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江西省万年中学2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案


江西省万年中学 2013—2014 学年度高一上学 期末考试
分钟.

数 学 试 题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120

第 I 卷(选择题,共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 3.考试结束,监考人将本试题和答题卡一并收回. 一、选择题:本大题 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. log 2

1 ?( 2

) B. ? D.2 )

1 C.1 2 2.在下列函数中,与函数 y ? x 是同一个函数的是(
A . ?1 A. y ? ( x )
2

B. y ?

3

x3

C .y?

x2 x

D. y ?

x2

3.设角 ? ? ?2 弧度,则 ? 所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限

? ? ? ? 4.设 a, b 是两个非零向量,下列能推出 a ? b 的是( ) ? ? ? 2 ?2 A. a // b B. a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. a ? c ? b ? c D. a ? b 且 a, b 的夹角为 0
5.若 log a

) C.第三象限

D.第四象限

2 ? 1 ,则实数 a 的取值范围是( 3
B. (1, ??)

) C. (0, ) ? (1, ??)

A. (0,1)

3? ) ) ,则 cos? ? ( 2 5 5 2 5 A. B. ? C. 5 5 5 7.函数 y ? x ? x ( x ? 0) 的值域为( ) 1 1 A. [? , ??) B. [ , ??) C. [0, ??) 4 2
6.已知 tan ? ? 2, ? ? (? ,

2 3

D. (0, ) ? ( ,1)

2 3

2 3

D. ?

2 5 5

D. [ , ??)

1 4

8.要得到函数 y ? sin A.向左平移

?x
2

的图象,只需将函数 y ? cos

?x

? 个单位长度 2

2 ? B.向右平移 个单位长度 2
D.向右平移 1 个单位长度

的图象(



C.向左平移 1 个单位长度

1 9.设函数 f ( x) ? x 2 ? ? a( x ? 0) , a 为常数且 a ? 2 ,则 f ( x) 的零点个数是( x
A.1 B.2 C.3 D. 4



??? ? ??? ? ???? 10.已知 ? ABC 内一点 P 满足 AP ? ? AB ? ? AC ,若 ? PAB 的面积与 ? ABC 的面积之比 为 1:3, ? PAC 的面积与 ? ABC 的面积之比为 1:4,则实数 ? , ? 的值为( ) 1 1 1 1 2 1 3 1 A. ? ? , ? ? B. ? ? , ? ? C. ? ? , ? ? D. ? ? , ? ? 4 3 3 4 3 3 4 4

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相应位置上. 11.设集合 A ? ?1, 2? , B ? ?2, a, b? ,若 A ? B ? ?1, 2,3, 4? ,则 a ? b ? . .

? ? ? ? ? ? ? ? 12.设向量 a , b 满足 a ? (1, ?1) , b ? a ,且 b 与 a 的方向相反,则 b 的坐标为
13. 已知 sin ? , cos ? 是关于 x 的方程 2 x ? 2mx ? 1 ? 0 的两个实根,? ? (0,
2

?
2

) ,则实数 m

的值为 14.函数 f ( x) ? 1 ?


2

x . ? sin x( x ? R) 的最大值与最小值之和等于 x ?1 x ?x t 15.已知函数 f ( x) ? e ? e ( x ? R) ,不等式 e ? f (2t ) ? mf (t ) ? 0 对于 t ? (0,1) 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 .
三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理 过程. 16. (本小题满分 13 分,第(1)小问 8 分,第(2)小问 5 分)

2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A ,函数 y ? log 2 (a ? x) 的定义域为 B . (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)设全集为 R ,若非空集合 (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,求实数 a 的取
设函数 y ? 值范围.

17. (本小题满分 13 分,第(1)小问 8 分,第(2)小问 5 分) 已知 O 点为坐标原点,向量 OA = (3, ?4), OB = (6, ?3) , OC = (5 ? m, ?3 ? m) . (1)若点 A, B , C 共线,求实数 m 的值; (2)若 ?ABC 为直角三角形,且 ?A 为直角,求实数 m 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

18. (本小题满分 13 分,第(1)小问 5 分,第(2)小问 8 分) 设函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan( x ? (1)计算 f (? ) 的值;

?

4

) ,且 cos x ? 0,cos x ? sin x ? 0 .

