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高中数学联合竞赛模拟试题七


全国高中数学联赛模拟试题(七)
()

第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分)
? ? y ?3 = a + 1? , B = ( x, y ) (a 2 ? 1)x + (a ? 1) y = 15 .若 1、已知集合 A = ?( x, y ) x?2 ? ? A ∩ B = ? ,则 a 的所有取值是 (A)-1

,1 (C)±1,2 (B)-1,
1 2
C

{

}

5 2 D 2、如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,点 M、N 分别 B 在 AB1、BC1 上,且 AM=BN.那么, A N ①AA1⊥MN; M ②A1C1∥MN; D1 ③MN∥平面 A1B1C1D1; ④MN 与 A1C1 异面. A1 B1 以上 4 个结论中,不正确的结论的个数为 图1 (A )1 (B)2 (C )3 (D )4

(D)±1,-4,

C1

3、用 Sn 与 an 分别表示区间 [0,1) 内不含数字 9 的 n 位小数的和与个数.则

lim

an 的值为 n →∞ S n

3 5 7 9 (B) (C ) (D ) 4 4 4 4 4、首位数字是 1,且恰有两个数字相同的四位数共有 (A)216 个 (B)252 个 (C)324 个 (D)432 个

(A )

5、对一切实数 x,所有的二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a<b)的值均为非负 b?a 的最大值是 a+b+c 1 1 (A ) (B) 3 2

实数.则

(C )3

(D )2

x2 y2 6、双曲线 2 ? 2 = 1 的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意 a b

一点.则分别以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆一定 (A)相交 (B)相切

(C)相离

(D)以上情况均有可能

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分)
1、已知复数 z1 = 2 + i , 2 z 2 =

z1 + i .若△ABC 的 3 个内角∠A、∠B、 (2i + 1) ? z1
C ,则 u + z 2 的取值范围 2

∠C 依次成等差数列,且 u = cos A + 2icos 2

. 是 2、点 P(a,b)在第一象限内,过点 P 作一直线 l,分别交 x、 轴的正半轴于 A、 y B 两点.那么,PA2+PB2 取最小值时,直线 l 的斜率为 . 3、若△ABC 是钝角三角形,则 arccos(sinA)+arccos(sinB)+arccos(sinC)的取 . 值范围是 4、在正四面体 ABCD 中,点 M、P 分别是 AD、CD 的中点,点 N、Q 分别 是△BCD、△ABC 的中心.则直线 MN 于 PQ 的夹角的余弦值为 .
5、 在

(

x +2

)

2 n +1

的展开式中, 的幂指数是整数的各项系数之和是 x



6、集合 A、B、C(不必两两相异)的并集 A∪B∪C={1,2,3,…,n}.则满足 . 条件的三元有序集合组(A,B,C)的个数是

三、 (20 分)
设 p>0,当 p 变化时,Cp:y2=2px 为一族抛物线,直线 l 过原点且交 Cp 于原点和点 Ap.又 M 为 x 轴上异于原点的任意点,直线 MAp 交 Cp 于点 Ap 和 Bp.求证:所有的点 Bp 在同一条直线上.

四、 (20 分)
对于公差为 d(d≠0)的等差数列{an},求证:数列中不同两项之和仍是这 一数列中的一项的充要条件是存在整数 m≥-1,使 a1=md.

五、 (20 分)
求最大的正数λ,使得对任意实数 a、b,均有

λa 2 b 2 (a + b )2 ≤ (a 2 + ab + b 2 ) .
3

第二试
一、 (50 分)
如图 2,⊙O 切△ABC 的边 AB 于点 D,切边 AC 于点 C,M 是边 BC 上 一点,AM 交 CD 于点 N.求证:M 是 BC 中点的充要条件是 ON⊥BC.
A

二、 (50 分)

(a + b + c )2 (a、b、c∈Z )的所有正 求出能表示为 n =
abc
+

D

N M O

C

整数 n.

B

三、 (50 分)

图2

在一个 2 n ? 1 × 2 n ? 1 (n≥2)的方格表的每个方格内填入 1 或-1,如 果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积,则称这 种填法是“成功”的.求“成功”填法的总数.

(

) (

)

参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
? 2 5? ?; 1、 ? , 2 2 ? ? ?
? π 3π 3、 ? , ?2 2
5、

1 D

2 B

3 D

4 D

5 A

6 B

2、 ?

ab ; a

? ?; ?

4、

1 ; 18

3 2 n+1 + 1 ; 2

6 、7 n .

三、证略. 四、证略. 五、 λ max =
27 . 4

第二试
一、证略; 二、1,2,3,4,5,6,8,9. 三、1 种(每空填 1) .


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