当前位置:首页 >> 数学 >> 20120920高一数学(1.3.1-3函数的最值)

20120920高一数学(1.3.1-3函数的最值)


问题提出

1.确定函数的单调性有哪些手段和方法?

2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性, 如果函数的图象存在最高点或最低点,它又 反映了函数的什么性质?

知识探究(一)

观察下列两个函数的图象:
y
M
M

y

x

o

x0
图1

o
图2

x0

x

思考1:这两个函数图象有何共同特征?

函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称?
思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何?

思考3:设函数 f ( x) ? 1 ? x ,则 f ( x) ? 2 成立吗? f ( x) 的最大值是2吗?为什么?
2

思考4:怎样定义函数 f ( x) 的最大值?用什么符号 表示?
一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为I,如果存在 实数M满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M; (2)存在 x0 ? I,使得 f ( x0 ) ? M. 那么称M是函数 y ? f ( x) 的最大值,记作
f ( x)max ? M

思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗?如果函数 f ( x) 的值域是(a,b),则函 数 f ( x) 存在最大值吗?

思考6:函数 y ? ?2 x ? 1, x ? (?1, ??) 有最大 值吗?为什么?

知识探究(二)

观察下列两个函数的图象:
y y

m

m

o

x0
图1

x

x0

o
图2

x

思考1:这两个函数图象各有一个最低点,函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称? 思考2:仿照函数最大值的定义,怎样定义函数 f ( x) 的最小值?

一般地,设函数 y ? f ( x)的定义域为I, 如果存在实数m满足: (1)对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? m; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? m . 那么称m是函数 y ? f ( x)的最小值,记作

f ( x)min ? m

顶点式:y=a(x-m)2+n (a ? 0) 两根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a ? 0) 一般式:y=ax2+bx+c(a ? 0) b 4ac ? b 2 =a(x+ 2a) + 4a
2

a>0时 开口向上

x =ymin=

b 2a 4ac ? b 2 4a

a<0时 开口向下

b x =- 2 a ymax= 4ac ? b
4a

2

y = x2 y = x2

2?x 2?x

3 3

练习:已知函数f(x)= –3. (1)若x∈[ –2,0 ], 求函数f(x)的最值;
10 8

x2–2x

解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1 由图知,y=f(x)在[ –2,0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3
15 10 5

6

4

x=1
2

0 -2
2 5

4

6

2 –2x – 3. 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2?x 3 y =[ x – 22 ?x , 3 0 ],求函数f(x)的最值; (1)若x∈ (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;
2 2
10

解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1

8

6

由图知,y=f(x)在[ 2,4 ]上为增函数
故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3
10 5

4

2

x=1 2 4
5

2

4

6

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
(1)若x∈[ –2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;
8 6

y = x2

2?x

3

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2
解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1,由图知,
10 5

4

2

x=1 1 2 5 2
5

5 5 3 x= 时有最大值 f ( ) ? ?1 2 2 4
x=1时有最小值f(1)=-4

2

4

6

8

2 –2x – 3 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2?x 3
2 2

(1)若x∈ –22, y[ =x ?x 0] 3 ,求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;

10

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2

8

1 3 , ],求函数f(x)的最值; (4)若x∈[ ? 2 2
6 4

解:画出函数在定义域内的图像如图
2

x=1 1 2 3 2

对称轴为直线x=1,由图知,

1 1 3 x= ? 时有最大值 f (? ) ? ?1 2 2 4
x=1时有最小值f(1)=-4

15

10

5

5

2

4

6

2?x

2?x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
3 3
10

10

10

8

1 5 1 3 (1)x∈[–2,0](2)x∈[ 2,4 ( ] 3)x∈[ , ] (4)x∈[ ? , ] 2 2 2 2
8

8

8

6

6

6

6

4
4

4

4

2

x=1 1 2 5 2
5

x=1
2

x=1
2

2

x=1 2
10

5
15

1 2

3 2
10

0 -2
10 5
5

10 15

5

10

4

15 5

10

2
2

2

2

4

4
4

4

6

思考:通过以上几题,你发现二次函数在区间[m,n] 上的最值通常在哪里取到?
6

6

6

8

8

8

8

10
10

10

10

总结:求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上 上的最值或值域的一般方法是:
b (1)检查x0= ? 是否属于 [ m,n]; 2a

(2)当x0∈[m,n]时,f(m)、f(n)、f(x0) 中的较大者是最大值,较小者是最小值; (3)当x0 ? [m,n]时,f(m)、f(n)中的较大 者是最大值,较小者是最小值.

思考:如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值? 解析:

因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位

置,则从以下几个方面解决如图:

y=x
8

2?x

3

y = x2 y=x
2

2?x 2?x
8

3 3

10
10

例: 的最值
6 4 2

求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时
8
8

6
6
6

4
4

x=1

4

x=1 k+2
5
10

2

x=1
2
2

k
5
15

k+2
5

k
10
10

k+2
15
5

x=1 k
10 15

k

15

5

10 5

k+2
2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

8
8

8

8
10
10

4

当k+2≤1即k ≤-1时
2

x=1 k+2

f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15

k
2

f(x)min=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3

4

6

8

10

4

x=1
2

当 k <1 < k+2 时 即-1 <k <1时 f(x)min=f(1)=- 4 当f(k)>f(k+2)时,
5 10 15

k
10

k+2

8 2

即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
x=1

6

4

4

6

当f(k) ≤f(k+2)时,
k+2
5

2

8

k
10
2

即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10 15

4

6

4

2

x=1 k k+2
5

当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15

2

f(x) min=f(k)=k2-2k-3

4

6

8

10

例:

