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圆台的表面积公式推导


德江二中

朱海

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r O’
1

2? r1

l

2? r 2

r

2

O
<

br />圆台的侧面展开图是扇环

扇环

上底

下底

? ? ? S圆台 s上 s下 S 扇环

上底

上底的表面积

S

上 底

? ? r1

2

下底

下底的表面积

S

下 底

? ? r2

2

? 展开图中扇环的面积= ? 大的扇形的面积-小的扇形的面 积
x
l

2? r1
2? r 2

解 : 设 小 扇 形 的 母 线 长 由 相 似 三 角 形 得 :

为x, 已 知 圆 台 上 底 面 半 径

为r1, 下 底 面 半 径 为

r ,扇环的母线为
2

l,

x ? l r2 ? ? x ? lr 1 ; x r1 r 2 ? r1
2

l? r 1 1 ? ? x ? 2 ? ? s小 2 r1 ? r ; r2 1 ? 1 1 ? lr ? ? ? 2? ? l? r1 r 2 ? l? ; 1 ? ? ? ? x ? l 2 ? ? ? ? l s大 2 r 2 2 ? ?r ? r 2 ?r r2 r2 1 ? r2 1 ?

x

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1

l

l? r 1 r 2 ? l? ? ? ? ? S 扇环 s大 s小 ?r r 2 ? r ? l? r 1 ? l? r 2 r2 1 r2 1
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s上 ? ? r1

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x

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2? r1
2? r 2

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2 2

2

S圆台 ? s上 ? s下 ? S 扇环 ? ? r1 ? ? r 2 ? l? r1 ? l? r 2 ? ? r1 ? r 2 ? l r1 ? l r 2

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2

2

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? ? ? ? l ? l S圆台 r1 r 2 r1 r 2

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2

2

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