 5 ? MP ? FP 取得最大值 MF , 且 MF ? ? ? 5? ?? ? 0 ? ? 2. 直线 MF 的方程 ? 5 ? ? 5 ? ? ? ? ?

2

2

? y ? ?2 x ? 2 5, ? 2 为 y ? ?2 x ? 2 5, 与双曲线方程联立得 ? x 2 整理得 15 x ? 32 5 x ? 84 ? 0. 解 2 ? ? y ? 1, ?4
得 x1 ?

14 5 6 5 ?2 5 (舍去) x2 ? , ,y? . 故当 MP ? FP 取得最大值 2 时,点 P 的坐标 15 5 5

为?

?6 5 2 5? ? 5 , ? 5 ?. ? ? ?

点评将“距离差的绝对值”这一抽象问题转化为形象直观的“三角形两边之差小于第三边” 这一基本常识,体现了数形结合解题的简洁性. 例 3(上海理 23)已知平面上的线段 l 及点 P, 在 l 上任取一点 Q, 线段 PQ 长度的最小值称为 点 P 到线段 l 的距离,记作 d ? P, l ? .(1)求点 P ?1,1? 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离

d ? P, l ? . (2)设 l 是长为 2 的线段,求点集 D ? ?P | d ? P, l ? ? 1? 所表示的图形面积.(3)写
出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? P | d ? P, l1 ? ? d ? P, l2 ? , 其 中

?

?

l1 ? AB, l2 ? CD, A, B, C , D 是下列三组点中的一组.① A ?1,3? , B ?1, 0 ? , C ? ?1,3? , D ? ?1, 0 ? .
② A ?1,3? , B ?1, 0 ? , C ? ?1,3 ? , D ? ?1, ?2 ? . ③ A ? 0,1? , B ? 0, 0 ? , C ? 0, 0 ? , D ? 2, 0 ? . 解 析 ( 1 ) 设 Q ? x, x ? 3? 是 线 段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上 一 点 , 则

PQ ?

? x ? 1? ? ? x ? 4 ?
2

2

5? 9 ? ? 2 ? x ? ? ? ? 3 ? x ? 5? , 2? 2 ?

2



x?3





d ? P, l? ? PQmi n ? 5.(2)设线段 l 的端点分别为 A, B, 以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中
点 为 坐 标 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 , 则 A ? ?1, 0 ? , B ?1, 0 ? , 点 集 D 由 如 图 2 的 曲 线 围 成 ,

l1 : y ? 1? x ? 1? , l2 : y ? ?1? x ? 1? , C1 : ? x ? 1? ? y 2 ? 1? x ? ?1? , C2 : ? x ? 1? ? y 2 ? 1? x ? 1? , 其面积为 S ? 4 ? ? . (3)①选择
2 2

A ?1,3? , B ?1, 0 ? , C ? ?1,3? , D ? ?1, 0 ? , ? ? ?? x, y ? | x ? 0? ,





3.







A ?1, 3? , B ? 1, 0 ,C ? ? 1, 3 ,D? ? 1, ? ? ??? x , ? x ? 0, ? ?0 ?? x y ? 2 , y | y ? ,? ? ?

y ? 4 ? 2 y? ?0 |2 x , ?

-3-

? ?? x, y ? | x ? y ? 1 ? 0, x ? 1?. 如图 4.③选择 A ? 0,1? , B ? 0, 0 ? , C ? 0, 0 ? , D ? 2, 0 ? ,
? ? ?? x, y ? | x ? 0, y ? 0? ? ?? x, y ? | y ? x, 0 ? x ? 1? ? ?? x, y ? | x 2 ? 2 y ? 1,1 ? x ? 2?

? ?? x, y ? | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2?. 如图 5.

点 评对这样一道新定义综合创新试题,文字语言显得苍白无力,但是利用图形引领,集合语言 跟进,问题便迎刃而解.体现了数与形的完美组合. 3 函数思想 在解析几何中应用函数思想就是用运动变化,联系的观点,分析问题中的数量关系,构造 函数来解决问题. 例 4(北京理 19)已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1, 过点 ? m, 0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 4

(2)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的 A, B 两点.(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; 最大值. 解析 (1) (2) 略; 由题知 m ? 1, 当 m ? 1 时, 切线 l 的方程为 x ? 1, 则 A ? 1, 此 时 AB ?

? ? ?

3? ? 3? ? , B ?1, ? ?, 2 ? ? 2 ? ? ? ?

3; 当 m ? ?1 时 , 同 理 可 得 AB ? 3; 当 m ? 1 时 , 设 切 线 l 的 方 程 为
x2 ? y2 ? 1 消 去 4


y ? k ? x ? m? , 将 其 代 入

y

并 化 简 整 理 得 ,

?1 ? 4k ? x
2

2

? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0,

A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
km 1? k 2



x1 ? x2 ?

8k 2 m 4k 2 m 2 ? 4 , x1 x2 ? , 又 l 与 圆 x2 ? y 2 ? 1 相 切 得 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

? 1, 即

m 2 k 2 ? k 2 ? 1. 故 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

-4-

? 4 ? 4k 2 m 2 ? 4 ? ? 4 3 m 64k 4 m 2 4 3 ?? ? ? ? 2, 当且仅当“ m ? ? 3 ”时 ?1 ? k ? ? 2 2 2 3 ? ?1 ? 4k 2 ? ? m ?3 1 ? 4k m? ? ? m
2

取等号.综合上述知, AB max ? 2. 点评构建弦长关于斜率这一函数关系,是解决此类最值问题的高效方法之一. 4 方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因此把直线与圆锥曲线的相交 问题利用韦达定理进行整体处理,以及直线方程思想的应用,都可以大大简化解题过程. 例 5(浙江理 21)已知抛物线 C1 : x 2 ? y. 圆 C2 : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 1 的圆心为点 M.(1)求点 M
2

