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【解析】广东省中山一中等七校2015届高三第二次联考数学理试题


广东省中山一中等七校 2015 届高三第二次联考 2014~2015 学年度宝安中学 潮阳一中 桂城中学 南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学高三第二次联考 理 科 数 学 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 【试卷综述】本分试卷是高三综合测试卷,着重于基础知识,基本技能和基本思想方法,同时也考查的逻 辑思维能力和计算能力,空间想象能力以及运用所学的数学知识和思想方法分析问题和解决问题的能力, 难度不大,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,此套题着重基础知识和技能 的考查考核,通过这份试卷,能过起到查漏补缺, 薄弱环节,便于调整复习的作用,也能够让学生自己 了解掌握基本知识和基本技能的情况,做到复习心中有数. 【题文】一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 【题文】1. 复数 ? 3 ? 4i ? i (其中 i 为虚数单位)的虚部为( A. 3 【知识点】复数的运算 B. 3i L4 C. 4 ) D. 4i

【答案】 【解析】A解析:因为 ? 3 ? 4i ? i ? ?4 ? 3i ,所以虚部为3,故选择A. 【思路点拨】复数的虚部指的是 i ,前面的系数,所以可得. 【题文】2.命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , e x ? 0 C. ? x ? R , e x ? 0 【知识点】命题的否定 A3 【答案】 【解析】B解析:因为全称命题的否定为特称命题,所以可得命题“ ?x ? R , e x ? 0 ”的否定为 B. ?x ? R , e x ? 0 D. ?x ? R , e x ? 0 )

“?x0 ? R,ex ? 0” ,故选择B.
【思路点拨】根据全称命题的否定为特称命题,即可得到. 【题文】3. 设向量 a ? ? x,1? , b ? ? 4, x ? ,且 a , b 方向相反,则 x 的值是( A. ?2 【知识点】向量的坐标运算 B. 0 F2 C. ? 2 ) D. 2

【答案】 【解析】 C 解析:因为 a , b 方向相反,所以两向量共线,根据两向量共线的坐标表示可得
页 1第

x2 ? 4 ? x ? ?2 ,当 x ? 2 时, a , b 方向相同,所以舍去,故选择C.
【思路点拨】根据两个向量共线的坐标表示可得 x2 ? 4 ? x ? ?2 ,检验发现当 x ? 2 时,a , b 方向相同, 所以舍去,即可得到. 【题文】4. 下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? A. y ? sin ?

?
12

对称的是(

)

?x ?? ? ? ?2 3?

B. y ? sin ?

?x ?? ? ? ?2 3?

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?
C4

【知识点】三角函数的图像以及性质

【答案】 【解析】 C解析: 因为最小正周期为 ? ,所以排除A, B, 当x ? ,可得直线 x ?

?
12

时, C项中 2 x ?

?
3

? 2?

?
12

?

?
3

?

?
2

?
12

是其对称轴,故选择C.

【思路点拨】根据 y ? Asin ??x ? ? ? 的周期为 T ?

2?

?

,对称轴为 ? x ? ? ?
? x ? ?i ?2
2? i2

?
2

? k? ,进行判断即可.

? 1 【题文】5.已知三个正态分布密度函数 ?i ? x ? ? e 2?? i

( x ? R , i ? 1, 2,3 )的图象如图 1 所示,则

(

)
y ? ?1 ? x ?
y ? ?2 ? x ?

y

y ? ?3 ? x ?
O

x
图1

A. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 B. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 C. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 D. ?1 ? ? 2 ? ?3 , ? 1 ? ? 2 ? ? 3 【知识点】正态分布 K8 【答案】 【解析】 D解析: 因为正态曲线关于 x ? ? 对称, 且 ? 越大图象越靠近右边, 所以可得 ?1 ? ? 2 ? ?3 ,又因为 ? 的值反映的是这组数据的集中情况,其值越小图象越瘦长,越大图象越矮胖,所以可得

? 1 ? ? 2 ? ? 3 ,故选择D.
【思路点拨】 正态曲线关于 x ? ? 对称, 且 ? 越大图象越靠近右边,? 的值反映的是这组数据的集中情况,
页 2第

