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人教版选修2-1椭圆测试题2


椭圆测试题(2)
1. 设 F1 ? F2 为定点 ,| F1F2 |=6, 动点 M 满足 | MF1 |+| MF2 |=6, 则动点 M 的轨迹是 ( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段

解析:由于| MF1 |+| MF2 |=6=| F1F2 |,故动点 M 的轨迹不表示椭圆,而是以 F1 ? F2 为两 端点的一条线段. 答案:D 2. “1<m<3”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 【解析】选 B.当方程 + + =1 表示椭圆”的( )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 =1 表示椭圆时,必有 所以 1<m<3;

但当 1<m<3 时,该方程不一定表示椭圆,如当 m=2 时,方程变为 x2+y2=1,它表 示一个圆. 3.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 A.
1 3

B.

3 3

C. 1 2

D.

3 2

解析:由题意知,2a=4b,又 b2 ? a 2 ? c2 ? 得到 4c2 ? 3a2 ? e2 ? 3 4 ?e ? 答案:D 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 x3 ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的
2

3 2

.

另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( A. 2 3 B.6 C. 4 3

) D.12

解析 : 由椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得△ ABC 的周长为

4a ? 4 3 .
答案:C 5.如果 x 2 ? ky 2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A. ?0,??? B. ?0,2? C. ?1,??? D. ?0,1? )

解:D

y 2 x2 2 ? 1, ? 2 ? 0 ? k ? 1 焦点在 y 轴上,则 ? 2 2 k k
2 2

6.过点(3,-2)且与 x9 ? y4 ? 1 有相同焦点的椭圆是
y x A. 15 ? 10 ?1
2 2 2

(
2

)

y x B. 225 ? 100 ?1 y x D. 100 ? 225 ?1
2 2

y x C. 10 ? 15 ?1
2

2

解析:椭圆的焦点坐标是 (? 5? 0)? 焦点在 x 轴上,故排除 C、D;代入坐标(3,-2)排除 B. 答案:A 7.设 a>b>0,k>0 且 k≠1,则椭圆 C1: A.顶点 C.离心率 【解析】选 C.椭圆 C2: 离心率 = = + =k,即 = . ) + + =1 和椭圆 C2: B.焦点 D.长轴和短轴 =1, + =k 具有相同的( )

8.若方程 2(k 2 ? 2) x 2 ? k 2 y 2 ? k 2 ? k ? 6 ? 0 表示椭圆,则 k 的取值范围是( (A) (??,? 2 ) ? ( 2,??) . (B) (?2,? 2 ) ? ( 2,3) . (C) (?2,? 2 ) ? ( 2,2) ? (2,3) . 【解析】选 C 9. F1 , F2 是椭圆 (D) (?2,3)

x2 y2 0 ? ? 1 的两个焦点, A 为椭圆上一点,且∠ AF 1 F2 ? 45 , 9 7

则Δ AF1F2 的面积为( A. 7 解:C B.

) C.
7 2

7 4

D.

7 5 2

F1F2 ? 2 2, AF1 ? AF2 ? 6, AF2 ? 6 ? AF1
AF22 ? AF12 ? F1F22 ? 2 AF1 ? F1F2 cos 450 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8
7 (6 ? AF1 ) 2 ? AF12 ? 4 AF1 ? 8, AF1 ? , 2

1 7 2 7 S ? ? ?2 2? ? 2 2 2 2

10. 若直线 mx+ny=4 和☉ O:x2+y2=4 没有交 点 , 则过点 P(m,n) 的直线与椭圆 + =1 的交点 个数为( )

A.2 个 C.1 个

B.至多一个 D. 0 个

【解析】选 A.若直线与圆没有交点, 则 d= 所以 + >2,解得 m2+n2<4,即 <1, <1,

所以点(m,n)在椭圆 内部, 故直线与椭圆有 2 个交点,故选 A.
x2 y 2 ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆周长 11. 椭圆 ? 25 16

为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 值为( A.
5 3

) D.
5 3

B.

10 3

C.

20 3

【解析】选 A. 12.如果椭圆 A.x-2y=0 C.2x+3y-12=0 + =1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直 线方程是( B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0 )

【 解 析 】 选 D. 设 这 条 弦 的 两 端 点 为 A(x1,y1),B(x2,y2), 斜 率 为 k, 则

两式相减再变形得

+k

=0.

又弦中点为(4,2),故 k=- , 故这条弦所在的直线方程为 y-2=- (x- 4),

整理得 x+2y- 8=0.故选 D.
二.填空题(20 分)
x 13.已知椭圆的标准方程为 25 ?
2

y2 m

? 1(m ? 0) 并且焦距为 6,则实数 m 的值为

.

解析:∵2c=6,∴c=3. 当焦点在 x 轴上时 ? a 2 ? 25? ∴m=16. 当焦点在 y 轴上时 ? b2 ? 25? ∴m=34. 答案:16 或 34
x ? 14.已知椭圆的方程为 16
2

y2 m2

? 1(m ? 0) .如果直线

2 2

x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的

射影恰为椭圆的右焦点 F,则椭圆的离心率为_____. 解析:设椭圆右焦点 F(c,0),则 M (c? ba ) .
2

又 M 在直线 y ? ∴ ∴
2 2 2 2

2 2

x 上,

c ? ba .
2

e ? 1 ? e2 .∴ e ?
2 2

2 2

.

