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高考立体几何知识点详细总结


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八、立体几何
一、立体几何网络图: ⑹ 公理 4 ⑴ 线线平行 ⑵ ⑶ ⑾ 三垂线定理 ⑺ 线线垂直 三垂线逆定理 ⑻ ⑿ ⑼ ⑽ 线面垂直 线面平行 ⑷ ⑸ ⒀ ⒂ ⒃ 面面平行

⒁ 面面垂直

(1)线线平行的判断: ⑴平行于同一直线的两直线平行。 ⑶如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线和交线平行。 ⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ⑿垂直于同一平面的两直线平行。 (2)线线垂直的判断: ⑺在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜 线垂直。 ⑻在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影 垂直。 ⑽若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。 (3)线面平行的判断: ⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ⑸两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 (4)线面垂直的判断: ⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ⒃如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

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(5)面面平行的判断: ⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,这两个平面平行。 ⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。 (6)面面垂直的判断: ⒂一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 二、其他定理: (1)确定平面的条件:①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线; (2)直线与直线的位置关系: 相交 ; 平行 ; 异面 ; 直线与平面的位置关系: 在平面内 ; 平行 ; 相交(垂直是它的特殊情况) ; 平面与平面的位置关系: 相交 ; ; 平行 ; (3)等角定理:如果两个角的两边分别平行且方向相同,那么这两个角相等; 如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的 锐角(或直角)相等; (4) 射影定理 (斜线长、 射影长定理) : 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中, 射影相等的两条斜线段相等;射影较长的斜线段也较长;反之,斜线段相 等的射影相等; 斜线段较长的射影也较长; 垂线段比任何一条斜线段都短。 (5) 最小角定理: 斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角。 (6)异面直线的判定:①反证法; ②过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不过该点的直线是异面直 线。 (7)过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。 (8)如果—直线平行于两个相交平面,那么这条直线平行于两个平面的交线。 (9)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线也垂直于第三个平面。 三、唯一性定理: (1)过已知点,有且只能作一直线和已知平面垂直。 (2)过已知平面外一点,有且只能作一平面和已知平面平行。 (3)过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。 四、空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所 成的角。异面直线所成角的范围: 0 ? ? ? 90 ;
o o

注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的

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还可以通过补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方 体,补成一个底面是正方形的长方体。 (2)线面所成的角:①线面平行或直线在平面内:线面所成的角为 0 ; ②线面垂直:线 面所成的角为 90 ; ③斜线与平面所成的角:范围 0 ? ? ? 90 ;即也就是斜线与它在平
o o o o

面内的射影所成的角。 (3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面 法; 注意:还可以用射影法: cos ? ?

S' ;其中 ? 为二面角 ? ? l ? ? 的大小, S 为 ? 内的 S

一个封闭几何图形的面积; S ' 为 ? 内的一个封闭几何图形在 ? 内射影图形的 面积。一般用于解选择、填空题。 五、距离的求法: (1)点点、点线、点面距离:点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的 距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段,然后 再计算。 注意:求点到面的距离的方法: ①直接法: 直接确定点到平面的垂线段长 (垂线段一般在二面角所在的平面上) ; ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质) ; ③体积法:利用三棱锥体积公式。 (2)线线距离: 关于异面直线的距离,常用方法有: ①定义法,关键是确定出 a , b 的公垂线段; ②转化为线面距离,即转化为 a 与过 b 而平行于 a 的平面之间的距离,关键是找出或 构造出这个平面;③转化为面面距离; (3)线面、面面距离:线面间距离面面间距离与线线间、点线间距离常常相互转化; 六、常用的结论: (1)若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ? ,直线 m 是平面 ? 内经过 l 的斜足的一条直线, l 与 l ? 所成的角为 ? 1 , l ? 与 m 所成的角为 ? 2 , l 与 m 所成的角为 ? ,则这三个角之间