其值越小图象越瘦长,越大图象越矮胖,得到正确的结果. 【题文】 6 .已知 f ? x ? 在 R 上是奇函数 , 且满足 f ? x ? 4? ? f ? x ? , 当 x ? ? 0,2? 时 , f ? x ? ? 2x , 则
2

f ? 7? ? (
A. ? 2

) B. 2 B4 C. ?98 D. 98

【知识点】函数的性质 B3

【答案】 【解析】A解析:因为 f ? x ? 4? ? f ? x ? ,所以函数周期为4,所以 f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1? ,又 因为奇函数,且当 x ? ? 0,2? 时, f ? x ? ? 2x ,所以 f ? 7? ? f ? ?1? ? ? f ?1? ? ?2 ,故选择A.
2

【思路点拨】根据函数的周期可得 f ? 7? ? f ? 7 ? 8? ? f ? ?1? ,根据奇函数可得 f ? 7? ? f ? ?1? ? ? f ?1? , 即可得到. 【题文】 7. 已知双曲线的中心在原点,一个焦点为 F1 ? 5, 0 ,点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为

?

?

? 0, 2 ? ,则此双曲线的方程是(
A. x 2 ?

) C.

y2 ?1 4

B.

x2 ? y2 ? 1 4

x2 y 2 ? ?1 2 3

D.

x2 y 2 ? ?1 3 2

【知识点】双曲线的性质 H6 【答案】 【解析】 A 解析:解:据已知条件中的焦点坐标判断出焦点在 x 轴上,设双曲线的方程为:

x2 y 2 ? 2 ? 1 ∵一个焦点为 ? 5, 0 ,? a2 ? b2 ? 5① ∵线段 PF1 的中点坐标为 ? 0, 2 ? ,∴ P 的坐标为 2 a b

?

?

?

5, 4 将其代入双曲线的方程得:

?

5 16 - =1② a 2 b2

x2 ?
解①②得 a2=1,b2=4,所以双曲线的方程为

y2 ?1 4 .故选择 A.

【思路点拨】设出双曲线的方程,利用中点 p 坐标公式求出的坐标,将其坐标代入双曲线的方程,通过

a,b,c 的关系列出另一个等式,解两个方程得到 a, b 的值,即可求解双曲线方程.
【题文】8. 由无理数引发的数学危机一直延续到 19 世纪.直到 1872 年,德国数学家戴德金从连续性的要 求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才 结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续 2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分 割,是指将有理数集 Q 划分为两个非空的子集 M 与 N ,且满足 M

N ?Q,M

N ? ? , M 中的每一个

元素都小于 N 中的每一个元素,则称 ? M , N ? 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割 ? M , N ? ,下列选 项中,不可能成立的是( ) B. M 没有最大元素, N 也没有最小元素 D. M 有一个最大元素, N 没有最小元素

A. M 没有最大元素, N 有一个最小元素 C. M 有一个最大元素, N 有一个最小元素 【知识点】集合的运算 A1

【答案】 【解析】C解析:解:∵ M ,N 为一个分割,∴ M ,N 中,一个为开区间,一个为半开半闭区间
页 3第

.从而 M ,N 中,一个有最值,一个没有最值.故M有一个最大元素,N有一个最小元素不可能成立.故 选择C. 【思路点拨】M ,N 为一个分割,则一个为开区间,一个为半开半闭区间.从而 M ,N 中,一个有最值, 一个没有最值. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 【题文】 9. 一支田径队有男运动员 28 人,女运动员 21 人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取 14 位运动 员进行健康检查,则男运动员应抽取________人. 【知识点】分层抽样 I1 【答案】 【解析】8 解析:∵有男运动员 28 人,女运动员 21 人,∴总体个数是 29+21=49,

14 2 ? ∵从全体队员中抽出一个容量为 14 人的样本∴每个个体被抽到的概率是 49 7 ∴男运动员应抽 28 ? 2 ?8 7 ,故答案为 8.

【思路点拨】有男运动员 28 人,女运动员 21 人,知总体个数是 20+10,从全体队员中抽出一个容量为 14

14 2 ? 人的样本, 得到每个个体被抽到的概率是 49 7 , 得到男运动员应抽的人数是用概率乘以男运动员人数.
【题文】10.一个几何体的三视图(单位: cm )如图 2 所示,则该几何体的体积是 _

cm3 .