答案:

15.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐 9 4


标的取值范围是 解: (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则 (a ? ex) ? (a ? ex) ? (2c) , 2a ? 2e x ? 20, e x ? 1 3

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5
+ =1 的左焦点且斜率为 1 的弦 AB 的长是 .

16.过椭圆

【 解 析 】 椭 圆 的 左 焦 点 为 (-4,0), 由

得 34x +200x+175=0, 所 以

2

x1+x2=-

,x1x2=

.

所以|AB|=

×

=

×

=

.

答案:

三.解答题(70 分) 17.椭圆短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆长轴端点的最短距离为 3? 求此椭圆的标准 方程 解:当焦点在 x 轴上时,
x 设椭圆方程为 a 2 ?
2

y2 b2

? 1(a ? b ? 0),

由题意知 a ? 2c? a ? c ? 3? 解得 a ? 2 3? c ? 3? 所以 b2 ? 9?
x 所求的椭圆方程为 12 ?
2

y2 9

?1.
2

同理,当焦点在 y 轴上时,所求的椭圆方程为 x9 ? 12 ? 1 . 18. 已 知 P 是 以 F 1 、 F2 为 焦 点 的 椭 圆
x2 a2 y ?b 0) 上 一 点 , 若 2 ? 1( a ? b ?
2

y2

PF1 ? PF2 ? 0? tan ?PF1F2 ? 2? 求该椭圆的离心率.
解:由 PF 1 F2 ? 1 ? PF 2 ? tan ?PF 1 ? PF 2 ? 0 得 PF 又 tan ?PF 1 F2 ? 2 . 故| PF2 |=2| PF1 |. 又| PF1 |+| PF2 |=2a, 故| PF1 | ?
2
? PF2 ? ? PF1 ?

.

2a 3

? | PF2 | ?
2

4a 3

?

2 | PF1 | ? | PF2 | ? | F1F2 | ?

即 ( 23a ) ? ( 43a ) ? 4c ?
2 2 2

所以 e ?

c a

?

5 3

.

19.已知定点 A(?2, 3) , F 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,在椭圆上求一点 M , 16 12

使 AM ? 2 MF 取得最小值。

解:显然椭圆

1 x2 y 2 ? ? 1 的 a ? 4, c ? 2, e ? ,记点 M 到右准线的距离为 MN 2 16 12



1 ? e ? , MN ? 2 MF ,即 AM ? 2 MF ? AM ? MN MN 2

MF

当 A, M , N 同时在垂直于右准线的一条直线上时, AM ? 2 MF 取得最小值, 此时 M y ? Ay ? 3 ,代入到

x2 y 2 ? ? 1 得 M x ? ?2 3 16 12

而点 M 在第一象限,? M (2 3, 3) 20.已知椭圆 C 的焦点 F 1 (?2 2? 0) 和 F 2 (2 2? 0)? 长轴长 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两 点,求线段 AB 的中点坐标. 解:由已知条件得椭圆的焦点在 x 轴上,其中 c ? 2 2? 所以其标准方程是 x9 ? y 2 ? 1.
2

从而 b=1,

? x9 ? y 2 ? 1? 联立方程组 ? ? y ? x ? 2?
2

消去 y 得 ?10x ? 36 x ? 27 ? 0 .
2

设 A( x1? y1 )? B( x2 ? y2 )? AB 线段的中点为 M ( x0 ? y0 )? 那么 x1 ? x2 ? ? 18 5 ?
x2 9 x0 ? x1 ? 2 ? ?5?

所以 y0 ? x0 ? 2 ? 1 5.

1 也就是说线段 AB 的中点坐标为 (? 9 5 ? 5).

21.已知椭圆的短轴长为 2 3? 焦点坐标分别是(-1,0)和(1,0). (1)求这个椭圆的标准方程; (2)如果直线 y=x+m 与这个椭圆交于不同的两点,求 m 的取值范围.

解:(1)∵ 2b ? 2 3? c ? 1? ∴ b ? 3? a2 ? b2 ? c2 ? 4 . ∴椭圆的标准方程为 x4 ?
2

y2 3

?1.

(2)联立方程组 ? 2 x

? ? y ? x ? m? y2 ? ? 4 ? 3 ? 1?
2 2

消去 y 并整理得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 . 若直线 y=x+m 与椭圆 x4 ?
2

y2 3

? 1 有两个不同的交点,

则有 ? ? (8m)2 ? 28(4m2 ?12) ? 0? 即 m2 ? 7? 解得 ? 7 ? m ? 7 .
x 22.已知椭圆 a 2 ?
2

y2 b2

? 1(a ? b ? 0)的离心率 e ?

6 3

? 焦距是函数 f ( x) ? x2 ? 8 的零点.

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭圆交于 C、D 两点 解:(1)由题意,令 x ? 8 ? 0 得 x ? ?2 2? ∴ c ?
2

6 2 5

? 求 k 的值.

2.

c 又a ?

6 3

?∴ a ? 3 .
2

∴椭圆方程为 x3 ? y 2 ? 1. (2)设 C ( x1? y1 )? D( x2 ? y2 )? 由 ? x2

? y ? kx ? 2? 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 . 2 ? y ? 1 ?3

?? ? (12k ) 2 ? 36(1 ? 3k 2 ) ? 0? ? ? 12 k x1 ? x2 ? ? 1? ? ∴ ? 3k 2 ? 9 x1 ? x2 ? 1?3 ? ? k2 ?
∴|CD| ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ?
2 2 6 2 5

.

解得 k ? 3? ∴ k ? ? 3 .
2


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