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高二数学作业26 (1)


涉县第一中学高一数学

解三角形

预习学案

第一课时
【学习目标】 1.掌握 正 弦定理的内容及其证明方法;

正弦定理(一)

2.运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 【重点难点】 重点:正弦定理的探索和证明

及其基本应用. 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 【新课导学】 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些? 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 二、讲授新课: 正弦定理的推导:[来源:学科网 ZXXK] ①直角 ? ABC 中,证明

a b c . ? ? sin A sin B sin C

②当 ? ABC 是锐角三角形时,证明

a b c . ? ? sin A sin B sin C

【典型例题】 例 1:在 ?ABC 中,已知 A ? 450 , B ? 600 , a ? 42 cm,解三角形.

例 2: ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C .

1

涉县第一中学高一数学

解三角形

预习学案

练习 :1、 ?ABC中,b ? 3, B ? 600 , c ? 1, 求a和A, C .

2、在 ?ABC 中,已知 a ?10 cm, b ? 5 6 cm, A ? 450 ,解三角形[来源:学科网]

[来源:学科网]

三、巩固练习: 1.已知 ? ABC 中, ? A=60°, a ? 3 ,求

a?b?c . sin A ? sin B ? sin C

2. 已知 a、b 为△ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且

sin A 2 a?b ? ,求 sin B 3 b

【反思小结】

2

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解三角形

预习学案

第二课时

正弦定理(二)

【学习目标】 1.掌握正弦定理的内容; 2.会运用正弦定理判断三角形解的个数及三角形的形状。 【重点难点】 重点: 熟练运用定理. 难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 【新课导学】 一、复习旧知: 1.、在△ABC 中,已知下列条件,解三角形. (1) a ? 3, b ? 2, A ? 120o

[来源:学&科&网]

(2) a ? 16 3, b ? 48, B ? 60o

2. 在 ?ABC 中, A ? 30? , a ? 3 ,则 ?ABC 的外接圆半径为(



[来源:学.科.网]

3 (B)3 2 二、讲授新课: 例 1:在△ABC 中,已知下列条件,解三角形.
(A) (1) A=

(C) 3 3

(D)6

?
6

,a=25,b=50 2 ;

(2) A=

?
6

,a=25 2 ,b=50 2 ;

(3) A=

?
6

,a=

50 6 ,b= 5 0 2 ; 3

(4) A=

?
6

,a=50,b=50 2 .

知识提升:用如下图示分析解的情况. (A 为锐角时)

已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

仅有一个解

反馈练习:在△ABC 中,已知下列条件,判断三角形的解的情况. (1) A=

2? ,a=25,b=50 2 ; 3

(2) A=

2? ,a=25,b=10 2 3

[来源:学科网]

(3) a ? 7, b ? 5, A ? 80o ;

( 4) a ? 14, b ? 16, A ? 45o

3

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解三角形

预习学案

例 2:已知△ABC 中, b cos C ? c cos B ,试判断△ABC 的形状.。

变式训练:在△ABC 中,如果 lg a ? lg c ? lgsin B ? ? lg 2 ,并且 B 为锐角,试判断△ABC 的形状.。

[来源:Z_xx_k.Com]

三、巩固练习: 1.在△ ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ ABC 的形状是

2.在 ?ABC 中, A : B : C ? 4 :1:1 ,则 a : b : c ?

3.在△ ABC 中,若

tan A a 2 ? ,则△ ABC 的形状是 tan B b 2

4.在△ ABC 中,若 sin A ? sin B, 则 A 一定大于 B ,对吗?填_____ ____(对或错)

5. 在△ ABC 中, a ? x, b ? 2, B ? 45o ,若三角形有两解,则 x 的取值范围是

6. 已知 a、b 为△ABC 的边,A、B 分别是 a、b 的对角,且

sin A 2 a?b 的值 ? ,求 sin B 3 b

【反思小结】

4

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解三角形

预习学案

第三课时

余弦定理(一)

【学习目标】 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法; 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 【重点难点】 重点: 通过对三角形边角关系的探索,证明余弦定理及其推论,并能应用它们解三角形。 难点: 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用 。 【新课导学】 (一) :自主学习:在△ABC 中,三边长为 a,b,c 1、若 C=90?,则c 2 ? 。

2、若 C 是锐角,作 AD ? BC于D ,于是 B D? a ? ?s i n C C , D? b? , 。 AD ? 3、若 C 是钝角,作 AD ? BC ,与 BC 的延长线相交于 D ,此时

AD ?

?sin ?? ? C ? ? b ?

, CD ? b ? cos

? ?b cos C .

4、无论 C 是锐角还是钝角,总有 BD=BC+CD=a ? (二) :复习准备: 1. 提问:正弦定理的文字语言? 符号语言?基本应用? 2. 练习:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形. 二、讲授新课:
[来源 :学§科§网 Z§ X§ X§ K]

(一)余弦定理及推导 1. 余弦定理的推导:

2.余弦定理:

3.. 余弦定理的推论:
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

4. 余弦定理的应用: .

【典型例题】 例 1:在△ABC 中,已知 a ? 1, b ? 1, C ? 120o ,求边 c 的长。

5

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解三角形

预习学案

变式 1:已知在△ABC 中 , A ? 60o ,最大边和最小边的长是方程 3x 2 ? 27 x ? 32 ? 0 的 两实根,求边 BC 的长.