【知识点】三视图 G2 【答案】 【解析】80解析:由三视图可得几何体为下方是以4为边长的正方体,上方为地面为正方形高为3 的四棱柱,所以其体积为: 4 ? ? 4 ? 4 ? 3 ? 80cm ,故答案为:80..
3 3

1 3

【思路点拨】由三视图确定该几何体的结构然后利用相应的体积公式进行求解. 【题文】11.某程序框图如图 3 所示,该程序运行后,输出的 x 值为 31 ,则 a 等于______.



4第

开始
n ? 1, x ? a

n ? n ?1

.

n?3

是 x ? 2x ?1

否 输出 x 结束 图3

【知识点】流程图 L1 【答案】 【解析】 3 解析:经过第一次循环得到: x ? 2a ? 1, n ? 2 ;因为 2 ? 3 ,所以继续循环得到:

x ? 2 ? 2a ? 1? ? 1 ? 4a ? 3, n ? 3;因为 3 ? 3 ,所以继续循环得到: x ? 2 ? 4a ? 3? ?1 ? 8a ? 7, n ? 4 ,因
为 4 ? 3 不成立,所以输出 x ,即 8a ? 7 ? 31, 得 a ? 3 ,故答案为3. 【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用 循环计算并输出 x 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最 终的输出结果. 【题文】12.若 ? 3 x ? 1?
2015

? a0 ? a1 x ?

? a2015 x 2015 ( x ? R ),记 S2015 ? ?
i ?1

2015

ai ,则 S2015 的值为_______. 3i

【知识点】二项式定理 J3 【答案】 【解析】1 解析:因为 ? 3 x ? 1?
i ai ? ?C2015 3i ? ?1? , S2015 ? ? i 2015

? ? ?1 ? 3x ?

2015

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?

a2015 x 2015 ,所以
2015 ? C2015 ? ,又因为

2015 i ?1

ai 2015 i i 1 2 3 ? ? ?C2015 ? C2015 ? C2015 ? ? ?1? ? ? ? ?C2015 i 3 i ?1

?

?

1 3 5 C2015 ? C2015 ? C2015 ?

0 2 4 ? C2015 ? C2015 ? C2015 ?

0 ,且 C2015 ? 1 ,所以可得 S2015 ? 1 ,故答案为1.
i

i i 【 思 路 点 拨 】 根 据 二 项 式 定 理 的 通 项 公 式 可 得 ai ? ?C2015 3 ? ?1? , 可 将 式 子 化 为 :

S2015 ? ?
i ?1

2015

ai 2015 i i 1 2 3 ? ? ?C2015 ? C2015 ? C2015 ? ? ?1? ? ? ? ?C2015 i 3 i ?1

?

?

2015 ? C2015 ?









1 C2

?

0

C13

?5

C5

? 2

0

0 ?C 1

2 . 5 ,即可求得结果 2 0

?C

? C4

1

5

?

2

0

1

5

? ? x? y?2?0 ? ? ? ? 【题文】13.已知 ? 为 xOy 平面内的一个区域. p :点 ? a, b ? ? ?? x, y ? ? x ? 0 ? ;q :点 ? a, b? ?? . ? ?3x ? y ? 6 ? 0 ? ? ? ?
如果 p 是 q 的充分条件,那么区域 ? 的面积的最小值是_________. 【知识点】充分不必要条件 线性规划 A2 E5

【答案】 【解析】2 解析:命题 P 对应的平面区域为 B 阴影部分:如图



5第

? x ? y ? 2=0 ? 3x ? y ? 6=0 C ( 0 , 2 ),( B 0 , 6 ) 则由题意可知 .由 ?

?x ? 1 ?? ?y ? 3

1 ? ? 6 ? 2 ? ?1 ? 2 p ( 1, 3) ,即 D ,所以三角形 BCD 的面积为 2 , 是 q 的充分条件,那么区域 ? 的面积的最
小值是 2,故选择 2. 【思路点拨】先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域 B,然后利用 p 是 q 的充分条件,确定平面区 域 A 与 B 之间的面积关系. 【题文】(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分) 【题文】14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 : ?

?x ? t ? 2 ( t 为参数)与 ? y ? 1 ? 2t
.

曲线 C2 : ?

