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高三空间向量与立体几何知识点归纳总结


高三空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向 量。 注: (1) 向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相 等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下 (如图) 。
王新敞
奎屯 新疆
<

br />OB ? OA ? AB ? a ? b

;

BA ? OA ? OB ? a ? b

;

OP ? ?a(? ? R)

运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b ⑶数乘分配律:
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这
? ? 些向量也叫做共线向量或平行向量, a 平行于 b ,记作 。 ? ? ? ? ? ? (2)共线向量定理:空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实 ? ? 数 λ,使 a =λ b 。

? ? a // b

( 3 ) 三 点 共 线 : A 、 B 、 C <=> AB ? ? AC <=> OC ? xOA ? yOB(其中x ? y ? 1) (4)与

三 点 共 线

a 共线的单位向量为 ?

a a

4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫 做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的 条件是存在实数 x, y 使

p ? xa ? yb 。

(3 )四点共面:若 A 、B 、C、 P 四点共面 <=> AP ? x AB ? y AC
1

<=> OP ?

xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1)

5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间 任一向量

p

, 存 在 一 个 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y , z , 使

a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空 p ? x a? y b ? 。若三向量 zc 间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都
可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一 的三个有序实数 x, y , z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标:在 空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数

组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? yi ? zk ,有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在 空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z) , x 叫横坐标, y 叫纵 坐标, z 叫竖坐标。

注:①点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面 的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余 的分坐标均相反。 ②在 y 轴上的点设为(0,y,0),在平面 yOz 中的点设 为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 , 这 个 基 底 叫 单 位 正 交 基 底 , 用 {i ,

j , k }表 示 。 空 间 中 任 一 向 量

a ? xi ? y j ? zk =(x,y,z)
(3)空间向量的直角坐标运算律:

b ? (b1, b2 , b3 ) , b ?a (? ba b ?a 2 b , ?3 ①若 a ? (a1, a2 , a3 ) , 则a? 1 1, 2 3
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,

)

a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,
a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,
a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。
2





A(

1

x,

1

,y ,
2。

1

B( x2 z, ) y2 , z2 )
1




1

A ? ( 2B

? 1,x

?x ,

y ? )2 y

z

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终 点的坐标减去起点的坐标。
P( x1 ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2

③中点公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) 当 P 为 AB 中点时,

④ ?ABC中,A(x 1, y1, z1) , B( x2 , y2 , z2 ),C( x3 , y3 , z3 ) ,三角形重 x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 z1 ? z2 ? z3 , , ) 心 P 坐标为 P( 3 2 2 ⑤Δ ABC 的五心: 内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。 AP ? ? ( 位向量) 外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 PA ? PB ? PC 垂心 P:高的交点: PA? PB ? PA? PC ? PB ? PC (移项,内积为 0, 则垂直) 1 重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) AP ? ( AB ? AC ) 3 中心:正三角形的所有心的合一。 (4)模长公式:若 a ? (a1, a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,
2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3 , | b |? b ? b ? b1 ? b2 ? b3

AB AB

?

AC AC

) (单

2

2

2

(5)夹角公式: cos a ? b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? 。 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

Δ ABC 中① AB ? AC ? 0 <=>A 为锐角② AB ? AC ? 0 <=>A 为钝角,钝角Δ (6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 , 或 d A, B ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2
7. 空间向量的数量积。 (1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任 取一点 O , 作
2

O A aO ? B, b ?

O B , 则 ?A

叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作 ? a, b

?;

3

且规定 0 ??

a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ? ,则称 a 与 b
2

互相垂直,记作: a ? b 。 (2)向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度

叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | 。

|c o s? (3) 向量的数量积: 已知向量 a, b , 则 | a| | ? b

,? ab ?

叫做 a, b

的数量积,记作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ?cos ? a, b ? 。 (4)空间向量数量积的性质:不满足乘法结合率: (a ? b)c ? a(b ? c) 二.空间向量与立体几何 1.线线平行 ? 两线的方向向量平行 1-1 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行 2 线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 3 线线夹角 ?(共面与异面)[0 O ,90O ] ? 两线的方向向量 n1 , n 的夹角或
2

夹角的补角, cos? ? cos ? n1, n2 ? 3-1 线面夹角 ? [0 O ,90O ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向向量 AP 与 面的法向量 n 的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再 求其余角,即是线面的夹角. sin ? ? cos ? AP, n ? 3-2 面面夹角(二面角) ? [0O ,180O ] :若两面的法向量一进一出,则 二面角等于两法向量 n1 , n 2 的夹角;法向量同进同出,则二面角等于 法向量的夹角的补角.

cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?
PQ ? n n

4.点面距离 h :求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 在平面 ? 上去一点
Q ? x, y ? ,得向量 PQ ;; 计算平面 ? 的法向量 n ;. h ?

4-1 线面距离(线面平行) :转化为点面距离
4-2 面面距离(面面平行) :转化为点面距离

4


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