例 2:在 ? ABC 中,已知 a ? 3cm , b ? 4cm , c ? 37cm ,求三角形的最大 内角和最小内角的三角函数值。

变式 2:在△ABC 中,已知 ? b ? c ?:? c ? a ?:? a ? b ? ? 4:5:6 ,求三角形的最大内角。

三:巩固练习: 1、 在Δ ABC 中,已知 a=7,b=10,c=6,求 A、B 和 C.

2、 在 ? ABC 中,若 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,求角 A.

3、 三角形 A BC 中,A=120°,b=3,c=5,解三角形.

【课后反思】
6

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解三角形

预习学案

第四课时

余弦定理(二)

【学习目标】 1.掌握余弦定理的内容; 2.会运用余弦定理解决解三角形问题和判断三角形的形状。 【重点难点】 重点: 余弦定理的灵活应用。 难点: 利用余弦定理实现边角的互化。 【新课导学】 (一) 自主学习: 1、余弦定理的内容 2、在△ABC 中, AB ? 5, BC ? 6, AC ? 8 ,则△ABC 是 3 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, 三角形。

cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2 , b ? ac ,求 B. 2

(二)讲解新课 例 1:在 ?ABC 中,若 CB ? 7, AC ? 8, AB ? 9 ,求 AB 边的中线长。

[来源:学科网]

练习: 在 ?ABC 中, 已知 sin A ?

3 , sin A ? cos A ? 0 , a ? 3 5 , b ? 5 ,求 c. 5

例 2:在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2bc cos B cos C ,试判断 ?ABC 的形状.
2 2 2 2

[来源:学科网 ZXXK]

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解三角形

预习学案

变式训练:在 ?ABC 中根据 下列条件,判断 ?ABC 的形状. (1)

cos A b 4 ? ? cos B a 3

(2)

sin A ? 2sin C cos B

(3) A ? C ? 2B, b2 ? ac

例 3:已知 A、B、C 是△ ABC 的三个内角,且满足(sinA+sinB)2- sin2C=3sinAsinB 求证:A+B=120°

[来源:学科网]

练习:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的 边分别为 a , b , c ,证明:

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? sin C c2

(三)巩固练习 1、在在△ ABC 中,AB=3,AC=4,BC= 13 ,则 AC 边上的高为( )

A.

3 2 2

B.

3 3 2

C.

3 2

D,

3 3


2、在在△ ABC 中,已知其面积 S= A. 135
?

1 2 2 2 (a ?b ? c ),则角 C 的度数为( 4
?

B. 45

?

C. 60

?

D. 120

3、在△ ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( A. 12 B.



21 2

C. 28

D. 6 3 .

4.、 已知锐角三角形的三边长分别为 2、3 、 x ,则 x 的取值范围是 5、在△ ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ?

【课后反思】

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解三角形

预习学案

第五课时

正、余弦定理的应用举例

【学习目标】 1.加深对正、余弦定理的理解,提高熟练程度; 2.掌握正、余弦定理在实际中的应用——(1)测量距离(2)测量高度 【重点难点】 重点: 分析测量问题的实际情景,从而找到测量距离的方法. 难点: 实际问题向数学问题转化思路的确定, 即根据题意建立数学模 型,画出示意图.[ 【新课导学】 一、复习引入: 1.正弦定理: 2.余弦定理:[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 3.仰角: 俯角: 二、讲解新课 例1 如 右 图 , 为 了 测 量 河 对 岸 两 个 建 筑 物 C 、 D 之 间 的 距 离 , 在 河 岸 这 边 选 取 点 A 、 B , 测 得
0 0 0 又已知 AB= 3 km, ?BAC ? 450 , ? DAC? 75 ,? ABD? 30 ,? DBC ? 45 ,

A、B、C、D 在同一平面内,试求 C、D 之间的距离。 D C

A

B

[练习: 如图,为了测量河对岸 A、B 两点间的距离,在河的这边测得 CD ?

3 km, 2

?ADB ? ?CDB ? 300 , ?ACD ? 600 , ?ACB ? 450 。求 A、B 两点间的距离。
300 300 60
0

450

例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰 BE 方向前进 30m, 至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 ? , 和建筑物 AE 的高。

角为 ? ,沿 2 ? ,再继续 求 ? 的 大小

9

涉县第一中学高一数学

解三角形

预习学案

例 3、甲船在 A 处观察乙船在它的北偏东 60°的 B 处,此时两船相距 a 海里,乙 船正向北行驶,若甲船的 速度是乙船的 3 倍,则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船?此 时乙船行驶了多少海里?

练习:某货船在索马里海域航行中遭到海盗袭击,发出呼叫信号,我海军护航舰在 A 处获悉后,立即测出 该货船在方位角为 45°,距离为 10 海里的 C 处,并测得货船 正沿方位 角为 105°的方向,以 10 海里/小 时的速度向前行驶, 我海军护航舰立即以 10 3 海里/小时的速度前去营救, 求护航 舰的航向和靠近货船所 需要

三、巩固练习[来源:学*科*网] 1. 海上有 A、 B 两个小岛相距 10 n mile, 从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60°的视角, 从 B 岛望 A 岛和 C 岛成 75° 角的视角,则 B、C 间的距离是 ( ) 10 A.5 2 nmile B.10 3 nmile C. nmile D.5 6 nmil e [来源 3 6

2. 在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°、60°,则塔 高为( ) ? A.

400 米? 3

B.

400 3 米 3

C. 200 3 米

D. 200 米

【课后反思】

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