(2)若 f (? ) ? cos ? ?1 , ? ?[0, ? ] ,求 ? 的值.

19. (本小题满分 12 分,第(1)小问 5 分,第(2)小问 7 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, o 为坐标原点, A(sin ? x, cos ? x), B(cos (1)求证:向量 OA ? OB 与 OA ? OB 互相垂直;

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB( x ? R, ? 为正实数 ) ,函数 f ( x) 的图象上的最高点和相 (2)设函数 f ( x) ? ? OA?

,sin ), ? ? 0 . 6 6

?

邻的最低点之间的距离为 5 ,且 f ( x) 的最大值为 1,求函数 f ( x) 的单调递增区 间.

20. (本小题满分 12 分,第(1)小问 2 分,第(2)小问 4 分,第(3)小问 6 分) 某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现: 该服装在过去的一 个月内(以 30 天计)每 10 20 25 30 (天) x 件的销售价格 P ( x) (百元)与时间 x (天) 的函数关系近似满

Q( x) (件) 110 120 125 120

足 P( x) ? 1 ?

常数 ) ,日销售量 (天)的部分数据如下表所示:

k (k 为正 x Q( x) (件)与时间 x

已知第 10 天的日销售收入为 121(百元) . (1)求 k 的值; (2)给出以下四种函数模型:① Q( x) ? ax ? b ,② Q( x) ? a x ? 25 ? b ,③

Q( x) ? a ? b x ,④ Q( x) ? a ? logb x .请你根据上表中的数据,从中选择你认为最 合适的一种函数来描述日销售量 Q( x) (件)与时间 x (天)的变化关系,并求出
该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f ( x)(1 ? x ? 30, x ? N ) 的最小值.

21. (本小题满分 12 分,第(1)小问 3 分,第(2)小问 4 分,第(3)小问 5 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c(a ? 0) ,且 f ? 1? ? ?
2

a . 2

(1)求证:函数 f ? x ? 有两个不同的零点; (2)设 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个不同的零点,求 x1 ? x2 的取值范围; (3)求证:函数 f ? x ? 在区间(0,2)内至少有一个零点.

数学试题参考答案
一、选择题:1—5:ADCDC;6—10:BADCA
2 二、填空题:11.7; 12. (?1,1) ; 13. 2 ;14.2;15. ? ? e ? 1, ?? ? .

三、解答题:
?2 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 2 ,? A ? [?1, 2] . 16.解: (1)由 ? ?x ?1 ? 0 由 a ? x ? 0 得 x ? a ,? B ? (??, a) .

………3 分 ………5 分 ………8 分

? A ? B,? a ? 2 .

(2)? B ? (??, a) ,
? ?R B ? [a, ??) . ? (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,

………10 分

?1 ? a ? 2 .
17.解: (1)由已知,得 ? ??? ? ??? ? ??? AB = OB - OA = (6, ?3) ? (3, ?4) ? (3,1) ,
??? ? ??? ? ? ??? AC = OC ? OA ? (5 ? m, ?3 ? m) ? (3, ?4) ? (2 ? m,1 ? m) .
? A, B, C 共线, ? 3(1 ? m) ? 2 ? m,

………13 分

………2 分 ………4 分

………6 分 ………8 分 ………9 分 ………11 分

?m ?

1 . 2

??? ? ???? (2)由题意知: AB ? AC ,
? 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0,

?m ?

7 . 4

………13 分

18.解: (1) f (? ) ? cos 2? ? tan(? ? ) ? ?1 . 4 (2)? cos x ? 0,cos x ? sin x ? 0,

?

………5 分

sin x ?1 tan x ? 1 ? f ( x) ? cos 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) cos x sin x tan x ? 1 ?1 cos x
? ? ( c ox s ? sx i2 n ? ) 2x s i n x ? c os . 1

………10 分

由 f (? ) ? 2sin ? cos ? ?1 ? cos ? ? 1 ,得
cos ? (2sin ? ? 1) ? 0 . ?? ?[ 0? , ,且 ] cos ? ? 0 ,

?2 s i ? n ? 1 ? ,即 0 sin ? ?
?? ?

