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2017届江西省新余市第一中学高三上学期第一次调研考试(开学考试)文数试题解析(解析版)


第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 设 A, B 是非空集合, 定义 A ? B ? ?x | x ? A, 且x ? B? ,已知

1 ? ? A ? ?x | x2 ? x ? 2 ? 0? , B ? ? x | y ? ? ,

则 A ? B ? ( 1? x ? ?
A. ? 【答案】C B. ? ?1, 2? C. ?1, 2?

) D. ?1, 2?

考点:集合的运算,新定义. 2. 已知 i 是虚数单位, 复数 z ? A. 2 【答案】B 【解析】 试题分析:z ? 以a ? B.

1 2

1 ? a ? R ? 在复平面内对应的点位于直线 y ? 2 x 上, 则 a ? ( a ?i 1 C. ?2 D. ? 2



a 1 1 a?i a 1 ? 2 ? 2 ? 2 i ,其对应的点为 ( 2 , 2 ) ,又该点位于直线 y=2x 上, 所 a ?1 a ?1 a ? i a ?1 a ?1 a ?1

1 . 2

考点:复数的运算,复数的几何意义. 3. 已知定义域为 ? a ? 4, 2a ? 2? 的奇函数 f ? x ? ? 2016x ? sin x ? b ? 2 ,则 f ? a ? ? f ?b? 的值为(
3



A. 0 【答案】A 【解析】

B. 1

C. 2

D.不能确定

1

试题分析:依题意得 a ? 4 ? 2a ? 2 ? 0,? a ? 2 ,又 f ( x ) 为奇函数,故 b ? 2 ? 0 ,所以 b ? ?2 ,所以

f (a) ? f (b) ? f (?2) ? f (2) ? 0 .
考点:函数的奇偶性. 4. 已知等比数列 ?an ? 中, a2 ? 2, a6 ? 8 ,则 a3a4 a5 ? ( A. ?64 【答案】B 【解析】 试题分析:由等比数列的性质可知 考点:等比数列的性质. 5. 已知 m, n 是两条直线, ? , ? 是两个平面, 则下列命题中不正确的是( )
2 3 a2 ? a6 ? a4 ? 16 ,而 a2 , a4 , a6 同号,故 a4 ? 4 ,所以 a3a4a5 ? a4 ? 64 .

) D. 16

B. 64

C. 32

A.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , n ? ? , m ? ? ,则 m ? n 【答案】D

B.若 m ? ? , ? ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? n, n ?? , ? ? ? ,则 m ? ?

考点:面面垂直的判断,线面垂直的性质,面面平行的性质,线面平行的判定. 6. 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 0 ,在圆 C 中任取一点 P ,则点 P 的横坐标小于 1 的概率为(
2 2



A.

1 4

B.

1 2

C.

2

?

D.以上都不对

【答案】B 【解析】 试题分析:将 x ? y ? 2 x ? 0 配方得 ( x ?1) ? y ? 1 ,故 C(1,0),所以在圆内且横坐标小于 1 的点的集合恰
2 2 2 2

为一个半圆面,所以所求的概率为 考点:几何概型.

1 . 2
2

【名师点睛】1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概 率模型为几何概率模型,简称几何概型. 2.常见的几何概型的类型有: (1)与长度有关的几何概型,其基本事件只与一个连续的变量有关; (2)与面积有关的几何概型,其基本事件与两个连续的变量有关,若已知图形不明确,可将两个变量分别作 为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决问题; (3)与体积有关的几何概型. 7. 已知中心在原点且关于坐标轴对称的双曲线 M 的离心率为 3 ,且它的一个焦点到一条渐近线的距离为

2 ,则双曲线 M 的方程不可能是(
A.

) B.

x2 y 2 ? ?1 2 4

y 2 x2 ? ?1 2 4 x2 y 2 ? ?1 4 2

C. 2 x 2 ? y 2 ? 4 【答案】D

D.