? x ? 3 cos ? ( ? 为参数)相交于 A 、 B 两点,则线段 AB 的长为 ? y ? 3 sin ?

.

【知识点】参数方程 N3 【答案】 【解析】4解析:根据将参数方程化为普通方程分别为:曲线 C1 : y ? ?2x ? 5, C2 : x ? y ? 9 ,因
2 2

为圆心到直线的距离为 d ?

5 1? 4

? 5 ,所以 AB ? 2 9 ? 5 ? 4 ,故选择4

【思路点拨】先将参数方程化为普通方程,可知此题为求圆的弦长问题,进而求解. 【 题 文 】 15.( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 4 , PAB 、 PCD 为

O 的两条割线,若

PA ? 5 , AB ? 7 , CD ? 11 , AC ? 2 ,则 BD ?

.

. 【知识点】与圆有关的比例线段 N1
页 6第

5 5 ? 7) ?( x x ? 11 ), 【答案】 【解析】6 解析:设 PC ? x, 则根据割线定理得 PA ? PB ? PC ? PD, 即( 解
之 得 x ? (舍去 4 ? 1 ) 5, ? PC ? 4,PD ? 15 , ∵ 四 边 形 ∴ ?B ? ?ACP,?D ? ?CAP, 可得∴△PAC∽△PDB,可得 为:6 ABDC 是 圆 内 接 四 边 形

AC AP 2 5 ? ? ? ? BD ? 6 ,故答案 DB DP DB 15

5 5 ? 7) ?( x x ? 11 ), 【思路点拨】设 PC ? x, 由割线定理得: ( ,解之得 x ? (舍去 ,再根据圆内 4 ? 15)
接四边形性质,得到△PAC∽△PDB,最后由对应边成比例,列式并解之即得

BD ? 6.
【题文】三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【题文】16.(本题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c ,且 2sin (Ⅰ) 求 A 的度数; (Ⅱ) 若 a ? 7 , b ? 5 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC . 【知识点】余弦定理 C5 【答案】(Ⅰ) A ?
2

?B ? C? ?

3 sin 2 A .

?
3

;(Ⅱ) 10 3 .
2

【解析】解析:(Ⅰ) 因为 2sin

?B ?C? ?

3 sin 2 A , B ? C ? ? ? A ,
?2 分

所以 2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

???????????????

又 sin A ? 0 ,所以 sin A ? 3 cos A 所以 tan A ? 3 , ???????????..?4 分 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

.

???????????????????????6 分

(Ⅱ) 在 ?ABC 中, 由余弦定理可得 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,???????????8 分 即 49 ? 25 ? c2 ? 5c ,解得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍去) ????????????..????10 分 所以 S?ABC ?

1 1 3 bc sin A ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 ????????????????12 分 2 2 2

【思路点拨】对已知式子化简可得 sin A ? 3 cos A ,即得到 A ? 去),进而的三角形面积. 【题文】17.(本题满分 12 分)

?
3

;由余弦定理可得 c ? 8 或 c ? ?3 (舍

某中学校本课程共开设了 A, B, C , D 共 4 门选修课,每个学生必须且只能选修 1 门选修课,现有该校的甲、 乙、丙 3 名学生. (Ⅰ) 求这 3 名学生选修课所有选法的总数; (Ⅱ) 求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率; (Ⅲ) 求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数 X 的分布列和数学期望.
页 7第

【知识点】古典概率 离散型随机变量及分布列 K2 K6 【答案】(Ⅰ)64;(Ⅱ)

9 3 ;(Ⅲ) . 16 4

【解析】解析:(Ⅰ)每个学生有四个不同选择 ,根据分步计数原理 ,选法总数 N ? 4 ? 4 ? 4 ? 64 ???2 分 (Ⅱ) 设“恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择”为事件 E ,则

P?E? ?

2 2 2 9 C4 C3 A2 9 ? ,即恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率为 .???????5 分 3 16 4 16

(Ⅲ) X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且

33 27 , P ? X ? 0? ? 3 ? 4 64 C32 ? 3 9 , P ? X ? 2? ? 3 ? 4 64
所以 X 的分布列为

1 C3 ? 32 27 , P ? X ? 1? ? ? 43 64 3 C3 1 ?????????????????? 9 分 P ? X ? 3? ? 3 ? 4 64

X
P
所以 X 的数学期望 EX ? 0 ?

