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安徽省皖南八校2013届高三第三次联考数学(文)(纯WORD版)


2013 年皖南八校高三第三次联考 数学(文科)
一、选择题 1.复数 z ?

2i (其中 i 为虚数单位)的轭复数是 1? i A. 1 ? i B. 1 ? i C. ?1 ? i

D. ?1 ? i

2.已知向量 a ? (?1,2),b ? (2,0), c ? (1,?1) ,若向量 (? a

? b) // c ,则实数 ? 为 A. ? 2 B. ? 1 C. ?

3.设集合 A ? ?x || x ? 1 |? 1? B ? x | y ? 1 ? 3x ,则 A ? B ? , A. (?? , )

?

1 3

D. ?

?

2 3

1 3

B. ( 0, )

1 3

C. ( 0, ]

1 3

D. [ ,?? )

1 3

4.将图 1 中正三棱锥截去三个角(A、B、C 分别是 ?GHI 三边的中点)得到图 2 所法的几何体,则按 图 2 所示方向为侧视方向,则该几何体的侧视图是

5.图 3 是一个算法的程序框图,若输出的结果 s ? 720 ,则在判断框中应填入关于 k 的判断条件是

A. k ? 7

B. k ? 7

C. k ? 8

D. k ? 8

6. F1 , F2 是双曲线 x ? 设
2

y2 ? 1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点, 3 | PF1 |? 4 | PF2 | , ?PF F2 且 则 1 24

的面积等于 A. 4 2 B. 8 3 C.24 D.48

7.用平面 ? 截球 O 所得截面圆的半径为 3,球心 O 到平面 ? 的距离为 4,则此球的表面积为 A.

100? 3

B.

500? 3

C. 75?

D. 100 ?

?y ? 2 ? 8.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值是 ?x ? y ? 1 ?
A.12 B.11 C.3 D. ? 1

9.下列函数中既是偶函数,又在区间 (1,2) 内是增函数的是 A. y ? cos2 x, ( x ? R) C. y ? sin | B. y ?

e x ? e?x ( x ? R) 2

x | ( x ? R) 2

D. y ? x3 ? x( x ? R)

10.已知圆 C : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ,过点 A(1,0) 的直线 l 将圆 C 的圆周分成两段弧,且两段弧长之比为

1 : 3 ,则直线 l 的斜率为
A. ? 1 二、填空题 11.在 ?ABC ,若 a ? 3, b ? ,则 ?C 的大小为 。 3 12.已知 p 和 q 都是命题,则“命题 p ? q 为真命题”是“命题: p ? q 为真命题”的 件(填“充分非必要,必要非充分,充要,非充分非必要”等四者之一) 13.将函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? 则实数 ? 的最小值是 B. ?

2 2

C. ?

3 3

D. ?

2

3 , ?A ?

?



?
6

)(? ? 0) 的图像向右平移

? 3? ,2) 点, 个长度单位后,所得图像经过 ( 4 3



14.已知数列 ?an ? 是等比数列, a1 , a2 a3 依次位于下表中第一行,第二行,第三行,又 a1 , a2 a3 中任何 两个都不在同一列,则 an ? 第一列 (n? N )
*

第二列

第三列

第一行 第二行 第三行

1 6 9

10 14 18

2 4 8

15.对于给定的函数 f ( x) ? a x ? a ? x ( x ? R, a ? 0, a ? 1) ,下面给出五个命题,其中真命题是 (只需写出所有真命题的编号) ①函数 f (x) 的图像关于原点对称;②函数 f (x) 在 R 上不具有单调性; ③函数 f (| x |) 的图像关于 y 轴对称;④当 0 ? a ? 1 时,函数 f (| x |) 的最大值是 0 ⑤当 a ? 1 时,函数 f (| x |) 的最大值是 0。 三、解答题 16.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? (cos2 x ? sin 2 x), x ? R 。 (1)试说明函数 f (x) 的图像是由函数 y ? sin x 的图像经过怎样的变换得到的; (2)若函数 g ( x ) ?| f ( x ?

?
12

) | ( x ? R ) ,试写出函数 g (x) 的单调区间。

17.某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成绩分男女进行了统计(满分 150 分) ,其中 120 分(含 120 分)以上为优秀,绘制了如下的两频率分布直方图:

(1)根据以上两个直方图完成下面的 2 ? 2 列联表:

(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有系?