考点:双曲线的性质. 8. 执行如图所示的程序框图, 若输出的 s ? 86 ,则判断框内的正整数 n 的所有可能的值为( )

A. 7 【答案】B 【解析】

B. 6, 7

C. 6, 7,8

D. 8, 9

3

试题分析:第一次,s=1,k=0,进入循环,第一次循环后,s=2 ? 86 ,k=2,第二次循环后,s=6 ? 86 ,k=4,第三次循 环后,s=22 ? 86 ,k=6,第四次循环后,s=86,k=8,满足条件,应跳出循环,所以判断框内应为“k>6”或“k>7” , 故选 B. 考点:程序框图. 9. 设 p : ?x ? R, x2 ? 4 x ? m ? 0; q : 函数 f ? x ? ? ? ( ) B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

1 3 x ? 2 x 2 ? mx ? 1 在 R 上是减函数, 则 p 是 q 的 3

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】A

考点:充分必要条件. 10. 将函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

? ?

??

? 1 ? ? 1 的图象向右平 3 个单位, 再把所有的点的横坐标缩短到原来的 2 倍 3?


(纵坐标不变), 得到函数 y ? g ? x ? 的图象, 则函数 y ? g ? x ? 的图象的一条对称轴为( A.直线 x ? 【答案】B 【解析】

?
6

B.直线 x ?

?
12

C.直线 x ? ?

?
6

D.直线 x ? ?

?
4

? 2? ) ? 1 的图象,再把所有的点的横坐标缩 个单位得到 y ? 2sin( x ? 3 3 2? 2? ? 1 ) ? 1 的图象, = ? k? ( k ? Z ) , 短到原来的 倍 (纵坐标不变) , 得到函数 g ( x) ? 2sin(2 x ? 令 2x ? 2 3 3 2 7? k? ? ? (k ? Z ) ,令 k ? ?1 ,得 x ? ,故选 B. 解得 x ? 12 12 2
试题分析:将 f ( x ) 的图象向右平移 考点:三角函数的图象变换,三角函数图象的对称性. 11. 抛物线 C : y ? 4x 的准线与 x 轴交于点 A ,焦点为点 F ,点 P 是抛物线 C 上的任意一点, 令 t ?
2

PA PF
4

,

则 t 的最大值为( A. 1 【答案】B

) B. 2 C. 2 D. 4

考点:抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系. 【名师点睛】涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时,注意利用两者之间的转化在解题中的 应用.本题把 PF 转化为 PQ ( P 到准线的距离) ,后问题转化为求 ?APQ ,即 ? PAF 的最大值,由此得 出 AP 与抛物线相切,从而得解. 12. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ? ln x , x ? 0 ,若方程 f ? x ? ? a ? a ? R ? 有四个不同的实数根 x1 , x2 , x3 , x4 (其中 2 x ? 4 x ? 1, x ? 0 ? ?

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ),则 x1 ? x2 ?
A. ? ?2,2e ? 4? 【答案】A 【解析】

1 ? x4 的取值范围是( x3



B. ? ?1,2e ? 2?

C. ? 2, 2e ? 4?

D.不确定

试题分析:根据二次函数的对称性知 x1 ? x2 ? ?4 且 0 ? x3 ? 1, x4 ? 1 ,由 | ln x3 |?| ln x4 |? a, 知 x3 x4 ? 1 且

x4 ? ea ? (1, e](其中0 ? a ? 1), 所以
考点:函数的零点.

1 1 ? x4 ? 2 x4 ? (2, 2e] ,所以 x1 ? x2 ? ? x4 ? (?2, 2e ? 4] . x3 x3

【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.
5

(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a ? ? ?1, 2 ? , b ? ? 2, k ? ,若 a ? b ,则 2a ? b ? .
【答案】 4 5

考点:向量平行,向量的模.

?3 x ? y ? 1 ? 0 ? 14. 若实数 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ?3 x ? 6 y ? 4 ? 0 ?
【答案】 ? 【解析】 试题分析:作出不等式表示的平面区域(如图示:阴影部分):



1 5

由?

?3x ? y ? 1 ? 0 2 3 得 A( , ? ) , 15 5 ?3x ? 6 y ? 4 ? 0

由 z ? 3x ? y 得 y ? ?3x ? z ,作直线 l0 : y ? ?3x ,将其向平面区域内平移,易知过点 A 时直线在 y 轴上截距 最小,,所以 zmin ? 3 ?

2 3 1 ? ?? . 15 5 5

考点:简单的线性规划. 15. 某几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为 .