到抛物线 C1 的准线的距离; (2)已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的 两条切线交抛物线 C1 于 A,B 两点,若过点 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB,求直线 l 的方程. 分析这里仅分析第 (2) 问, 原解答中两次利用二次方程思想, 一是构造利用 x1 , x0 (或x2 , x0 ) 为 根的一元二次方程, 解出 x1 , x2 两点的坐标, 解决了 x1 , x2 与 k1 , k2 的关系; 二是构造了以 k1 , k2 为根的一元二次方程,较为复杂.如果根据相切条件利用直线方程思想,只需构造一次便可得 到关于直线 AB 的方程,从而求出直线 AB 的斜率.于是得到下面的一个简解. 简解如图 6,设 P x0 , x0 2 , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由题意得 x0 ? 0, x0 ? ?1, x1 ? x2 ,

?

?

? x12 ? y1 , x0 2 ? y0 ,? k PA ?

y1 ? y0 ? x1 ? x0 ,? PA 直 线 方 程 为 x1 ? x0

图6

y ? x0 2 ? ? x1 ? x0 ?? x ? x0 ? , 即 ? x1 ? x0 ? x ? y ? x0 x1 ? 0,? PA 与圆 C2 相
切,?

x0 x1 ? 4 1 ? ? x1 ? x0 ?
2

? 1, 化 简 得 6 x0 x1 ? x12 ? x0 2 ? 1? ? 15 ? x0 2 ? 0, 即

6 x0 x1 ? ? x0 2 ? 1? y1 ? 15 ? x0 2 ? 0, 同理可得 6 x0 x2 ? ? x0 2 ? 1? y2 ? 15 ? x0 2 ? 0, 由直线方程思
想得直线 AB 的方程为 6 x0 x ? x0 2 ? 1 y ? 15 ? x0 2 ? 0,? k AB ?

?

?

6 x0 , 1 ? x0 2

? k PM

6 ? x0 2 ? 4 ? x0 2 ? 4 23 3 ? ,? k AB ? k PM ? ? ?1,? x0 2 ? ,? kl ? ? ,? l 的 直 线 方 程 为 2 x0 1 ? x0 5 115

y?4? ?

3 x. 115

点评合理构造与斜率相应的直线方程,通过方程将未知量与已知量间的关系显性化,从而找

-5-

到解决本题的简单方法. 5 转化与化归思想 数学对象的内部,或者不同的数学对象之间,往往会以某种形式相互联系,在一定的条件 下能够相互转化,经过转化,能促进问题的解决.可以说,数学解题的过程就是不断化归与转 化的过程. 例 6(全国理 21)已知 O 为坐标原点, F 为椭圆 C : x ?
2

y2 ? 1 在 y 轴正半 2

轴上的焦点,过点 F 且斜率为 ? 2 的直线 l 与 C 交于 A, B 两点,点 P 满足

??? ??? ??? ? ? ? ? (2)设点 P 关于点 O 的对称 OA ? OB ? OP ? 0. (1)证明:点 P 在 C 上;
点为 Q, 证明: A, P, B, Q 四点在同一圆上. 分析证明四点共圆的等价方法很多,可以利用圆心到四个点 A, P, B, Q 的距 离相等来证明;也可以通过四边形的两对角互补证明;也可以利用割线定理 证明;也可以利用托勒密定理逆定理证明.这里利用“同底同侧等顶角的三 角形”这一新方法证明. 证 明 ( 1 ) 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , l : y ? ? 2 x ? 1. 由 ?

? y ? ? 2x ?1 ?
2 2 ?2 x ? y ? 2 ?

消 去 y 得

4 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0,



x1 ? x2 ?

2 1 , x1 x2 ? ? . 2 4



??? ??? ??? ? ? ? ? OA ? OB ? OP ? 0



xP ? ? ? x1 ? x2 ? ? ?

2 , yP ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? 2 x1 ? 1 ? 2 x1 ? 1 ? 2 ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ?1, 2
2 2

?

?

? ? ? 2 ? ? ?1? 2 将 P?? , ?1? 代入椭圆方程得 ? ? ? 2 ? ? 2 ? 1, 故 P 在 C 上.(2)如图 7,由(1)得 ? ? 2 ? ? ? ? ?
x1 ? 2? 6 , x2 ? 4 2? 6 2 ? 6 1? 3 . 故 A( , ), 4 4 2

B(

2 ? 6 1? 3 2 2 , ). 又由(1)知 P(? , ?1), Q( ,1), 故 k AQ ? 6 ? 2 2, 4 2 2 2
又 因 为

k BP ? 2 2 ? 6.
tan ?AQP ?

k PQ ? 2, k AB ? ? 2,
?















2?

?

6 ?2 2

1? 2 ?

?

?

6 ?2 2

?

2 2? 6 ? 2 3 2? 6 , tan ?ABP ? 2 3 ?3 1? 2 ? 2 2 ? 6

?

?

?

?
-6-

?

3 2? 6 , 故 ?ABP ? ?AQP, 从而 A, P, B, Q 四点在同一圆上. 2 3 ?3

点评等价转化思想是将难以解决的新问题转化为已解决问题的一种重要数学思想.解决复杂 问题的关键是将条件中的隐性复杂关系通过某些手段显化为目标条件. 在数学学习中,若不研究数学思想的应用,所谓的解题方法就无基础,解题的过程只不过 是简单的机械的活动而已.数学思想犹如一盏为船只指明航向的明灯,只要能自觉应用它指导 解题,思路就能豁然开朗,解题自然成为一种享受.

-7-


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