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的关系是 cos? ? cos?1 cos? 2 ; (2)如何确定点在平面的射影位置: ①Ⅰ、 如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等, 那么这点在平面上的射影在这个角 的平分线上; Ⅱ、经过一个角的顶角引这个角所在平面的斜线,如果斜线和这个角的两边夹角相等, 那么斜线上的点在平面上的射影在这个角的平分线所在的直线上; Ⅲ、 如果平面外一点到平面上两点的距离相等, 则这一点在平面上的射影在以这两点为 端点的线段的垂直平分线上。 ②垂线法:如果过平面外一点的斜线与平面内的一条直线垂直,那么这一点在这平面上 的射影在过斜足且垂直于平面内直线的直线上(三垂线定理和逆定理); ③垂面法:如果两平面互相垂直,那么一个平面内任一点在另一平面上的射影在这两面 的交线上(面面垂直的性质定理); ④整体法:确定点在平面的射影,可先确定过一点的斜线这一整体在平面内的射影。 (3)在四面体 ABCD 中: ①若 AB ? CD, BC ? AD ,则 AC ? BD ;且 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的垂 心。 ②若 AB ? AC ? AD ,则 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的外心。 ③若 A 到 BC, CD, BD 边的距离相等,则 A 在平面 BCD 上的射影是 ?BCD 的内心。 (4)异面直线上两点间的距离公式:若异面直线所成的角为 ? ,它们公垂 线段 AA' 的长为 d ,在 a , b 上分别取一点 E , F ,设 A' E ? m , A’ E’ F E

a

AF ? n ;
A 则 EF ?

d ? m ? n ? 2mncos?
2 2 2

?

?
b

(如果 ?E ' AF 为锐角,公式中取负号,如果 ?E ' AF 为钝,公式中取正号) 七、多面体: (1)棱柱: ①定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面 底面是正多边形

棱柱 柱;

斜棱柱

直棱柱

正棱

底面是平行四边形

侧棱垂直于底面

四棱柱
底面是矩形

平行六面体
底面是正方形

直平行六面体
棱长都相等

长方体 正四棱柱 正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 ③面积: S直棱柱侧 ? ch ( c 是底周长, h 是高)

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④体积:V棱柱 ? Sh ?

1 S 侧面 d ( S 为底面积,h 为高,d 为已知侧面与它对棱的距离) 2

(2)棱锥: ①定义:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几 何体叫做棱锥; 正棱锥:底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面中心,这样的棱锥叫做正棱 锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方 比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形 Rt ?POH , Rt ?POB , Rt ?PBH , Rt ?BOH 实现边,高,斜高间的换算 ③面积: S 正棱锥 ? ④体积: V棱锥 ? (3)正四面体: A

1 ch ' ( c 为底周长, h ' 为斜高) 2
D O

P

1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

C H B

2 对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 的正方体问题。 2
对棱间的距离为

2 a (正方体的边长) 2

正四面体的高

2 6 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3 1 2 3 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 3 12 1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

正四面体的体积为

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

外接球的半径为

1 6 a (是正方体的外接球,则半径 ? l正方体体对角线 ) 2 4 1 6 a (是正四面体中心到四个面的距离,则半径 ? l正方体体对角线 ) 6 12

内切球的半径为

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(4)正多面体: ①定义: 每个面都是有相同边数的正多边形, 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱 的多面体叫做正多面体。 正四面体 面数 F 顶点数 V 棱数 E 面的形状 顶点的棱数 4 4 6 正三角形 3 正六面体 6 8 12 正方形 3 正八面体 8 6 12 正三角形 4 正十二面体 12 20 30 正五边形 3 正二十面体 20 12 30 正三角形 5

②欧拉公式: V ? F ? E ? 2 ( V 为简单多面体的顶点数, F 为面数, E 为棱数)

E?

n1 ? n2 ? ? ? n F m1 ? m2 ? ? ? mV ? 2 2

( n i 表示各个面上的棱数, mi 表示过各个顶点的棱数) 八、球 (1)定义:①球面:半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。 ②球体:球面所围 成的几何体。 (2)性质: ①任意截面是圆面(经过球心的平面,截得的圆叫大圆,不经过球心的平面截得的圆叫小 圆) 两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。 ②球心和截面圆心的连线垂直于截面,并且 r ? 半径, d 为球心的到截面的距离。
2 (3)面积公式: S 球面 ? 4?R ( R 为球半径) ; (4)体积公式:V球 ?

R 2 ? d 2 ,其中 R 为球半径, r 为截面
4 3 ?R ( R 为球半 3

径)

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