6

6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6

6

4

4
4
4

x=1
2

x=1 k+2
5

2

x=1
2
2

k
10

k+2
5

k
10
10

k+2
10
5

x=1
15

15

k
2

5
15

5

15

5

k

10

k+2
2

5

2

2

4

4

4
4

当k ≤-1时
8

6

6

6

f(x)max=f(k)=k2-2k-3
8

f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3
8
8

6

当-1<k <0时 当0≤ k<1时
10

f(x)max=f(k)=k2-2k-3
10

f(x)min=f(1)=- 4 f(x)min=f(1)=- 4 f(x) min=f(k)=k2-2k-3
10

f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3

10

当k ≥1

时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3

例:

6

6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6

6

4

4
4
4

x=1
2

x=1 k+2
5

2

x=1
2
2

k
10

k+2
5

k
10
10

k+2
10
5

x=1
15

15

k
2

5
15

5

15

5

k

10

k+2
2

5

2

2

4

4

4
4

评注:例1属于“轴定区间动”的问题,看作动区 间沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即动区 间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注 意开口方向及端点情况。
6
6
6

6

8

8

8

8

10

10

10

10

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
a ? ?1 y 解: ⑴当 ? 即 a ≥ 2时 2

-1

O

y的最小值为f(-1) =4-a
1 x

例3:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
(2)当 ? 1 < ?
y

a
2

? 1

即-2≤ a<2时

y的最小值为
-1
O 1

x

a f( ? )= 2

a2 3? 4

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y

a (3)当 ? ? 1 即a<-2时 2 函数在[-1,1]上是减函数

-1

O

1

x

y的最小值为f(1) =4+a

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y y y

-1

O

1

x

-1

O 1

x

-1

O

1

x

当a<-2时 当-2≤a<2时

f(x)min=f(1)=4+a

f min

当a≥2时

? a? a2 ? f ? ? ? ? 3? 4 ? 2?

f(x)min=f(-1)=4-a

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y y y

-1

O

1

x

-1

O 1

x

-1

O

1

x

评注:例2属于“轴动区间定”的问题,看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。

练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0,2]上 y 恒成立,求a的值。 解:令f(x)=x2+2x+a 它的对称轴为x=-1, ∴f(x)在[0,2]上单 调递增, ∴f(x)的最小值为 f(0)=a,即a≥ 4
-1 O

2

x

练一练
1.已知y=-x2+ax+3 ,x∈[-1,1], 求y的最大值
y

O
-1 1

x

总结:求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上 的最值或值域的一般方法是:
b (1)检查x0= ? 是否属于 [ m,n]; 2a

(2)当x0∈[m,n]时,f(m)、f(n)、f(x0) 中的较大者是最大值,较小者是最小值; (3)当x0 ?[m,n]时,f(m)、f(n)中的较大 者是最大值,较小者是最小值.

? 课堂小结:
对于求有限闭区间上的二次函数的最值问题, 关键抓住二次函数图象的开口方向,对称轴
及定义区间,应用数形结合法求解。

练习设 b ? 1 为常数,如果当 x ? [1, b] 时,函
1 2 3 数 f ( x) ? x ? x ? 的值域也是[1,b],求b 2 2

的值.

作业
1、求 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 在

0 ? x ?1

上的最值。

2、 求函数y=x2-2x+3在区间[0,a]上的最值,并求此时x 的值。


更多相关文档:

高中数学必修1函数单调性和最值专题

高中数学必修1函数单调性和最值专题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最值 函数专题:单调性与最值一、增函数 1、观察下列各个函数的图象,并...

高一人教版数学必修一精品教案全集:1.3.1函数的单调性

高一人教版数学必修一精品教案全集:1.3.1函数的单调性_高一数学_数学_高中教育...○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ ...

高一数学必修一函数知识点总结

高一数学必修一函数知识点总结_数学_高中教育_教育...函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数...1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间...

高一数学函数经典练习题(含答案)

高一数学函数经典练习题(含答案)_数学_高中教育_...b 的值域为[1,3],求 a , b 的值。 x2 ? ...1 在区间[ 0 , 2 ]上的最值 20、若函数 f ...

1.3.3函数的最大(小)值与导数教案

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数 一、教学内容分析 1.在教材中的位置: 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2》人教 A 版, 第一章。...

高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)

高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)_数学_高中教育_教育...2 ○ 能否看出函数的最大、最小值? 3 ○ 函数图象是否具有某种对称性? 2....

高一函数的单调性与最值

高一函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。金尺子教育 个性化教学辅导...1 -1 -1 1 x 金尺子教育 二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 ...

数学必修一函数的单调性与最值教案

数学必修一函数的单调性与最值教案_数学_高中教育_教育专区。3.1.1 单调性与最值 (一)学习目标: 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念,掌握增(减)函数...

高一数学-指数函数-函数的值域与最值 (教案)

高一数学-指数函数-函数的值域与最值 (教案)_数学...(1) y ? 4x ;(2) y ? ?4x ;(3) y ? ...( A. 1? 5 2 B. ?1? 5 2 C. 1? 5 2...

高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案

高中数学必修一1.3函数的基本性质练习题及答案_数学_高中教育_教育专区。高中...如果奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f...
更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com