6

【答案】

? ?1 3

1

1 1

1

考点:三视图,体积. 【名师点睛】三视图还原问题:空间几何体的三视图中如果有两个是三角形,其一定是锥体,第三个视图 是多边形,则是棱锥,是几边形就是几棱锥,如是圆,则为圆锥;三视图中如果有两个是矩形,其一定是 柱体,第三个视图是多边形,则是棱柱,是几边形就是几棱柱,如是圆,则为圆柱;对于简单几何体的组 合体,要分清它是由哪些简单几何体组成的;在还原不规则的三视图时,可灵活应用补形法,将其直观图 变为正方体或长方体,然后再将几何体分割为满足原三视图的几何体. 16. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, 【答案】 【解析】 试题分析:由

1 1 2 ,则数列 ?bnbn?1? 前 n 项和 Sn ? ?2 ? n ? N ? ? ,记 bn ? an ? 2 an an ?1



n 2n ? 1

?1? 1 1 1 1 1 得 2 ? 2 ? 2 ,且 2 ? 1 ,所以数列 ? 2 ? 构成以 1 为首项,2 为公差的 ?2 ? 2 a1 an an?1 an?1 an ? an ?
1 1 1 2 ? , 则 bn ? , ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 , 从 而 得 到 an 2 2n ? 1 2n ? 1 an

等 差 数 列 , 所 以

bnbn?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
7

所以 Sn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ? ? ? )? . 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

考点:裂项相消法求和. 【名师点睛】1.裂项相消法求和是历年高考的重点,命题角度凸显灵活多变,在解题中要善于利用裂项相 消的基本思想,变换数列 an 的通项公式,达到求解目的.归纳起来常见的命题角度有: 1 (1)形如 an= 型; n?n+k? (2)形如 an= 1 型; n+k+ n

1 (3)形如 an= 型; ?2n-1??2n+1? n+1 (4)形如 an= 2 型. n ?n+2?2 2.裂项相消法求和时要注意: (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项; (2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若 {an}是 1 1 1 1 1 1 1 1 等差数列,则 = ?a - a ?, = ?a -a ?. d 2 d + ? n n 1? anan+2 ? n n+2? anan+1

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, 角 A 、 B 、 C 对边分别为 a 、 b 、 c ,且 b tan A, c tan B, b tan B 成等差数列. (1)求角 A ; (2)若 a ? 2 ,试判断当 bc 取最大值时 ?ABC 的形状, 并说明理由. 【答案】 (1) A ?

?
3

; (2)等边三角形.

所以 b tan ? ? ? 2c ? b? tan ?.

8

由正弦定理得 sin ? ?

sin ? sin ? ? ? 2sin C ? sin ? ? ? , cos ? cos ?

又因为 0 ? B ? ? ,所以 sin B ? 0 , 所以 sin ? cos ? ? 2sin C cos ? ? cos ? sin ? , 即 sin ? ?? ?? ? 2sin Ccos ? ,所以 sin C ? 2sin C cos A ,

1 ? 又因为 0 ? C ? ? ,所以 sin C ? 0 ,所以 cos ? ? ,而 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? .(6 分)
(2)由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos
2 2 2

?
3

2

3



所以 4 ? b ? c ? bc ? 2bc ? bc ? bc,
2 2

当且仅当 b=c 时取等号. 即当 b=c=2 时,bc 取得最大值. 此时 ? ABC 为等边三角形.(12 分) 考点:正弦定理,余弦定理,两角和与差的正弦公式,三角形形状的判断. 18. (本小题满分 12 分)如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 底面 ABC 是等腰三角形, 且斜边

AB ? 2 2 ,侧棱 AA1 ? 3 ,点 D 为 AB 的中点, 点 E 在线段 AA1 上, AE ? ? AA1 (? 为实数).
(1)求证:不论 ? 取何值时, 恒有 CD ? B1E ; (2)求多面体 C1B ? CDE 的体积.

【答案】 (1)证明见解析; (2)2.

试题解析:(1)证明: 在等腰直角三角形 ABC 中, AC= BC ,点 D 为 AC 的中点,
9

? CD? AB , (1 分)

又在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,CD ? 平面 ABC ,
? AA 1 ?CD, (3 分)

又 AA 1 ? AB ? A,?