0

1

2

3

27 64

27 64

9 64

1 64

……………………10 分

27 27 9 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .?????????????12 分 64 64 64 64 4 1 3 ,没被选中的概率均为 . 4 4

或:因为 A 选修课被每位学生选中的概率均为 所以 X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且 X

? 1? B ? 3, ? , ? 4?
2

? 3 ? 27 , P ? X ? 0? ? ? ? ? ? 4 ? 64 ?1? 3 9 P ? X ? 2 ? ? C32 ? ? ? ? ? , ? 4 ? 4 64
所以 X 的分布列为
2

3

27 1 1 ?3? , P ? X ? 1? ? C3 ? ?? ? ? 4 ? 4 ? 64 1 ?1? ?????????????? 9 分 P ? X ? 3? ? ? ? ? ? 4 ? 64
0
1 2
3

X
P
所以 X 的数学期望 EX ? 3 ?

3

27 64

27 64

9 64

1 64

……………………10 分

1 3 ? .????????????????????12 分 4 4
2 2 2

【思路点拨】 (1)已知开设了 4 门选修课,每个学生必须且只需选修 1 门选修课,每一人都有 4 种选择, 总共有 N ? 4 ? 4 ? 4 ? 64 , 从而求解; (2) 恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率, 则有 C4 C3 A2 ,

1, 2, 3 ,分别算出 从而求解; (3)某一选修课被这 3 名学生选择的人数为 ξ ,则 ? ? 0,
页 8第

P (? ? 0),( P ? ?1 ),( P ? ? 2),( P ? ? 3),( P ? ? 4) ,再利用期望公式求解.
【题文】18.(本题满分 14 分) 如图 5 ,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC ? AA1 ? BC1 ? 2 , ?AAC 1 1 ? 60? ,平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C , AC1 与 AC 1 相交于点 D . (Ⅰ) 求证: BD ? 平面 AAC 1 1C ; (Ⅱ) 求二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值.

【知识点】证明线面垂直 求二面角 G5 G11 【答案】(Ⅰ)略;(Ⅱ)

5 . 5

【解析】解析:(Ⅰ)依题意,侧面 AAC 1 1C 是菱形, D 是 AC1 的中点,因为 BA ? BC1 ,所以 BD ? AC1 , 又平面 ABC1 ? 平面 AAC 1 1C ,且 BD ? 平面 ABC1 ,平面 ABC1 平面 AAC 1 1C ? AC1

所以 BD ? 平面 AAC 1 1C ???????????????????????????5 分 ( Ⅱ )[ 传 统 法 ] 由 ( Ⅰ ) 知 BD ? 平 面 AAC , 1 1C , CD ? 面 AAC 1 1C , 所 以 C D? B D 又

CD ? AC1 , AC1

BD ? D ,所以 CD ? 平面 ABC1 ,

过 D 作 DH ? AB ,垂足为 H ,连结 CH ,则 CH ? AB , 所以 ?DHC 为二面角 C1 ? AB ? C 的平面角. ????9 分 在 Rt?DAB 中, AD ? 1, BD ? 3, AB ? 2 , 所以 DH ?

AD ? DB 3 15 , CH ? DH 2 ? DC 2 ? ??12 分 ? AB 2 2 DH 5 5 ,即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是 . ???..?14 分 ? CH 5 5

所以 cos ?DHC ?



9第

[向量法]以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示, ?????????6 分

由已知可得 AC1 ? 2, AD ? 1, BD ? A 1D ? DC ? 3, BC ? 6 故 D ? 0, 0, 0 ? , A ?1, 0, 0 ? , B 0, 0, 3 , C1 ? ?1, 0, 0 ? , C 0, 3, 0 , 则 AB ? ?1, 0, 3 , BC ? 0, 3, ? 3 ,??????8 分 设平面 ABC 的一个法向量是 n ? ? x, y, z ? , 则?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? AB ? n ? 0 ? ? BC ? n ? 0

,即 ?

? ?? x ? 3z ? 0 ? ? 3 y ? 3z ? 0

,解得 ?

? ? x ? 3z ? ?y ? z

令 z ? 1 ,得 n ?

?

3,1,1 ????????????11 分

?