, (3)若从成绩在 [130140] 的学生任取 2 人,求取到的两人中至少有一名女生的概率。

18.如图 5 所示,已知四棱锥的侧棱 PD ? 平面 ABCD ,且底面 ABCD 是直角梯形, AD ? CD ,

1 CD ? 2 ,点 M 在侧棱 PC 上。 2 (1)求证: BC ? 平面 BDP 1 (2)若 tan ?PCD ? ,点 M 是侧棱 PC 的中点,求三棱锥 M ? BDP 的体积。 2 AB // CD, AB ? AD ?

19.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 2( x ? R, a, b为常数) 。 (1)若函数 f (x) 的图像上点 (1,?3) 处的切线的斜率为 ? 2 ,求实数 a, b 的值; (2)若 a ? ?1, b ? ?8 时,函数 f (x) 在区间 [k ,3] 上的最大值为

122 ,求实数 k 的取值范围。 27

20. 已知椭圆 E :

x2 y2 M ? ? 1(a ? b ? 0), F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆的两个焦点, 为椭圆上任意一点, a2 b2

且 | MF |, | F1F2 |, | MF2 | 构成等差数列,点 F2 (c,0) 到直线 l : x ? 1 (1)求椭圆 E 的方程;

a2 的距离为 3。 c

(2)若存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A, B 且 OA ? OB ,求 出该圆的方程。

21.已知函数 f ( x ) ? 1 ?

x ,数列 ?an ?中, a1 ? 1, an ? f (an?1 )(n ? 2, n ? N * ) 。 3

(1)证明:数列 ?an ? ? 是等比数列,并求数列 ?an ?的通项公式; (2)若 bn ? ( a n ? ) ? 4n ,且数列 ?bn ?前 n 项和为 Sn ,求 Sn ;

? ?

3? 4?

3 4

(3)在(2)的条件下,当 n ? 10 且 n ? N 时,是否存在实数 M ,使 Sn ? M 都成立,若存在,求出
*

M 的范围;若不存在,说明理由。

数学文科试卷参考答案和评分标准
说明: 1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评 分精神进行评分。 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的 内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数 之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 一、选择题 1.(B) 2.(A) 3.(C) 4.(A) 5.(C) 6.(C) 7.(D) 8.(B) 9.(C) 10.C 二、填空题 11.

? ; 2

12.必要非充分;

13.

4 ; 5

14. an ? 2 ? 3n?1 ; 15. (1),(3),(4). 三、解答题 16.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. 解(1)∵ f ( x) ? 2 3sin x cos x ? (cos2 x ? sin 2 x)

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ,
∴ f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)( x ? R)

5分

∴函数 f ( x ) 的图像可由 y ? sin x 的图像按如下方式变换得到:

-6-

? ? 个单位,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图像; 6 分 6 6 ? 1 ②将函数 y ? sin( x ? ) 的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变), 得到 6 2 ? 函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像; 7分 6 ? ③将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得 6 ? 到函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? )( x ? R) 的图像. 8分 6
①将函数 y ? sin x 的图像向右平移 (说明:横坐标先放缩,再平移也可.即将函数 y ? sin x 的图像上所有点的横坐标缩短到 原来的

1 ? 倍(纵坐标不变), 得到函数 y ? sin 2 x , 再将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 个单 2 12

位,得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,最后将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像上所有点的纵坐标 6 6

?

伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? (2)由(1)知, f ( x) ? 2sin(2 x ? 所 以 , 函 数 10 分 单调递减区间是 [

?

?
6

)( x ? R) ,则 g ( x) ?| f ( x ?

?

6

)( x ? R) 的图像.) ) |? 2 | sin 2 x | ( x ? R) . k? k? ? , ? ]( k ? Z ) ; 2 2 4
12 分

12

g ? x? 的 单 调 递 增 区 间 是 [

k? ? k? ? ? , ? ](k ? Z ) . 2 4 2 2

17(本题满分 12 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满 分 4 分. .解: (1) 成绩 性别 男生 女生 总计 优秀 13 7 20 不优秀 10 20 30 总计 23 27 50

4分

50 ? (13 ? 20 ? 7 ? 20)2 (2)由表中的数据知, K ? ? 4.844 20 ? 30 ? 27 ? 23
2

6分

? K 2 ? 4.844 ? 3.841 , ∴ 有 95 ﹪ 把 握 认 为 学 生 的 数 学 成 绩 与 性 别 之 间 有 关 系 .
8分

-7-

( 3 ) 由 题 知 , 成 绩 在 ?130,140 ? 范 围 内 的 男 生 有 4 人 、 女 生 有 2 人 , 分 别 记 为 ?