CD ?平面 ABB1 A 1 , (4 分)

又不论 ? 取何值时, B1E ? 平面 ABB1 A1 , ? CD ? B1E . (6 分)
(2) VC1 ?CDE ? VD ?C1EC ? 而 VC1 ? BCD ?

1 1 1 1 1 S?CC1E ? BC ? ? ? 3 ? 2 ? ? 2 ? 1 .(9 分) 3 2 3 2 2

1 1 S?BCD ? CC1 ? ? ( 2) 2 ? 3 ? 1 (11 分) 3 6

所以多面体 C1 B-ECD 的体积 V ? VC1 ?CDE ? VC1 ?BCD ? 2 . (12 分) 考点:线面垂直的判断与性质,组合体的体积. 【名师点睛】当一个几何体的形状不规则时,常通过补形或分割的手段将此几何体变成一个或多个规则的 体积易求的几何体,然后再计算,经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体,将几何体分割成三棱锥等等. , 另外三棱锥还常由“等积性”把任一面作为底面,这样可以选取易求体积的面为底面,或者用“等积法” 求点到平面的距离. 19. (本小题满分 12 分)全国人大常委会会议于 2015 年 12 月 27 日通过了关于修改人口与计划生育法的 决定, “全面二孩”从 2016 年元旦起开始实施, A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度,随机抽 取了男性市民 30 人、女性市民 70 人进行调查, 得到以下的 2 ? 2 列联表: 支持 男性 女性 合计 反对 合计

20

10

30

40 60

30 40

70 100

(1)根椐以上数据,能否有 90 0 0 的把握认为 A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关? (2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出 6 人发放礼品,分别求所抽取的 6 人中男 性市民和女性市民的人数; (3) 从(2)题中所选的 6 人中, 再随机抽出 2 人进行长期跟踪调查, 试求恰好选到一男一女的概率. 参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d
10

参考数据:

P?K2 ? k?

0.15
2.072

0.10

0.05
]

0.025
5.024
8 . 15

0.010
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

k

2.706

3.841

【答案】 (1)没有 90%的把握; (2)男性 2 人,女性 4 人; (3)

试题解析: (1)由列联表可得

n(ad ? bc)2 100(20 ? 30 ? 10 ? 40)2 K= ? ? 0.7937 ? 2.706 .(5 分) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 30 ? 70 ? 60 ? 40
2

所以没有 90%的把握认为 “支持全面二孩”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的 6 位市民中,男性市民有 6 ?

(6 分)

20 40 ? 2 (人),女性市民有 6 ? ? 4 (人).(8 分) 60 60

(3)设这 6 人中的 2 位男性市民为 a , b ,女性市民为 c, d , e, f ,则从 6 人中任选 2 人的基本事件为:

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ),(c, d ), (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ), 共 15 个,
其中恰为一男一女的基本事件有: (a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ), 共 8 个. 所以恰好选到一男一女的概率为 P ?

8 .(12 分) 15

考点:独立性检验,分层抽样,古典概型. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ,点 F1 , F2 是椭圆 E 的左、 右焦点, 过定点 Q ? 0,2? 的动直线 l 与椭圆 2 2 a b

E 交于 A, B 两点, 当 F1 , A, B 共线时, ?F2 AB 的周长为 8 .
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设弦 AB 的中点为 D ,点 E ? 0, t ? 在 y 轴上, 且满足 DE ? AB ,试求 t 的取值范围.

【答案】 (1) 【解析】

1 x2 y 2 ? ? 1; (2) ( ? , 0) . 2 4 3

11

? a 2 ? b2 1 x2 y 2 ? , ? ? ? 1 .(4 分) 试题解析:(1)由题意得 ? a 2 解得 ,所以椭圆 E 的标准方程为 a ? 2, b ? 3 4 4 3 ? 4a ? 8 ?
(2)当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 即为 y 轴,此时直线 AB 与直线 DE 重合,即 DE ? AB 不成立.(5 分)

x2 y 2 ? ?1 , 消 去 y , 得 ?2 , 代 入 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y? kx 4 3

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 4 ? 0,
由 ? ? (16k )2 ?16(3 ? 4k 2 ) ? 0, 得 | k |? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,D ( x0 , y0 ) , 则 x1 ? x2 ? ?