显然 DC ? 0, 3, 0 是平面 ABC1 的一个法向量,?????????????12 分 所以 cos ? n, DC ??

?

?

n ? DC n DC

?

3 5 ? , 5 5? 3

即二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值是

5 .???14 分 5

【思路点拨】 (Ⅰ)由平行四边形 AAC 结合题意证出 AAC 同理 ABC1 1 1C 中 AC ? AC 1 1, 1 1 为等边三角形, 得是等边三角形,从而得到 BD ? AC1, 中线利用面面垂直判定定理即可证出 BD ? 平面 AAC 1 1C ;(Ⅱ) 取 AB 中点 E,连结 CE、C1E.由(Ⅰ)的证明可得 ABC1与 ABC 是边长为 2 的等边三角形,从而得到

CE ? AB且C1E ? AB ,即 ?C1EC 是二面角 C1 ? AB ? C 的平面角,在△C1EC 中利用余弦定理即可算出
二面角 C1 ? AB ? C 的余弦值. 【题文】 19.(本题满分 14 分)已知各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 4 S n ? an ? 2an ( n ? N* ).
2

(Ⅰ) 求 a1 的值及数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 记数列 ?

?1? 5 n T ( n ? N* ); 3 ? 的前 项和为 n ,求证: Tn ? 32 ? an ?

【知识点】求数列的通项公式 求前n项和 D2 D4
页 10 第

【答案】(Ⅰ) an ? 2n ;(Ⅱ)略.
2 【解析】D 解析:(Ⅰ)当 n ? 1 时, 4a1 ? 4 S1 ? a1 ? 2a1 ,解得 a1 ? 2 或 a1 ? 0 (舍去). ?2 分

2 2 2 当 n ? 2 时, 4 S n ? an ? 2an , 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ,相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,???4 分
2

即 an ? an?1 ? 2 ? an ? an?1 ? ,又 an ? 0 ,所以 an ? an ?1 ? 0 ,则 an ? an ?1 ? 2 ,
2 2

所以 ?an ? 是首项为 2 ,公差为 2 的等差数列,故 an ? 2n . ?????????????6 分 (Ⅱ) 证法一:当 n ? 1 时, T1 ?

1 1 4 5 ? ? ? . ????????????????7 分 3 a1 8 32 32

当n ? 2时

1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ?10 分 3 2 2 an 8n 8n ? n 8n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? ?

所以 Tn ?

1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3

?

1 1 1 1 ? 3? 3? 3? 3 an 2 4 6

?

1

? 2n ?

3

?

1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 3 2 16 ?1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4

?

1 1 ? ? ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ?

1 1 ?1 1 ? 1 1 1 5 ? ? ? ? ?? ? ? ? . 8 16 ? 2 n ? n ? 1? ? 8 16 2 32
综上,对任意 n ? N* ,均有 Tn ? 证法二:当 n ? 1 时, T1 ?
3

5 成立.?????????????????14 分 32

1 1 4 5 ? ? ? . ?????????????????7 分 3 a1 8 32 32

3 2 当 n ? 2 时,先证 n ? 4n ? n ? 1? ,即证 n ? 4n ? n ? 1? ? n n ? 4n ? 4 ? n ? n ? 2 ? ? 0 显然成立. 2

?

?

所以

1 1 1 1 ? 1 1? ? 3? ? ? ? ? ????????????????10 分 3 an 8n 32n ? n ? 1? 32 ? n ? 1 n ?

所以 Tn ?

1 1 1 ? 3? 3? a13 a2 a3

?

1 1 1 1 ? 3? 3? 3? 3 an 2 4 6

?

1

? 2n ?

3

?

1 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? 23 32 ? ?? 2 ? ? 2 3 ?