A , A , A , A ,B ,B
1 2 3 4 1



,

从 中 任 取

2

人 共 有

( A1 , A2 ) ,A1 ( A , , 3

) ,

( A1, A ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A2 , A3 ),( A2 , A4 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A3 , A4 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ) 4
( A4 , B1 ),( A4 , B2 ),( B1, B2 ), 15 种不同结果,且其中至少有一名女生包含了 9 种不同结果.
∴所求事件的概率 P

?

9 3 ? . 15 5

12 分

18.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 证明 (1) 由已知条件,可算得 BD ? BC ? 2 2 ,且 BD ? BC ? 16 ? DC ,
2 2 2

2分

于是, BD ? BC .

3分 4分

因 PD ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ,故 PD ? BC .

BD ? BC

? ? PD ? BC ? ? BC ? 平面BDP . BD ? PD ? D ? ?
解(2)过 M 作 MG ? DC 交 DC 于点 G . 由 PD ? DC , M 是 PC 中点,知 MG 是 ?DCP 的中位线,因此, MG ? PD, MG ? 所以 MG ? 平面BDC . 又 tan ?PCD ? 7分

6分

P

1 PD . 2
9分 D H A B 12 分

M

G

C

1 1 ,得 PD ? 2 , MG ? PD ? 1 . 10 分 2 2

所以, VM ? BDP ? VP? BCD ? VM ? BCD ,

?

1 1 1 1 ? 2 2 ?2 2 ? 2 ? ? ? 3 2 3 2
3 2

4 2 2 ?2 2 ?1 ? ? . 3

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解 (1)∵ f ( x) = x + ax + bx - 2 , x ? R ,

? f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? b .
结合题意,得 ?

2分 4分

?1 ? a ? b ? 2 ? ?3, ?3 ? 2a ? b ? ?2.

-8-

解得 ?

?a ? ?3, . ?b ? 1.

6分

(2)? a ? ?1, b ? ?8 , f ( x) = x3 - x2 - 8x - 2 ,

4 ? 由 f ?( x) ? 0,即3x2 ? 2x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? ? . 3
列表分析:

8分

4 (??, ? ) 3

?
0

4 3

4 (? , 2) 3


2
0

(2, ??)


f ?( x ) f ( x)



?

?

?

4 4 ?函数f ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (??, ? ] 和 [2, ??) ; 单 调 递 减 区 间 是 [? , 2] . 3 3
10 分

4 4 ? 当 x ? ? 时, f ( x) ? f (? ) ; 3 3 4 4 当 ? ? x ? 2 时, f (2) ? f ( x) ? f (? ) ; 3 3
当 2 ? x ? 3 时, f (2) ? f ( x) ? f (3) . 又 f (3) ? ?8 ? f (? ) ?

4 3

122 122 , f ( x) 在区间 [k ,3] 上的最大值为 , 27 27
12 分

4 ?k ? ? . 3

20. (本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 9 分.

? 解⑴由题知, 2 F F2 ? MF ? MF2 ,即 2 ? 2c ? 2a, 得 a ? 2c, e ? 1 1
又由

1 . 2

2分

a2 ? c ? 3 ,解得 c ? 1, a ? 2, b ? 3 . c x2 y 2 ? ? 1. 4 3
4分

? 椭圆 E 的方程为:

⑵假设以原点为圆心,r为半径的圆满足条件.

10 若 圆 的 切 线 的 斜 率 存 在 , 并 设 其 方 程 为 : y ? kx ? m , 则

r?

m k 2 ?1

, r2 ?

m2 . k 2 ?1

-9-

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由 ?4 消 去 y , 整 理 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ? 3) ? 0 . 设 3 ? y ? kx ? m. ?