1 , (6 分) 2

16k 4 , x1 x2 ? 2 .(7 分) 2 4k ? 3 4k ? 3 uuu r x ? x k ( x1 ? x2 ) x ?x k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? t) , x0 ? 1 2 , y0 ? ? 2 ,故 ED ? ( 1 2 , 2 2 2 2 uu u r AB ? ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )),

由 DE ? AB ,得 DE ? AB ? 0 ,所以 ( x2 ? x1 , k ( x2 ? x1 )) ?( 展开化简得 (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ? 4k ? 2kt ? 0, (10 分) 将 x1 ? x2 ? ?

uuu r uu u r

x1 ? x2 k ( x1 ? x2 ) , ? 2 ? t ) =0, (9 分) 2 2

16k 2 代入,化简得 t ? ? 2 ,又 2 4k ? 3 4k ? 3

1 2 1 | k |? , 所以 t ? ? 2 ? (? , 0) . 2 4k ? 3 2
综上所述 t 的取值范围为 ( ?

1 , 0) . 2

(12 分)

考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的综合问题. 【名师点睛】直线与圆锥曲线相交问题通常经常采用“设而不求”方法, “设而不求”就是在解题过程中根 据需要设出变量,但并不直接求出其具体值,而是利用某种关系(如和、差、积)来表示变量之间的联系,
12

这种方法能够达到一种“化难为易,化繁为简”的效果.方法是:设直线 y ? kx ? m 与椭圆 mx2 ? ny 2 ? 1 的 交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由直线方程与椭圆方程联立后消元得一元二次方程, 由韦达定理得 x1 ? x2 , x1 x2 或 y1 ? y2 , y1 y2 ,然后计算弦长或面积等. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? kx2 ? ln x ? k ? R ? . (1)试讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若不等式 f ? x ? ? 0 在区间 ? 0, ??? 上恒成立, 求 k 的取值范围, 并证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2, n ? N ? ? . ? 2 2 3 4 n 2e
【答案】 (1) k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上递减, k ? 0 时, x ? (0, (2)证明见解析.

1 1 ) 时递减, x ? ( , ??) 时递增; 2k 2k

试题解析: (1)由题可知 f ( x) ? kx2 ? ln x , 定义域为 (0, ??) , 所以 f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx 2 ? 1 ? , (1 分) x x

若 k ? 0 , f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减.(2 分) 若k ? 0,

f ?( x) ? 2kx ?

1 2kx ? 1 ? ? x x
2

2k ( x 2 ?

1 1 1 )( x ? ) ) 2k ( x ? 2k 2k 2k ? , (3 分) x x

13

当 x ? (0,

1 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, (4 分) 2k

当 x?(

1 , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增.(5 分) 2k

(2)不等式 f ( x) ? 0 在区间 (0, ??) 上恒成立
2 可转化为: kx ? ln x ? k ?

ln x ln x ,令 ? ( x) ? 2 , 2 x x

则问题可化为 k ? ? ( x)max (其中 x ? (0, ??) ) , 由于 ? ?( x) ? (

ln x 1 ? 2 ln x )? ? ,令 ? ?( x) ? 0 得 x ? e , 2 x x3

当 x ? (0, e ) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增, 当 x ? ( e , ??) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减.

1 1 1 ,因此 k ? , 即 k ? [ , ?? ) .(8 分) 2e 2e 2e 1 ln x 1 ( x ? 2) , 由 k ? [ , ?? ) ,可知 2 ? (9 分) 2e x 2e ln n 1 (n ? 2) ,对 n 依次取值 2,3, ???, n 可得 从而得到 2 ? n 2e ln n 1 ln 2 1 ln 3 1 ln 4 1 (n ? 2, n ? N *) , ? , 2 ? , 2 ? ,?, 2 ? 2 2 2e 3 2e 4 2e n 2e
所以 ? ( x) max ? ? ( e ) ? 对上述不等式两边依次相加得到:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n ? 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ? (n ? 2, n ? N * ). (12 分) 2 2 3 4 n 2e
考点:导数与单调性,用导数证明不等式.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AC 是圆 O 的直径, ABCD 是圆内接四边形, BE ? DE 于点 E ,且 BE 与圆 O 相切于点 B . (1)求证: CB 平分 ?ACE ; (2)若 AB ? 6, BE ? 3 ,求 AD 的长.