1 ?? 1 1 ? 1 ? 1 1 5 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? , ? n ? 1 n ? ? 8 32 ? n ? 8 32 32

综上,对任意 n ? N* ,均有 Tn ? 【思路点拨】(Ⅰ)令 时,

5 成立.????????????????14 分 32
,即可得到首项,再由当当 n ? 2

4a1 ? 4 S1 ? a12 ? 2a1

2 2 4 S n ? an ? 2an , 4Sn?1 ? an ?1 ? 2an?1 ,化简整理,即可得到 an ? an ?1 ? 2 ,再由等差数列通项公式,即

可得到通项;



11 第

1 1 1 1 1 1 ? 1 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 3 2 2 an 8n 8n ? n 8n ? n ? 1? 8 ? n ? 1? n ? n ? 1? 16 ? ? n ? 1? n n ? n ? 1? ? (Ⅱ)运用放缩法,即有 .
再由裂项相消求和,即可得证. 【题文】20.(本题满分 14 分)

0? 、 B ? 2, 0 ? ,动点 P 与 A 、 B 两点连线的斜率 k PA 、 k PB 满足 k PA ? k PB ? ? 已知两点 A ? ?2,
(Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 E 的方程;

1 . 4

(Ⅱ) H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M 、 N ,使得 ?HMN 是以 H 为直角顶 点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由. 【知识点】求轨迹方程 直线与圆锥曲线 H5 H8 【答案】(Ⅰ)

x2 (Ⅱ) 3 个. ? y 2 ? 1 ( x ? ? 2 ); 4

【解析】解析:(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),则 k PA ? 依题意 k PA ? k PB ? ?

y?0 y?0 , k PB ? ,?2 分 x?2 x?2

1 y y 1 x2 ? ? ? ,化简得 ,所以 ? y 2 ? 1 ,?????4 分 x?2 x?2 4 4 4

所以动点 P 的轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2 ).???????????5 分 4

注:如果未说明 x ? ?2 (或注 y ? 0 ),扣 1 分. (Ⅱ)设能构成等腰直角 ?HMN ,其中 H 为 ? 0,1? ,由题意可知,直角边 HM , HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y ? kx ? 1 , (不妨设 k ? 0 ),则 HN 所在直线的方程为 y ? ?

1 x ? 1 ????????????7 分 k

联立方程 ?

? y ? kx ? 1 ?x ? 4 y ? 4
2 2

2 2 ,消去 y 整理得 1 ? 4k x ? 8kx ? 0 ,解得 xM ? ?

?

?

8k , 1 ? 4k 2

? ? 8k ?8k 2 8k ?8k 2 , ? 1? . y ? kx ? 1 可得 yM ? 将 xM ? ? ? 1 ,故点 M 的坐标为 M ? ? 2 2 2 代入 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?
8k ? ? 8k 2 ? 8k 1 ? k 2 ? 所以 HM ? ? ? ,????????????9 分 ? ? ? ? 2 ? 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? 4k ? ? 1 ? 4 k ?
同理可得 HN ?
2 2 8 1? k 2 ,由 HM ? HN ,得 k 4 ? k ? 1 ? 4k , 2 4?k

2

2

?

?

2 3? 5 所以 k 3 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 0 ,整理得 ? k ? 1? k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? 1 或 k ? ?????11 分

?

?

2

当 HM 斜率 k ? 1 时, HN 斜率 ? 1 ;当 HM 斜率 k ?
页 12 第

3? 5 ?3? 5 时, HN 斜率 ; 2 2

当 HM 斜率 k ?

3? 5 ?3? 5 时, HN 斜率 , 2 2
1 ,化简得, P 的轨迹 E 的 4

综上所述,符合条件的三角形有 3 个.???????????????????14 分 【思路点拨】(Ⅰ)设点 P 的坐标为 ? x, y ? ( x ? ?2 ),由题意列的 k PA ? k PB ? ? 方程为

x2 (Ⅱ)直角边 HM , HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的 ? y 2 ? 1 ( x ? ? 2 ); 4

方 程 为 y ? kx ? 1 , 与 椭 圆 方 程 联 立 可 得 xM ? ?

8k ?8k 2 , 代 入 直 线 得 y ? ?1 , 可 得 M 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

HN ?
个.

2 2 8 1? k 2 , 由 HM ? HN ,得 k 4 ? k ? 1 ? 4k ,解得方程有三个解, 所以符合条件的三角形有 3 2 4?k

?

?

【题文】21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , g ? x ? ? ?x ? ? a ?1? x ? a (其中 a ? R ).
2

2

(Ⅰ) 如果函数 y ? f ? x ? 和 y ? g ? x ? 有相同的极值点,求 a 的值,并直接写出函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ) 求方程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上实数解的个数. 【知识点】导数的应用 B12

【答案】(Ⅰ) 当 a ? 3 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??,1? , ?3, ??? ,递减区间为 ?1,3? , 当 a ? ?1 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ?1? , ? ? , ?? ? ,递减区间为 ? ?1, ? ? ; (Ⅱ) 当 3 ? a ? 方程在 ? ?1,3? 上无实数解;当 a ? 3 或 a ?