?
6



5? . 6

1 , 2

………11 分 ………13 分

??? ? ??? ? ? ? 19.解: (1)? OA ? (sin ? x, cos ? x), OB ? (cos ,sin ) , 6 6 ??? ? ??? ? ? OA ? 1, OB ? 1 .

………2 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ?2 ? (OA ? OB) ) ? (OA ? OB ) = OA ? OB ? OA ? OB ? 1 ? 1 ? 0 .…4 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? OB 与 OA ? OB 互相垂直.

………5 分

??? ? ??? ? ? ? ? (2) f ( x) ? ? OA? OB ? ? (sin ? x cos ? cos ? x sin ) ? ? sin(? x ? ) 6 6 6 ………7 分
? f ( x) 的最大值为 1,?? ? 1 .

………8 分

设 f ( x) 的最小正周期为 T, 由条件有
T 2? ? ( 5) 2 ? 22 ? 1, T ? 2, ? ? ?? , 2 T

………10 分

? f ( x) ? sin(? x ? ) . 6

?

令 2 k? ?

?
2

??x?

?
6

? 2 k? ?

?
2

,则 2k ?

2 1 ? x ? 2k ? ( k ? Z ) . 3 3

2 1? ? 故 f ( x) 的单调递增区间为 ? 2k ? , 2k ? ? (k ? z ) . 3 3? ?

………12 分

20.解: (1)依题意有: f (10) ? P(10) ? Q(10) ,
k ………2 分 ) ?110 ? 121 ,所以 k ? 1 . 10 (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,

即 (1 ?

故只能选② Q( x) ? a x ? 25 ? b . 从表中任意取两组值代入可求得:
Q( x) ? ? x ? 25 ? 125 ? 125 ? x ? 25 .

………4 分

………6 分

?100 ? x, (1 ? x ? 25) (3)? Q( x) ? 125 ? x ? 25 ? ? , ?150 ? x.(25 ? x ? 30)

? 100 x? ? 101, (1 ? x ? 25) ? ? x ? f ( x) ? ? . ?150 ? x ? 149.(25 ? x ? 30) ? ? x
①当 1 ? x ? 25 时, x ?

………8 分

100 在 [1,10] 上是减函数,在 [10, 25) 上是增函数, x

所以,当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) .
②当 25 ? x ? 30 时,

………10 分

150 ? x 为减函数, x

所以,当 x ? 30 时, f ( x) min ? 124 (百元) . 综上所述:当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) .

………11 分 ………12 分

a 21.解: (1)证明:? f ? 1? ? a ? b ? c ? ? , 2 3 3 ? c ? ? a ? b. ? f ? x ? ? ax 2 ? bx ? a ? b. 2 2

……1 分

对于方程 f ? x ? ? 0,

2 ? 3 ? 判别式 ? ? b 2 ? 4a ? ? a ? b ? ? b 2 ? 6a 2 ? 4ab ? ? 2a ? b ? ? 2a 2 , ……2 分 ? 2 ?

又? a ? 0,
?? ? 0 恒成立.

故函数 f ? x ? 有两个不同的零点. (2)由 x1 , x2 是函数 f ? x ? 的两个不同的零点, 则 x1 , x2 是方程 f ? x ? ? 0 的两个根.
b b 3 ? x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? ? . a a 2
2

……3 分

……5 分
2

? x1 ? x2 ?

b? 2 ? b 3? ?b ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? ? a ? ? 4 ? ? a ? 2 ? ? ? a ? 2 ? ? 2 ? 2. ? ? ? ? ? ?
……7 分

故 x1 ? x2 的取值范围是 ? ? 2, ?? ). (3)证明:? f ? 0 ? ? c , f ? 2 ? ? 4a ? 2b ? c , 由(1)知: 3a ? 2b ? 2c ? 0,
? f ? 2? ? a ? c.

……9 分

(i)当 c>0 时,有 f ? 0 ? ? 0, 又? a ? 0,
? f ? 1? ? ? a ? 0, 2

?函数 f ? x ? 在区间(0, 1)内至少有一个零点.
(ii)当 c ? 0 时, f ? 2 ? ? a ? c ? 0, f ? 1? ? 0,

……10 分

?函数 f ? x ? 在区间(1,2)内至少有一个零点.
综上所述,函数 f ? x ? 在区间(0,2)内至少有一个零点.

……11 分 ……12 分


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