14

【答案】 (1)证明见解析; (2)6.

试题解析:(1)证明:? BE 与圆 O 相切于点 B,

? ?CBE ? ?BAC .① ? BE ? DE
? ? ?BCE ? 90 ? ?CBE ②

? AC 是圆 O 的直径,
? ? ?BCA ? 90 ? ?BAC ③

由①②③得 ?BCA ? ?BCE , 即 CB 平分 ?ACE .(5 分) (2)由(1)知 ?ABC ? ?BEC ,

? AB ? 6, BE ? 3,

?

BC BE 1 1 ? ? , 即 sin ?CAB ? , AC AB 2 2

??CBE ? ?CAB ? 30? , 故 AC= 4 3, CB ? 2 3 , CE ? 3 .
由切割线定理得 EB ? EC ? ED ? 3 ? 3ED ? ED ? 3 3 ,
2 2

?CD ? 2 3,? AD ? 6 .(10 分)
考点:弦切角定理,切割线定理,相似三角形的判定与性质.
15

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度

? ?x ? 2 ? ? 单位, 直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin ? ? ? ? ? . ? ? 4? ? 2 t 2

(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 与直线 l 交于 A, B 两点, 若 P 点的直角坐标为 ? 2,1? ,求 PA ? PB 的值. 【答案】 (1)直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 ,C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 ; (2) 2 .

(2)直线 l 的参数方程是过 P 点的标准参数方程,因此把直线 l 参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,方程 的解 t1 , t2 ,则 PA ? PB ? t1 ? t 2 ,由韦达定理可得. 试题解析:(1)直线 l 的普通方程为: y ? x ? 1 , (1 分)

? ? ? 4 2 sin(? ? ) ? 4sin ? ? 4 cos ? ,所以 ? 2 ? 4? sin ? ? 4? cos? .
4
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 (或写成 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ) ..(5 分)
2 2 2 2

? ?x ? 2 ? ? l (2)点 P(2,1)在直线 上,且在圆 C 内,把 ? ? y ? 1? ? ?
两个实根为

2 t 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 0 ,得 t 2 ? 2t ? 7 ? 0 ,设 2 t 2

t1 , t2 ,则 t1 ? t2 ? 2, t1t2 ? ?7 ? 0 ,即 t1 , t2 异号.

所以 | PA | ? | PB | ? | t1 | ? | t2 | ?| t1 ? t2 |? 2 .(10 分) 考点:参数方程与普通方程的互化,极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程的应用. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? x ? 2 ,记 f ? x ? 的最小值为 k .
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(1)解不等式 f ? x ? ? x ? 1; (2)是否存在正数 a , b ,同时满足: 2a ? b ? k , 【答案】 (1) {x |

1 2 ? ? 4 ?并说明理由. a b

2 ? x ? 4} ; (2)不存在. 3

设函数 y ?| x ? 2 | ? | x ? 1| ? x ? 1,

? 2 ? 3 x, x ? 1 ? 则 y ? ? ? x,1 ≤ x ≤ 2 ? x ? 4, x ? 2 ?
∴原不等式的解集是 {x |

,令 y ? 0 ,解得

2 ? x ? 4. 3

2 ? x ? 4} . 3

(5 分)

(2) f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 |?| x ? 1 ? 2 ? x |? 1, 当且仅当 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, 即 1 ? x ? 2 时取等号,故 k ? 1 .(7 分) 假设存在符合条件的正数 a , b ,则 2a ? b ? 1,

? 1 ? 2 ? ( 1 ? 2 )(2a ? b) ? 4 ? b ? 4a ? 4 ? 2 b ? 4a ? 8, a b a b a b a b
当且仅当 即

b 4a 1 1 1 2 ? , 2a ? b ? 1 ,即 a ? , b ? 时取等号,? ? 的最小值为 8, a b 4 2 a b

1 2 ? ?4, a b

? 不存在正数 a,b,使 2a ? b ? 1, 1 ? 2 ? 4 同时成立.(10 分) a b
考点:解绝对值不等式,基本不等式.

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