? 1 ? 3

? ?

? ?

1? 3?

13 时,原 3

13 时,原方程在 ? ?1,3? 上有唯一实数解;当 a ? 3 时,原方程在 3

??1,3? 上有两不等实数解.
3 2 2 【解析】解析:(Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2ax ? a x , 2

则 f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ? ?3x ? a ?? x ? a ? ,
2 2

??????????????1 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? a 或 所以

a a ?1 ,而二次函数 g ? x ? 在 x ? 处有极大值, 3 2

a ?1 a ?1 a ?a或 ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 ; ??????????????4 分 2 2 3

当 a ? 3 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??,1? , ?3, ??? ,递减区间为 ?1,3? .????????5 分 当 a ? ?1 时, f ? x ? 的递增区间为 ? ??, ?1? , ? ? , ?? ? ,递减区间为 ? ?1, ? ? .??????6 分 (Ⅱ) f ? x ? ? g ? x ? ? x ? x ? a ? ? ? ? ? x ? ? a ? 1? x ? a ? ? ? x ? x ? a ? ? ? x ? a ?? x ? 1?
2 2
2

? 1 ? 3

? ?

? ?

1? 3?



13 第

2 ? ? x ? a? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ? ,????????????????????????8 分

令 h ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1 , ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3? ,
2
2

1 当 ? ? 0 即 ?1 ? a ? 3 时, h ? x ? ? 0 无实根,故原方程的解为 x ? a ???1,3? ,满足题意,
即原方程有唯一实数解 x ? a ?? ?1,3? ;???????????????????????9 分

2 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? ?1 ,故原方程在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解 x ? ?1 ; 若 a ? 3 ,则 h ? x ? ? 0 的实数解为 x ? 1 ,故原方程在区间 ? ?1,3? 上有两实数解, x ? 1 或 3 ;??10 分

3 当 ? ? 0 即 a ? ?1 或 a ? 3 时,
若 a ? ?1 ,由于 h ? ?1? ? a ?1 ? 0, h ? 0? ? 1, h ? 3? ? 13 ? 3a ? 0,此时 h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有一实数解, 故原方程有唯一实数解; ???????????????????11 分 若 a ? 3 时,由于 h ? ?1? ? a ? 1 ? 4, h ? 0? ? 1, h ?3? ? 13 ? 3a , 当 13 ? 3a ? 0 即 a ?

13 时, h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上有唯一实数解,故原方程有一实数解; 3 13 时, h ? x ? ? 0 在区间 ? ?1,3? 上无实数解,故原方程有无实数解;?13 分 3

若 13 ? 3a ? 0 即 3 ? a ? 综上,当 3 ? a ? 当 a ? 3或 a ?

13 时,原方程在 ? ?1,3? 上无实数解; 3

13 时,原方程在 ? ?1,3? 上有唯一实数解; 3

当 a ? 3 时,原方程在 ? ?1,3? 上有两不等实数解.????????????????14 分 【思路点拨】(Ⅰ)求出函数的导数 f ? ? x ? ? 3x ? 4ax ? a ? ?3x ? a ?? x ? a ? ,求出极值点 x ? a 或
2 2

a ,因 3

为二次函数 g ? x ? 在 x ?

a ?1 a ?1 a ?1 a ?a或 ? ,解得 a ? ?1 或 a ? 3 ,利用导数值 处有极大值, 所以 2 2 2 3

的 符 号 直 接 写 出 函 数 y=f ( x ) 的 单 调 区 间 ; ( Ⅱ ) 化 简 方 程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 , 构 造 函 数 , 得
2 2 2 f ? x? ? g ? x? ? ? x ? a ? ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1? ? , h ? x ? ? x ? ?1 ? a ? x ? 1 , ? ? ?1 ? a ? ? 4 ? ? a ? 1?? a ? 3? ,

利用判别式通过 a 的讨论,是否为 0,即可求解在区间[-1,3]上实数解的个数.



14 第


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