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,有
8km ? x1 ? x2 ? ? , ??? ??? ? ? ? ? 3 ? 4k 2 又 OA ? OB ? 0, x1x2 ? y1 y2 ? 0 , ? 2 ? x x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
算得 4(1 ? k 2 )(m2 ? 3) ? 8k 2 m2 ? 3m2 ? 4k 2m2 ? 0 ,化简得 m ?
2

12 2 ( k ? 1) . 7

进一步解得 r ?
2

12 . 7
2 2

所求圆的方程为: x ? y ?

??? ??? ? ? 20 当 AB 的斜率不存在时, A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ) , OA ? OB ? 0 ,有
12 x12 y12 12 ? 1, 得x12 ? .此时仍有 r2 ? x12 ? . x -y =0 ,x ? y ,代入 ? 7 4 3 7
2 1 2 1 2 1 2 1

12 . 7

10 分

13

分 综上,总存在以原点为圆心的圆: x ? y ?
2 2

12 满足题设条件. 7

21.(本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 满分 5 分. ⑴证明:由题设得

1 ( an ? f (an?1 ) ? ? an?1 ? 1 , n ? 2 , n ? N ? ) 3
,又 a1



an ?

3 1 1 1 3 ? ? an?1 ? ? ? (an?1 ? ) 4 3 4 3 4

?

3 3 1 ?1? ? 4 4 4
2分

所以数列 {an

3 1 1 ? } 是以 为首项, ? 为公比的等比数列。 4 4 3



an ?

3 3 1 1 1 ? (a1 ? )(? )n?1 ? (? )n?1 , 4 4 3 4 3

即 分

an ?

3 1 1 n?1 ? (? ) (n ? N ? ) 4 4 3

4

- 10 -

(2)∵ bn ? ( an ? )?4n = 分

3 4

1 1 n ?1 1 (? ) ? 4n ? n ? (? ) n ?1 4 3 3

5

∴ Sn ? 1? (? ) ? 2 ? (? ) ? 3 ? (? ) ? ... ? ( n ? 1)(? )

1 0 11 1 2 1 n?2 1 ? n(? ) n ?1 ① 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? 1? (? )1 ? 2 ? (? ) 2 ? 3 ? (? )3 ? ... ? ( n ? 1)(? ) n ?1 ? n(? ) n 3 3 3 3 3 3 4 1 1 2 1 n ?1 1 n ∴ S n ? 1 ? (? ) ? (? ) ? ... ? (? ) ? n(? ) 3 3 3 3 3 1 1 ? (? ) n 3 ? n(? 1 ) n = 3 ?1 ? (? 1 ) n ? ? n(? 1 ) n = 1 4? 3 ? 3 3 ? ? 1? 3
∴ Sn ?



8



9 9 3n 1 ? ( ? )(? ) n 16 16 4 3 9 9 3n 1 ? ( ? )( ) n , (3) 当 n 为奇数时, Sn ? 16 16 4 3
∴ Sn ? 2 ? Sn ? ? ? 16

9分

?9 ?

1 n 1 4n ? 1 3(n ? 2) ? 1 n? 2 9 3n 1 n ? ( 3 ) ? (16 ? 4 )( 3 ) = ?( 3 ) ( 2 ? 6 ) ? 0 4 ?
11 分

∴ Sn ? 2 ? Sn 即 S1 ? S3 ? ... ? S9 当 n 为偶数时, Sn ? ∴ Sn ? 2 ? Sn ? (

9 9 3n 1 ? ( ? )( ) n 16 16 4 3

9 3n 1 n ? 9 3(n ? 2) ? 1 n? 2 1 n 1 4n ? 1 )?0 ? )( ) ? ? ? ( ) =( ) ( ? 3 2 6 16 4 3 4 ? 3 ?16 ?

∴ Sn ? 2 ? Sn 即 S2 ? S4 ? ... ? S10 ∵当 n ? 10 且 n ? N 时, Sn ? M 都成立,∴ (Sn )min ? M
?

13 分

9 9 6 1 1 ? ( ? )( ) 2 ? , 16 16 4 3 3 9 9 27 1 9 13 1 9 1 S9 ? ? ( ? )( )9 ? ? ? ( )7 ? ? 16 16 4 3 16 16 3 16 3 1 1 ∴ S9 ? S 2 ∴ ( S n ) min ? S 2 ? ∴ M 的范围 M ? 3 3
∵ S2 ?

14 分

- 11 -


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